2023届广东省广东实验中学高三上学期第二次阶段考数学试题含解析

2023届广东省广东实验中学高三上学期第二次阶段考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由补集、交集的概念运算

【详解】，则．

故选：B

2．如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可

【详解】由图可知，

所以，

故选：A.

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解.

【详解】由，可得，

因为，，可得，，

所以

.

故选：A.

4．下列函数中，其图象与函数的图象关于y＝－x对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将函数中的变为，变为，整理可得答案.

【详解】将函数中的变为，变为得

整理得，

即图象与函数的图象关于y＝－x对称的是

故选：D.

5．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.

【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，

由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，

由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，

由，当时，，

故选：B.

6．若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.

【详解】设切点为，的导函数为，

可得切线的斜率，

由切线经过点，可得，

化简可得①，

由题意可得方程①有两解，

设，可得，

当时，，所以在上递减，

当时，，所以在上递增，

可得在处取得最大值，

如图所示，所以，解得.

故选：A.

7．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果

【详解】因为，

其中，，

由于函数的图象关于对称，所以，

即，化简得，

所以，即，

所以，

故选：C.

8．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.

【详解】法一：若，令

在上单调递增，

，即，比较与的大小，先比较与

若

令

时单调递减，.

法二：秒杀

另一方面由时，，

.

故选：B

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为6 D．若与的夹角为锐角，则

【答案】BC

【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；

B：当时，，此时，则，故B正确；

C： ，故，当时，取得最小值，故C正确；

D：若与的夹角为锐角，则，解得；

当与共线时，，解得，故，故D错误；

综上所述，正确的选项是：.

故选：BC.

10．为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ）

A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

C．向下平移两个单位长度 D．向上平移两个单位长度

【答案】BD

【分析】，可通过平移，也可通过伸缩得到.

【详解】,

可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，

也可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.

故选：BD

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A．若a>b，则

B．c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解

C．若a，b，c成等比数列，的取值范围为

D．若，则△ABC为锐角三角形

【答案】ABC

【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B，D选项利用正余弦定理可判断.

C选项，由a，b，c成等比数列，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.

【详解】对于A：a>b可知A>B，由余弦函数单调性可知故A正确；

对于B，在中，c＝10，a＝12，，得，所以

△ABC有唯一解，故B正确；

对于C，∵a，b，c成等比数列，设，q>0，则b＝aq，，

∴，∴，∴，故C正确；

对于D，若，则，故，由正弦定理得：，

由余弦定理得，则，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还是钝角，故D错误；

故选：ABC

12．已知数列满足，，记数列的前n项和为，对恒成立，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则数列为递减数列

B．若，则数列为递增数列

C．若a＝3，则的可能取值为

D．若a＝3，则

【答案】BCD

【分析】对于A，取特殊情况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；

对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.

【详解】对于A，令，解得，即数列的不动点为2，所以当a＝2时，，此时为常数列，A错误；

对于B，作出函数与函数y＝x的图像如图：

由图可知B正确；

对于C，作出函数与函数y＝x的图像如图：

由图可知：，∴，∴，

即，又∵，∴，

一方面，由得，

∴，，

∴

∵，且当n→＋∞，，∴，∵，

∴另一方面，由，，得，，

又∵，，，且，∴，

所以CD正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P（x，y），若秒针针尖的初始坐标为当秒针由点P0的位置（此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系为______.

【答案】，

【分析】确定对应的角度，再根据点在单位圆上，写出函数的解析式.

【详解】由题意，半径，函数的周期，所以时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为，以轴正半轴为始边，所在射线为终边，得对应的角度为，秒针是顺时针，则对应的角度为，所以时刻的纵坐标，.

故答案为：，.

14．等差数列前项和为，，则___________.

【答案】

【分析】由结合等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果

【详解】

，即

故答案为：52

15．计算：_______.

【答案】

【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.

【详解】原式

【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.

16．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.

【答案】          1

【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；

（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.

【详解】（1）由题意得，，则，，

则.

（2）由题意得，，，∴，

令，则，令，则，

显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.

故答案为：，1.

四、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】（1）由，故

由正弦定理知：，所以.

因为，所以A为锐角，故；

（2）由（1）及余弦定理知：，

故，故.

由，所以，

所以的面积.

18．已知等比数列的前n项和为（b为常数）．

(1)求b的值和数列的通项公式；

(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；

（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；

【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1，

若的首项、公比分别为、，则，

∴且，所以，

故的通项公式为．

当时，；

（2）解：令，，解得，所以

数列在中的项的个数为，则，所以，

∵，①

∵②        

两式相减得∴．

∴

19．如图，三棱台ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.

(1)求证：AB⊥CF；

(2)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED⊥平面ACFD推导出CP⊥平面ABED，进而可得出CP⊥AB；

(2) 设DF＝a，可得出，，过点P作PM⊥BC于点M，计算出点到平面ABC的距离，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：延长AD、BE、CF交于点P，

∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，

∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，

∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.

（2）由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，

设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，

∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，

过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，

又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，

由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D为PA的中点，

∴D到平面ABC的距离，

∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.

20．已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，

条件①：的最大值为1；

条件②：的一条对称轴是直线；

条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．

求：

(1)函数的解析式；

(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．

【答案】(1)选择条件①③得；

(2)

【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式，再求解即可；

（2）结合函数平移变换得，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：，

当选条件②，的一条对称轴是直线时，，即，显然不成立，

条件①③能确定函数解析式，

因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为

所以，，解得，，

所以，

（2）解：根据题意得，

因为，所以，

因为在区间上的最小值为

所以，，解得.

所以，的最大值为.

21． 已知函数是偶函数.

（I）证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；

（II）若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【分析】（I）先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值，然后利用定义法证明函数在上单调递增，即可证明出所证结论；

（II）由，得出，令，将问题转化为关于的方程有且只有一个正根，然后分三种情况讨论：①；②，；③，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数的取值范围.

【详解】（I）由函数是偶函数可得：，，

，即对一切恒成立，.

由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.

任取、且，则，

，，，即，.

函数在上为单调增函数.

对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；

（II）若方程有且只有一解，

也就是方程有且只有一个实根.

令，问题转化为方程：有且只有一个正根.

（1） 若，则，不合题意；

（2） 若时，由或，当时，不合题意；当时，；

（3） 若时，，若方程一个正根与一个负根时，则.

综上：实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.

22．已知函数 (为正有理数)．

(1)求函数的单调区间；

(2)证明： 当时，．

【答案】(1)的增区间为，减区间为，

(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由于在单调递减，所以，令，所以只要证即可，而，所以只要证明： 当时，，而，所以令，然后利用导数求的最大值小于等于零即可.

【详解】（1）函数的定义域为．

（为正有理数)，

当时，，，所以；

当时，，，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的增区间为，减区间为；

（2）因为在单调递减， 所以．

记，

因此要证，只要证即可

而且，

因此只要证明： 当时，．

而．

令，则，

 令， 则．

令，则，

令，则，

所以在(0，1]上单调递增，

又，

又在(0，1]上连续，

故存在， 使得当时，，当时，，

所以在上单调递减， 在单调递增．

又，所以．

即，所以在单调递减，

所以，即．

综上所述，当时，．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当时，，构造函数，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.