2022年12月高三全国大联考（全国乙卷）文科数学试卷及答案

这是一份2022年12月高三全国大联考（全国乙卷）文科数学试卷及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年12月高三全国大联考（全国乙卷）文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（    ）A． B． C． D．3．自古以来，斗笠是一种防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.下图是一个斗笠的实物图和三视图，由三视图中数据可得该斗笠的侧面积为（    ）A． B． C． D．4．函数的部分图像大致是（    ）A． B．C． D．5．已知为等差数列的前项和，，，则（    ）A．5 B．0 C． D．6．已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，则（    ）A．8 B．6 C．2 D．47．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的对称中心可以为（    ）A． B． C． D．8．已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件可以是（    ）A． B． C． D．9．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．10．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．11．已知双曲线：上的一点（异于顶点），过点作双曲线的一条切线.若双曲线的离心率，为坐标原点，则直线与的斜率之积为（    ）A． B． C． D．312．已知各项不等于0的数列满足，，.设函数，为函数的导函数.令，则（    ）A． B．36 C． D．54 二、填空题13．已知平面向量，，则平面向量与的夹角为______.14．已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则______.15．已知函数的导函数，若在处取到极小值，则的取值范围是______.16．已知中，点在边上，，，.沿将折起，使，若折起后，，，四点都在以为球心的球面上，则球的表面积为______. 三、解答题17．在中，点在边上，，，.(1)若，，求的长；(2)若，求的面积的取值范围.18．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.参考数据：，，，.参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.19．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为3，在棱上，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.20．已知函数，，为常数，的图象在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.21．已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且.(1)求坐标原点到直线的距离的取值范围；(2)设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；(2)设，曲线，的交点为A，，求的值.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：1．A【分析】解不等式得到，进而求出交集.【详解】或，故.故选：A2．B【分析】利用复数的运算法则化简即可求解.【详解】因为复数，所以，则，所以复数在复平面内所对应的点的坐标是，故选：.3．C【分析】根据圆锥的侧面积公式求出答案即可.【详解】该几何体为圆锥，由三视图可得其底面半径为，高为，所以其母线长为，所以其侧面积为，故选：C.4．C【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为,.所以为奇函数,故选项错;,故选项错;故选:.5．D【分析】由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差，然后求出，再由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求得结论．【详解】设的公差为，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，．故选：D．6．A【分析】由抛物线方程求出焦点，得出，再由根与系数的关系及抛物线定义得解.【详解】由抛物线：，可知，焦点， 因为过焦点，所以，设，联立，消元得，则，由抛物线定义知.故选：A7．D【分析】根据图像变换求得的解析式，再求得的对称中心.【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，所以，令，即的对称中心为，令，求得的一个对称中心为.故选：D8．C【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.【详解】函数定义域为R， 因为，所以是一个奇函数.因为，所以在R上单调递增.因为，又是一个奇函数，所以，又在R上单调递增，所以，解得.不等式成立的一个充分不必要条件是集合的真子集，所以选项C正确.故选：C.9．A【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.【详解】解：因为在R上为单调递减函数，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即，所以，即，又因为，又因为，，即有所以，即，所以，即，综上所述：.故选：A.10．B【分析】作出异面直线和所成角，结合余弦定理求得其余弦值【详解】过作，交于，则或其补角为异面直线和所成的角，设，则，由余弦定理得，由余弦定理得，，在三角形中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为.故选：B11．A【分析】表示出点的坐标，分别用坐标和a、b、c表示出直线与的斜率，最后计算出斜率的积即可.【详解】由双曲线的离心率，得，所以，得，设，可得双曲线在点M处的切线l为，所以l的切线方程为直线l的斜率，又，所以故选：A【点睛】结论点睛：若二次曲线方程为：设过二次曲线的切线切点为，则二次曲线切线方程或切点连线方程为：证明（仅供参考，结论考生可直接使用）：对方程两边同时关于x求导数，得到：，整理以后，即得到：，根据导数的几何意义，曲线经过处切线的斜率k应满足关系式，因此，所求切线方程，可转化为化简并整理，得用因为，因此上式可化简为：即，证毕.12．D【分析】首先可得到，然后利用导数可得，然后可求出答案.【详解】因为，，，所以，所以依次可求出，，，，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选：D.13．【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可.【详解】设平面向量与的夹角为，因为平面向量，，所以，因为，所以，所以平面向量与的夹角为，故答案为：14．【分析】画出图象，利用等面积法求得【详解】圆：，即，圆的圆心为，半径.画出图象如下图所示，，四边形的面积为，解得.故答案为：15．【分析】对参数进行分类讨论，在每种情况下分别判断函数的极值，进而找出符合题干条件的情况，最终求出参数的取值范围.【详解】已知，解得或.若时，则恒成立，即此时为常数，没有极值，故；若时，则，此时函数在定义域内单调递减，没有极值，故；若时，由，得，此时单调递增，由，得或，此时函数单调递减，即函数在处取得极大值，不满足条件；若，由，得，此时单调递增，由，得或，此时函数单调递减，即函数在处取得极小值，满足条件；若，由，得或，此时单调递增，由，得，此时函数单调递减，即函数在处取得极大值，不满足条件.综上所述参数的取值范围是.故答案为：16．【分析】如图，根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.【详解】如图，沿AD将折起后，得到满足题意的几何体为三棱锥，在中，，，由余弦定理，得，所以，设的外接圆圆心为M，半径为，则，由正弦定理，得，解得，即，易知平面，又AD是球O的弦，，，所以，得球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：.17．(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理先求得，进而求得.（2）利用正弦定理以及三角恒等变换，将表示为含的三角函数的形式，结合三角函数值域的求法来求得的取值范围.【详解】（1），在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在三角形中，由余弦定理得，所以.（2）因为，所以在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以，所以，，所以的面积的取值范围是.18．(1)答案见解析；(2)44. 【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解.【详解】（1）由题意可知：..又，所以相关系数.因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.（2）由（1）知，，，.所以,所以.所以与的回归直线为.当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.19．(1)证明详见解析(2) 【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）求得三棱锥的高，进而求得其体积.【详解】（1）连接，依题意可知，，所以，所以.根据正棱柱的性质可知，平面平面且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面.（2）取的中点，连接，在正三角形中，，则,根据正棱柱的性质可知，平面平面且交线为，平面，所以平面.由于平面，平面,所以平面，所以点与点到平面的距离相等，所以.20．(1)；(2) 【分析】（1）根据切线方程可求，根据函数解析式可求，从而可求.（2）求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.【详解】（1）因为的图象在点处的切线方程为，故，故，因为，故，故.（2）由（1）可得，故，若，则在上恒成立，故在上为减函数，故恒成立，这与题设矛盾.若，则，故恒成立，故（不恒为0）在上恒成立，故在上为增函数，故故恒成立，符合.若，则在有解，且当时，即，故在为减函数，故，有，不合题意，舍.综上，.21．(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件设出直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及判别式，结合点到直线的距离公式及不等式的性质即可求解；（2）由（1）的结论及弦长公式，得出弦长，根据已知条件及直线的斜截式方程，联立方程组，根据根与系数的关系及弦长公式，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解.【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立，消去，整理得，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为，又，所以，所以，即，所以坐标原点到直线的距离的取值范围为.（2）由（1）可知.由题意及（1）可知直线的方程为.设，联立，消去，整理得，则根据根与系数的关系，得，所以，所以四边形，设则四边形，因为在上单调递增，所以四边形,所以四边形的面积的最小值为.22．(1)，：；(2)6 【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直角方程为标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理求解．【详解】（1）由消去参数得，即为的普通方程，，，平方整理得，即为的直角坐标方程；（2）曲线为直线，其标准参数方程为（为参数），代入的直角坐标方程并化简得，对应的参数分别为，则，所以．23．(1)(2) 【分析】（1）去绝对值得分段函数，解分段函数不等式即可；（2）讨论，，其中时不等式恒成立等价于恒成立，化简并求出的最大值即可.【详解】（1），当，由解得；当，由解得；当，，无解. 综上，不等式的解集为；（2）当时，，不等式成立；当时，不等式恒成立等价于恒成立，，∴，故.∴实数的取值范围为.