专题19 圆锥曲线与角平分线定理 微点1 圆锥曲线与角平分线定理

专题19  圆锥曲线与角平分线定理  微点1  圆锥曲线与角平分线定理

专题19  角平分线定理在圆锥曲线中的应用

微点1  角平分线定理在圆锥曲线中的应用举例

【微点综述】

在近几年高考试题中，以“角平分线”为背景的圆锥曲线试题频繁出现，综合性强，是考查学生能力的重要载体．本文主要说明圆锥曲线中以“角平分线”为命题背景的题型及求解策略．

一、两个引理

【引理1】双曲线焦点到渐近线的距离，原点到垂足的距离．

证明：如图，是双曲线（，）的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，

双曲线渐近线方程为，即，

圆心到渐近线的距离．

在双曲线中，两条渐近线与坐标轴的夹角相等，所以经常可以用角平分线化腐朽为神奇．下面先给出三角形角平分线定理．

【引理2】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

如：在中，平分，则．

证明：解法1：（面积法），，

又和是等高三角形，面积的比等于底的比，

即三角形面积：三角形面积：，．

解法2：（相似）如图，过作交的延长线于，则，，又可证明，，．

解法3：（正弦定理）

，，，．

二、题型及其解法举例

（一）求线段长度

例1（2022·山东枣庄·高三期末）

1．已知点为双曲线的右支上一点，分别为左、右焦点，为坐标原点，过点向的平分线作垂线，垂足为，则________．

由本例一般化可以得如下结论：

【结论1】已知为双曲线左、右焦点，点是双曲线上不同于实轴端点的任意一点，若过点（或）向的平分线引垂线，则垂足的轨迹方程为．

类比双曲线，得到关于椭圆的类似结论如下：

【结论2】已知为椭圆左、右焦点，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，若过点（或）向的平分线引垂线，则垂足的轨迹方程为．

说明：结论1，2的证明参考例1的解答．

（二）求线段长度的比值

例2

2．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.

由此题不难得到如下结论：

【结论3】已知为椭圆左、右焦点，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，若为的内心，延长交轴于点，则．

类比椭圆，得到关于双曲线的类似结论如下：

【结论4】已知为双曲线左、右焦点，点是双曲线上不同于实轴端点的任意一点，若为的内心，延长交轴于点，则．

说明：结论3，4的证明参考例2的解答．

（三）求参数的值

例3

3．是双曲线右支上一点，、分别是左、右焦点，是的内心，若，则实数的值为___________

由此例不难得到如下结论：

【结论5】已知为双曲线左、右焦点，点是双曲线上不同于实轴端点的任意一点，若为的内心，则．

类比双曲线，得到关于椭圆的类似结论如下：

【结论6】已知为椭圆左、右焦点，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，若为的内心，则．

说明：结论5，6的证明参考例3的解答．

（四）求解定直线问题

例4

4．设为椭圆:的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为______.

由此例不难得到如下结论：

【结论7】已知为椭圆的一个焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于两点两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则点位于焦点对应的准线上．

类比椭圆，得到关于双曲线的类似结论如下：

【结论8】已知为双曲线的一个焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于两点两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则点位于焦点对应的准线上．

说明：结论7，8的证明参考例4的解答．

（五）求解定点问题

例5

5．已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，离心率为，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为()的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、(点在椭圆右顶点的右侧)，且满足，

①求证：直线过定点，

②求斜率的取值范围．

由此例不难得到如下结论：

【结论9】已知椭圆，轴上不同两点，过点的直线与椭圆交于两点，则的充要条件是．

说明：结论9的证明参考例5的解答．当时，结论9如图1和图2所示；当时，结论 9如图3和图4所示；当过点的直线与椭圆相切时，可以视作两点重合的特例，设切点为，则平行于轴．

同理，当两点位于轴时，有如下结论：

【结论10】已知椭圆，轴上不同两点，过点的直线与椭圆交于两点，则的充要条件是．

说明：当过点的直线与椭圆相切时，可以视作两点重合的特例，设切点为，则平行于轴．

类比椭圆，得到关于圆、双曲线的类似结论如下：

【结论11】已知圆，轴上不同两点（或轴上不同两点），过点的直线与圆交于两点，则的充要条件是．

说明：当过点的直线与圆相切时，可以视作两点重合的特例，设切点为，则平行于轴（轴）．

【结论12】已知双曲线，轴上不同两点（或轴上不同两点），过点的直线与双曲线交于两点，则的充要条件是（或）．

说明：当过点的直线与双曲线相切时，可以视作两点重合的特例，设切点为，则平行于轴（轴）．

我们知道标准形式的椭圆、双曲线、以坐标原点为圆心的圆三者的方程可以统一为，当且时表示椭圆；当时表示双曲线；当时表示圆．上述结论从结构上可以统一为如下结论：

【结论13】已知曲线，轴上不同两点（或轴上不同两点），过点的直线与曲线交于两点，则的充要条件是（或）．

说明：当过点的直线与曲线相切时，可以视作两点重合的特例，设切点为，则平行于轴（轴）．

例6

6．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

以上是我们在复习备考中为学生准备的关于角平分线的解析几何例题，旨在帮助学生熟练运用角平分线的性质和定理，形成模式化的解题策略，达到快速、高效解题的目的．但是解题教学中，应指导学生知其然，更应知其所以然，尤其是对于解析几何问题，将其拓展到一般化情况，可以帮助学生通过一道问题的学习，达到会解一类问题的目的，真正实现“做一题，通一类”．

【强化训练】

7．双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（    ）

A． B． C．2 D．

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，若以点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

（2022江西模拟）

9．设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为

A． B．2 C． D．

（2019年高考新课标Ⅰ）

10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的角平分线，则_______

12．已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _____________．

13．设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．

14．已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_____

15．已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；

(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

（2022全国·高二期中）

16．已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点 使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．2

【分析】先由几何关系得到及为的中位线，再根据双曲线的定义即可求解.

【详解】延长交于，因为为的平分线，且，则，

则为的中点，而为的中点，所以为的中位线，

所以，

由双曲线的定义可知，

又因为双曲线的方程为，所以，即，

所以，

故答案为：

2．

【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，

由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，

则为的角平分线，则到直线､的距离相等，

所以，同理可得，，

由比例关系性质可知.

又椭圆的离心率.所以，所以，故，

故答案为：4.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

3．

【分析】作出图形，由是的内心可得，又由题意可知，于是有，整理化简得，再由双曲线的定义及性质即可求出的值.

【详解】解：依题意,设双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，则.

∵I是的内心,设的内切圆的半径为r，

则：，

，

∵

又，

∴，

即，

∴,

又P是双曲线右支上一点，

∴，

∴.

故答案为：.

4．4

【分析】根据椭圆方程，设，由椭圆的第二定义得到，设 ，然后根据外角平分线定理，由求解.

【详解】如图所示：

因为椭圆方程为，

所以,

所以椭圆的右焦点是，

所以离心率为 ，

设，

由椭圆的第二定义得：

，

所以 ，

设 ，由外角平分线定理得，即，

化简得 ，

解得

所以的横坐标为4

故答案为：4

【点睛】关键点点睛：本题关键是外角平分线定理的应用.

5．（1）；（2）①证明见解析；②．

【解析】（1）利用椭圆的离心率，列方程求解即可；

（2）联立方程，利用，得到，进而可求定点和的取值范围

【详解】（1）由题意知，∴，即，

又∵，∴，，故椭圆的方程为；

（2）由题意，设直线的方程为()，、，

代入椭圆方程，消去得：，

，则，，

得，∵，且，∴，

又，∴，即，

化简得：，

将和代入上式得(满足)，

即直线的方程为，即直线过定点，

将代入得，且，

从而直线的斜率的取值范围是．

【点睛】关键点睛：解题的关键，在于，利用韦达定理，得到，进而求出直线过定点，再利用和进行求直线的斜率的取值范围，难度属于中档题

6．（1）；（2）存在，Q点的坐标为.

【详解】（1）由已知，点在椭圆E上.

因此，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.

如果存在定点Q满足条件，则，即.

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.

则，

由，有，解得或.

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，

则Q点的坐标只可能为.

下面证明：对任意的直线，均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，

A、B的坐标分别为.

联立得.

其判别式，

所以，.

因此.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.

又，

所以，即三点共线.

所以.

故存在与P不同的定点，使得恒成立.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

7．B

【分析】由题意得双曲线方程为，则圆心到渐近线的距离，化简后可求出离心率.

【详解】根据题意得：圆心，半径为，双曲线渐近线方程为，即，

以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，且，

圆心到渐近线的距离，即，

，

则双曲线的离心率，

故选：B

8．D

【分析】由双曲线与抛物线的性质求解

【详解】解法1：设双曲线的方程为（，）．

抛物线的焦点为，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，

，．

又圆：与双曲线的渐近线相切，

由双曲线的对称性可知圆心到双曲线的渐近线的距离为，

，双曲线的方程为，

解法2：抛物线的焦点为，，根据结论1，，，

故选：D

9．C

【详解】试题分析：如下图所示，

从而可知，∴，

即，∴，故选C.

考点：双曲线的标准方程及其性质.

【名师点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征.

10．2.

【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.

【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

11．6

【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．

【详解】不妨设A在双曲线的右支上,

∵为的平分线，

∴，

又∵，解得，故答案为6.

【点睛】本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.

12．

【分析】利用角平分线定理即可获解.

【详解】由角平分线定理,得

所以

所以

即,所以

故答案为：

13．

【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解

【详解】不妨设的倾斜角为锐角向量与同向，

渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，，

，，

，

，，成等差数列，，，

在直角中，，由对称性可知：的斜率为，

，，（舍去）；

，，，

故答案为：

14．##0.5

【分析】由题意得为的重心，设，由重心坐标公式可得的纵坐标，由可得内心的纵坐标与相同，然后利用的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立的等式，从而可得离心率．

【详解】设，

∵，

∴，

∴G为的重心，

∴G点坐标为．

∵，

∴轴，

∴I的纵坐标为．

在中，，

∴．

又I为的内心，

∴I的纵坐标即为内切圆半径．

由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，

∴，

∴

即，

∴，

∴椭圆C的离心率．

故答案为：

15．(Ⅰ) (Ⅱ) 2x﹣y﹣1=0；(Ⅲ) 不存在

【详解】试题分析：（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；

（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．

解：（1）设椭圆方程为

∵椭圆E经过点A（2，3），离心率

∴，

∴a2=16，b2=12

∴椭圆方程E为：；

（2）F1（﹣2，0），F2（2，0），

∵A（2，3），

∴AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2

设角平分线上任意一点为P（x，y），则．

得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0

∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，∴

∴直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，

∴BC中点为

代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4．

∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（1）；（2）存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．

【分析】（1）法1：（待定系数法）由题意可得，将点的坐标代入椭圆的方程，联立求解可求得椭圆的方程；法2：（定义法），求得椭圆的另一个焦点，由椭圆的定义求得，可求得椭圆的方程．

（2）当直线为非轴时，设直线的方程为，与椭圆的方程整理得．设，，得韦达定理，．将问题转化为的斜率互为相反数．运用两点的斜率公式可求得点的坐标，验证当直线为轴时也符合题意．

【详解】（1）法1：【待定系数法】由题意可得，又因为点在椭圆上得，联立解得，．   

所以椭圆的方程为；

法2：【定义法】设另一个焦点为，则为直角三角形，

由勾股定理得，所以，即，由得，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆的方程联立得 ，

整理得．由，

设，，定点 (且，

则由韦达定理可得，．

直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数．

所以，即得．

又，，得，

所以，整理得．  

从而可得，即，

所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立．

特别地，当直线为轴时，也符合题意．

综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．

【点睛】本题考查求椭圆的方程，椭圆的定义的运用，直线与椭圆的位置关系之交点问题，关键在于将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题．