2023届山东省济宁市育才中学高三上学期开学数学试题含解析

2023届山东省济宁市育才中学高三上学期开学数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合M，再去求即可解决

【详解】由可得

则

则

故选：B

2．下列命题中的假命题是（    ）

A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝0

C．∀x∈R，3x＞0 D．∀x∈R，x2＞0

【答案】D

【分析】A、B、D可通过取特殊值法来判断；C由指数函数的值域来判断.

【详解】对于A，当时成立，故A是真命题；

对于B，当时成立，故B是真命题；

对于C，由指数函数的值域即可判断恒成立，故C是真命题；

对于D，当时不成立，故D是假命题.

故选：D.

3．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，角的终边绕原点逆时针旋转后经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据三角函数定义得，再根据诱导公式求.

【详解】根据题意得

所以，

故选：B

【点睛】本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．若直线和曲线相切，则实数的值为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】先求导，再设切点坐标为，求出即得解.

【详解】因为，

所以，

设切点坐标为，

所以.

所以.

故选：C

【点睛】结论点睛：函数在点处的切线方程为.

6．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.

【详解】不妨设中，，边长，边长，

以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系

则、、,

,设，则

故

可得，故

的面积为，

的面积为

则与的面积之比为

故选：C

7．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式.

【详解】由题意知的定义域为，

，是定义在上的偶函数﹐

在上单调递减，在上单调递增，

，，，，或.

故选：B

8．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.

【详解】设，

则，

当时，，则为单调递增函数，

当时，，则为单调递减函数，

所以，

又，，，

又，，且在上单调递减，

所以，

所以.

故选：D

二、多选题

9．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（    ）

A．若复数z＝3+i，则

B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为，则x2+＝1

C．若复数z1，z2，满足，则

D．复数z＝13i的虚部是3

【答案】ABC

【分析】根据复数的运算法则，几何意义，以及共轭复数的概念，虚部的概念，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：z＝3+i，则，故A正确；

对B：由题可得z﹣2i，又|z-2i|＝1，故，故B正确；

对C：设，则，故，故C正确；

对D：复数z＝13i的虚部是，故D错误；

故选：ABC.

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点

C．函数在上单调递减

D．函数在[0，2π]上恰有4个极值点

【答案】AD

【分析】采用整体代入法，结合正弦函数性质逐一判断即可.

【详解】对A，当时，，，故关于直线对称，故A正确；

对B，当时，，，故B错误；

对C，当，故在区间上单调递增，C错误；

对D，当，当、、、时取到极值点，共有4个，故D正确.

故选：AD

11．已知函数，则下列对关于x的方程的解的个数的判断正确的是（    ）

A．当时，该方程有两个不相等的实数解

B．当时，该方程有3个不相等的实数解

C．该方程至少有3个不同的实数解

D．若该方程恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是

【答案】BD

【分析】画出函数图像，根据图像分别考虑和的解的个数，时，有4个解，时有3个解，时有2个解，有5个解，得到答案.

【详解】画出函数图像，如图所示：

当时，，即或，

根据图像：有两个解，有两个解，故方程有4个解，A错误；

当时，，即或，

根据图像：有两个解，有1个解，故方程有3个解，B正确；

当时，，方程有两个解，C错误；

，则或，有2个解，方程恰有5个不同的实数解，故有3个解，根据图像知，D正确.

故选：BD

12．若函数满足对，都有，且为R上的奇函数，当时，，则（    ）

A．

B．是周期为1的周期函数

C．当时，单调递增

D．集合中的元素个数为13

【答案】ACD

【分析】根据为奇函数得到，再结合得到，即可得到是的一个周期，即可判断B选项；

根据周期性和得到，即可判断A选项；

根据已知函数的单调性即可得到的单调性，即可判断C选项；

根据函数和的图象交点个数即可判断集合中元素的个数，即可判断D选项.

【详解】因为为上的奇函数，所以，即，又，所以，则是的一个周期，故B错；

，在中，令，则，所以，故A正确；

因为，，都在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；

如图为函数和的图象，因为，再结合图象可知函数和的图象有13个交点，所以集合有13个元素，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．设为数列的前项和，且，则___________．

【答案】

【分析】利用可得数列从第二项起是等比数列，写出时的通项公式，再和时分段写通项公式即可.

【详解】，

则当时，，

得，故数列从第二项起是等比数列，

又

当时，，

又，

，

故答案为：

14．若角的终边经过点，且，则实数___________.

【答案】

【分析】由题意可得角是第一象限的角，且，根据诱导公式可得，不妨取，代入中利用两角和的正切变形公式化简可求出的值

【详解】因为角的终边经过点，

所以

因为，，

所以角是第一象限的角，

所以，

不妨取，则，

所以

，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

15．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．

【答案】##

【分析】利用基本不等式来求得最小值.

【详解】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）

＝4＋5＋＋≥9＋2＝，

当且仅当＝，时取等号， 此时，

故的最小值为．

故答案为：

16．已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．

【答案】

【分析】先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围.

【详解】设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.

故，故，实数a的取值范围为

故答案为：

【点睛】切线放缩是一种很重要的方法，再使用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：，，，等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果.

四、解答题

17．已知向量，，函数，且f（x）的相邻两对称轴间的距离为．

(1)求f（x）的解析式；

(2)将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当时，求函数g（x）的值域．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式得到，然后根据的相邻两对称轴间的距离为得到最小正周期为，即可得到，代入即可得到的解析式；

（2）根据图象的变换得到的解析式，然后利用换元法求值域即可.

【详解】（1）

，

因为的相邻两对称轴间的距离为，所以最小正周期为，则，

又因为，所以，.

（2）由题意得，，

令，则，，

所以的值域为.

18．已知数列是公差不为0的等差数列，＝2，且为与的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和Sn．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用等差数列的基本量计算可求得，写出通项公式；

利用“错位相减法”与等比数列的前项和公式即可得出．

【详解】（1）设等差数列的公差为，

，且，，成等比数列．

，即，

化为：，，

解得．

．

所以数列{an}的通项公式.

（2）由(1)知.

所以，(1)

，(2)

(1)－(2)得，，

所以.

19．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B；

(2)若b＝2，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求；

（2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围．

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵ ，

∴；

（2）由，

可得：,

又，

∴即，当且仅当时取等，

又，

∴的取值范围为．

20．已知函数 .

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）是否存在实数,使得函数在上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值为.（2）见解析.

【详解】试题分析：

(1)首先对函数求导，然后结合导函数与原函数的单调性可得函数的单调增区间是，单调减区间是，极小值为

(2)由题意结合(1)的结论分类讨论可得不存在满足题意的实数a.

试题解析：

由题意知，.

（1）由得，解得，所以函数的单调增区间是；

由得，解得，所以函数的单调减区间是.当时，函数有极小值为.

（2）由（1）可知，当时，单调递减，当时，单调递增.

①若，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为，显然，故不满足条件.

②若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，故函数的最小值为，即，解得，而，故不满足条件.

③若，即时，函数在在上为减函数，故函数的最小值为，即，而不满足条件，综上所述，这样的不存在.

21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知可得，从而，由此能证明数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即可求出数列{an}的通项公式；

（2）由数列{an}的通项公式求出，再由，由此利用裂项相消法即可证明.

【详解】（1）因为，所以.

两式相减，得，

即

所以当时，，

在中，令，得，

所以，

又满足，所以

所以，

故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.

（2），

所以，

当时，，

当时，，

所以.

22．设函数.（为自然常数）

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；（2）先根据定义域得到，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，定义域为，

，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）在区间上有意义，故在上恒成立，可得，

依题意可得：在上恒成立，

设，

，易知在上单调递增，故，

故在上单调递减，最小值为，

故只需，设，其中，

由可得：在上为减函数，

又，故.

综上所述：a的取值范围为.

【点睛】已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高.