2023届河南省普高联考高三上学期考数学（理）测评卷（二）含解析

2023届河南省普高联考高三上学期考数学（理）测评卷（二）

一、单选题

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由集合的运算计算即可.

【详解】，，

故选：A

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】，故，.

故选：B

3．设向量，均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由数量积的运算性质与充分条件与必要条件的定义求解即可

【详解】向量，均为单位向量，由化简可得

，

所以，

所以，即.

向量，均为单位向量，当时，

则，

，

，

所以，

所以“”是“”的充要条件，

故选：B

4．已知实数a，b满足，在下列各式有意义的前提下，一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用基本不等式判断.

【详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误，

对于B，若，则满足，而，所以B错误，

对于C，若，则满足，而，所以C错误，

对于D，因为，所以，当且仅当，

即时取等号，所以一定成立，所以D正确，

故选：D

5．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.

【详解】因为命题“”是假命题，

所以是真命题，

又可化为，即，

当时，，

所以在上恒成立，

所以其中,，

当时有最小值为，此时有最大值为，

所以，故实数的取值范围是

故选：C

6．已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则（    ）

A．2022 B．－2022 C． D．1011

【答案】B

【分析】根据条件，可以推出.然后，根据等差数列的性质，可得结果；也可以直接根据前n项和公式求和.

【详解】解法1：由已知，得，则，

根据等差数列的性质有，

所以，有

解法2：由已知，得，则，

根据等差数列的性质有，

所以，.

故选：B.

7．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性判断BD，由判断AC.

【详解】，，即函数在上单调递增，且，即函数的定义域为，定义域关于原点对称.，即函数是奇函数，图像关于原点对称，故BD错误；因为，所以C错误.

故选：A

8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理将原式边化角，再根据和角公式和辅助角公式化简即可.

【详解】

或（舍）

故选：C.

9．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.

【详解】由题意可知：的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，

又因为，且在上为减函数，

由复合函数的单调性可知：在上为增函数，

因为，所以，

所以，解得：或，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

10．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则函数的最小值为（    ）

A．4 B．－4 C． D．

【答案】D

【分析】先由恒等变化化简，再结合的最小正周期可得，进而由图象变换得到，即可得到，结合二次函数的性质即可求解

【详解】

因为的最小正周期为，，

所以，所以，

所以，

又将函数的图象向左平移个单位长度后，

再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，

所以，

所以，

当时，有最小值，且为，

故选：D

11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造，，求导，结合函数单调性分析，即可判断.

【详解】令，则，

令，有，令，有，

故函数在单调递增，在单调递减，

故，即，，

令，则，

令，有，令，有，

故函数在单调递增，在单调递减，

故，即，，

综上：.

故选：C

二、多选题

12．各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则必有 B．若，则必有是中最大的项

C．若，则必有 D．若，则必有

【答案】AD

【分析】由等比数列的性质可判断AB，由等比数列的单调性可判断CD.

【详解】对于A，若，则，

即有，根据等比数列的性质，

则，即有，A正确；

对于B，若，则等比数列单调递减，

因为，所以，则是中最大的项；

若，则等比数列单调递增，

因为，所以，则是中最小的项，B错误；

对于C，若，则，而，所以数列单调递减，

若，则，所以；若，则，所以，C错误；

对于D，，而，所以数列单调递减，

所以，所以，即，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．若各项均不为零的数列满足，，且，则______．

【答案】

【分析】由，可知为等差数列，从而可以求出的通项公式，进而可求出的值．

【详解】由，得，

∴为等差数列．

又，，

所以，

∴，

∴．

∴．

故答案为：．

14．已知向量，，若，则实数k＝______．

【答案】-1

【分析】先求得的坐标，再根据求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

因为，

所以，

解得，

故答案为：-1

15．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．

【答案】.

【分析】由题意可得，，求出，然后由，得，再结合函数的最大值为2，可得，从而可求得结果.

【详解】因为函数的图象关于点对称，

所以，，

所以，得，

因为，所以，

所以，

由，得，

因为区间上的最大值为2，

所以的最大值为，

所以，得，

故答案为：.

16．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.

【详解】，即，

设，恒成立，故单调递增.

原不等式转化为，即，即，

设，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值解决参数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中通过变形构造函数，利用单调性解决问题是答题的关键.

四、解答题

17．已知正项数列的前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，作差得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出其通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

【详解】（1）解：因为，即①，

当时，解得或（舍去），

当时②，

①②时，即，

即，即，

因为，所以，即，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以.

（2）解：由（1）可得，

所以

.

18．已知函数．

(1)求的最小值，并写出此时x的取值集合；

(2)若，求的单调递减区间．

【答案】(1)，此时x的取值集合为；

(2)的单调递减区间为和

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数得， 再利用再由余弦函数的最值求解即可；

（2）由，求出，再结合对取值即可求解

【详解】（1）

.

当，即时，

取得最小值，且，

所以，此时x的取值集合为；

（2）由，

得，

所以，

所以的单调递减区间为，

又因为，

所以的单调递减区间为和

19．设函数．

(1)若曲线在处的切线与直线平行，求实数a的值；

(2)讨论的单调性并判断有无极值，若有极值，求出的极值．

【答案】(1)

(2)详解见解析

【分析】（1）求导得，根据条件可得，列出方程即可求得的值.

（2）由（1）可得，通过对的大小讨论即可得到其单调区间即极值.

【详解】（1）因为

且曲线在处的切线与直线平行，

所以，即

故

（2）由（1）知

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，解得或

不妨令（是与中较小的一个，是较大的一个）

列表如下:

当时，即，取，其单调区间如表格所示，极大值为，极小值为.

当时，即，取，其单调区间如表格所示，极小值为，极大值为.

20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式可化简原式为，结合求解即可；

（2）由三角形的面积公式结合正弦定理得：，因为为锐角三角形，求出角的范围，即可求出的值域，即可求出面积的取值范围.

【详解】（1）由以及，

可得，

即，

即，

即，

即，

由于，故，又，故，

故或，

解得或（舍去），

故.

（2）由正弦定理得，即，．

所以的面积，

．

因为为锐角三角形，

所以，

所以，所以，

故面积的取值范围是．

21．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且．

(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围；

(2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)取的中点，则，所以，根据PB＝1，可以得到，进而求出结果；

(2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解.

【详解】（1）取的中点，所以，

因为为的中点，所以，

所以，

又因为PB＝1，所以，故，

故的取值范围.

（2）因为，所以，

因为，，，

所以，也即，

因为点三点共线，所以①

因为，所以，

所以，又因为，所以，

所以②，

由①得：，将其代入②式可得：，

所以当时，取最大值.

22．已知函数，函数的最大值为．

(1)求实数m的值；

(2)设，若函数有2个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数的最大值进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合函数零点的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）由，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即，满足；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，无最大值，不符合题意，

综上所述： ；

（2），

，

若，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，

当时，，当时，，

所以要想函数有2个零点，只需；

若，，所以函数是正实数集上的减函数，函数不可能有两个零点；

若，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，，当时，，，

所以函数有一个零点，不符合题意，

若，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，，当时，，，

显然当时，函数必有一个零点，要想函数有两个零点，

只需，

而，所以不成立，

综上所述：，所以实数a的取值范围为.

【点睛】关键点睛：根据导函数的零点之间的大小关系分类讨论进行求解是解题的关键.