专题26 求动点轨迹方程 微点5 参数法求动点的轨迹方程及答案

专题26  求动点轨迹方程  微点5  参数法求动点的轨迹方程

专题26  求动点轨迹方程

微点5  参数法求动点的轨迹方程

【微点综述】

在高考和数学竞赛中有关求动点的轨迹方程题屡见不鲜，就大的范围来说，求曲线的轨迹方程不外乎直接法与间接（设参消参）法两种，然而有不少轨迹方程是很难用直接法来求解的，而是需要借助于参数才能间接得以解决．如果动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程．

一、参数法求动点的轨迹方程

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响．

二、参数法求动点的轨迹方程一般步骤

第一步，选择坐标系，设动点坐标；

第二步，分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；

第三步，建立参数方程；

第四步，消去参数得到普通方程；

第五步，讨论并判断轨迹．

常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变．

三、参数法求动点的轨迹方程应用举例

利用参数求动点轨迹方程，关键是如何合理地选择参数，以及使用参数求动点轨迹方程还应注意哪些间题．

（一）如何选择参数求动点轨边方程

利用参数是求动点轨迹的重要方法，而参数选择的恰当与否，直接影响着解题速度和解题质量．若考察轨迹上点的变动因素，通常可取点的坐标或角度或有向线段作为参数；若所求的轨迹上的点可看作经过某定点的直线束上的点，常以直线束的斜率为参数．

1．以点的坐标为参数

1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是

A． B．

C． D．

2．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．

2．以直线的倾斜角为参数

3．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

3． 以直线斜率为参数

4．如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

5．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．

（二）注意事项

用参数法则求动点轨迹方程，要注意其方程的完各性和纯粹性．

1．完备性

6．等边，（定长），，两点分别在轴和轴上运动，求动点的轨迹方程．

2．纯粹性

7．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹．

运用参数法则求轨迹方程，应根据参数的取值范围，求出动点坐标的取值范围，才能确定其轨迹，否则，不能保证轨迹的纯悴性．

小结：

从上面的典型实例及解析中，我们可以看出，适当运用参数法求动点轨迹方程具有间接、迂回、化繁为简的优点，应用十分广泛．

选择参数的几点注意事项：

（1）点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好；

（2）所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程；

（3）若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程．

（2022·肥城市教学研究中心）

8．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ）

A．弦的中点轨迹是圆

B．直线的交点在定圆上

C．线段长的最大值为

D．的最小值

9．已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．

10．如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.

11．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

（2022·广东海珠·高二期末）

12．已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．

（2022·贵州·二模（理））

13．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程．

14．已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.

15．在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.

（2022·辽宁抚顺·高二期末）

16．已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．

17．设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

参考答案：

1．B

【详解】设，，过点的直线为，

由得，直线代入得

则，

即，，所以

故选B

2．

【分析】设、，利用定比分点公式求点坐标与点坐标间数量关系，根据点在抛物线上求的轨迹方程．

【详解】设、，则，

①，②

在抛物线上，

，把①②代入得，化简得，

即，轨迹为抛物线.

3．答案见解析

【解析】记B(-1，b)(b∈R)，易知直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx，设点C(x，y)，（0≤x<a），根据OC平分∠AOB，利用点C到OA､OB距离相等得到，再根据点C在直线AB上，由 ，求出b，代入上式化简求解.

【详解】依题意，记B(-1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.

设点C(x，y)，则有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知点C到OA､OB距离相等.

由点到直线的距离公式得

又因为点C在直线AB上，

所以 ，

因为，

所以 ，

代入上式得 ，

整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0，

若y≠0，则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)，满足上式.

综上得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a).

（i）当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x<1).表示抛物线弧段；

（ii）当a≠1时，轨迹方程为

当0<a<1时，方程表示椭圆弧段；

当a>1时，方程表示双曲线一支的弧段.

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法

1．直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了．

2．定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．

3．相关点法：当动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.

4．，M 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去掉坐标原点．

【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，消去参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点．

【详解】设 ， 的斜率分别为 ．

所以

由 ，得

由点在 上，得直线方程

由 ，得直线 方程

设点 ，

则 满足②、③两式，将②式两边同时乘 ，并利用③式整理得

由③、④两式得

由①式知，

∴

因为 是原点以外的两点，所以 ．

所以点 M 的轨迹方程为， 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，去掉坐标原点．

5．

【分析】根据题意求的坐标，再利用消参法求点的轨迹方程.

【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为．

∵直线OA的方程为，

联立方程，解得，即，

同理可得．

由中点坐标公式得，即，消去得

∴点的轨迹方程为

6．

【分析】过点作轴于，设为参数，利用表示点的坐标，消参即可.

【详解】如图①，过点作轴于，设为参数，动点的坐标为，

由，，

得，，

即参数方程为，

消去参数，得．

若以此结论作为点的轨迹方程是不完备的．原因是：以上解法只考虑，，的排列顺序按顺时针方向，如果，，排列顺序按逆时针方向，仍以与轴正向夹角为参数，如图②虚线形，则轨迹的参数方程为，

消去参数，得．

综上，所求的动点的轨迹方程为．

7．

【分析】将原式配方，得顶点坐标，将参数方程化为普通方程，最后再注明的范围即可.

【详解】将原式配方得，，

设点的坐标为，则，

消去参数，得，即．

由于原参数方程中的取值范围是，而普通方程中的取值范围是，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为．

8．ACD

【分析】设，，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断；联立两直线方程消去判断；由选项、及两圆的位置关系判断；由数量积运算结合选项求得数量积的最小值判断．

【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点，

所以.而，半径为，

则圆心到弦的距离为.

又圆心，所以，

即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；

对于选项B：由，消去可得，

得，选项B不正确；

对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，

又由选项B知，点的轨迹方程为：，

所以，

线段，故选项C正确；

对于选项D：

，故，

由选项C知，，

所以，故选项D正确.

故选：．

9．（或）

【分析】由题意，设出点的坐标以及直线方程，联立方程，由根的判别式以及韦达定理，表示出中点坐标，消去斜率，可得答案.

【详解】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．

显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，

由，得：，

，解得：或，则，，

而，因此点M的坐标为，

，消去参数k，得：．

由或，得：或．

综上，点M的轨迹方程（或）．

10．

【分析】表示出直线和直线的方程后可得；结合点在椭圆上，可整理得到所求轨迹方程.

【详解】设，，又，，

则直线的方程为…①；直线的方程为…②；

由①②得：…③；

由点在椭圆上可得：，

，代入③得：.

11．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【分析】设的方程为

．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．

【详解】由题设，设，则，且

．

记过两点的直线为，则的方程为

（Ⅰ）由于在线段上，故，

记的斜率为的斜率为，则，

所以

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则，

由题设可得，所以（舍去），．

设满足条件的的中点为．

当与轴不垂直时，由可得．

而，所以．

当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为

【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．

12．

【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0，再转化平行条件从而得到动点的轨迹方程.

【详解】设、、，

则，，，

由，得，且点、均不在轴上，故，且，．由，得，即．由，得，即．

∴，

∴动点的轨迹的方程为：.

13．

【分析】根据点与，可得椭圆方程，设直线的方程，联立直线与椭圆，可得的坐标，同理可得，进而可得点的参数方程，消参即可得轨迹方程.

【详解】设椭圆方程为，

因为点和点为椭圆上两点，

所以，解得，

所以椭圆方程为，即，

设直线的斜率为，直线的方程为，即，

与椭圆联立方程，得，

即，

点的横坐标为，纵坐标为，

即点的坐标为，

因为直线与的斜率之和为，直线的斜率为，

同理，可得点的坐标，

点的坐标为，

点的参数方程为：（为参数）

消去参数得点的轨迹方程，

由，解得，，

点的轨迹方程．

14．（1）；（2）.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得的面积的最大值，利用等号成立得出，利用为线段的中点，结合中点坐标公式以及韦达定理化简得出，代入等式，化简可得点的轨迹方程.

【详解】（1）由题意知，解得，故椭圆的方程为；

（2）设、、，

由得，

，

由韦达定理可得，，

点到直线的距离，

，

取得最大值，当且仅当即时成立，①

符合，

此时，，

即，代入①式，得，整理得，

即点的轨迹方程为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

15．（）或（）

【分析】求出外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程．

【详解】设的外心为，半径为R，

则有，又，

所以，即，或，

当坐标为时．

设，，有，即有（），

由，则有，

由，则有，

所以有，，则，

则有（），

所以垂心H的轨迹方程为（）.

同理当当坐标为时．H的轨迹方程为（）.

综上H的轨迹方程为（）或（）．

16．（不含点）

【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合两点连线斜率公式表示出，代入韦达定理的结论可整理求得或；当时，可知所过定点不在轴上，不合题意；当时，可知定点为；由可知，由此可得点轨迹为圆，由圆心和直径可求得轨迹方程，排除不合题意的点即可得到轨迹.

【详解】设直线，

由得：，则，解得：，

，，，

即，

，

即，

整理可得：，解得：或；

当时，，

则直线恒过点，不合题意；

当时，，满足，直线恒过定点，满足题意；

，，又四点共线，，

点的轨迹是以为直径的圆，

设，

中点为，，

点的轨迹方程为：；

当时，，不合题意；

综上所述：点的轨迹方程为：（不含点）.

17．(1)

(2)点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线左侧的部分．

【分析】（1）根据a,b,c 之间的关系，以及条件a=bt,联立方程计算可得.

（2）根据条件将P的坐标表示为关于t的表达式，再消去t可得.

（1）

设所求椭圆方程为由题意得解得     

∴椭圆方程为．

（2）

设点解方程组得     由和得或

其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线左侧的部分．