高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一课一练，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1集合的概念
一、单选题
1．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（       ）
A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集
【答案】D
【解析】
【分析】
先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案.
集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．
所以为有限集．
集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，
所以为无限集．
故选：D．
2．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断.
“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误.
故选：B
3．下列命题中正确的是（       ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
4．已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断．
集合有两个元素：和，
故选：B
5．下列关于集合的说法正确的有（       ）
①很小的整数可以构成集合；
②集合与集合是同一个集合；
③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的定义判断．
很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．
集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．
1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．
故选：A．
6．已知集合，，，且，则的值为（       ）
A．1或 B．1或3 C．或3 D．1，或3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系，得到或，从而求得m值，并验证是否符合集合互异性即可.
解：，，，
或，即或.
当时，，5，；
当时，，3，；
当时，，1，不满足互异性，
的取值集合为，.
故选：.
7．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（       ）
A．{x|-3 B．{x|-3 C．{x|-3 D．{x|-3 【答案】D
【解析】
【分析】
逐一分析各个选项，用不等式表示题中描述的内容，在利用描述法即可得出答案.
解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3 所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3 对于A，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；
对于B，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；
对于C，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意.
故选：D.
8．由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
从集合中元素的互异性出发，按照、、分类，即可得解.
由于，，
因此当时，这几个实数均为0，集合含有1个元素；
当时，它们分别是，集合有2个元素；
当时，它们分别是，集合有2个元素；
所以集合中最多含有元素的个数为2.
故选：A.
9．若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.
若，则，就称是伙伴集合，
，
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有，，．
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．
故选:B
10．已知集合，且，则（       ）
A． B．
C． D．不属于中的任意一个
【答案】B
【解析】
【分析】
设出的值，相加再判断得解.


.
故选：B
11．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（       ）
A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A，再对照四个选项一一验证.
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
12．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则


那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
二、多选题
13．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（       ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，解出集合M和P.
选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.
选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
14．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（       ）
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意分析即可.
由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，
而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
故选：AD.
15．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈}，P＝{y|y＝2m，m∈}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则（       ）
A．a∈M B．a∈P
C．b∈M D．b∈P
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用整数的运算性质，根据集合M,N中元素的性质判定,b的性质，进而判定a,b与M,N的关系，即可作出判定.
设x0＝2m＋1，y0＝2n，m，n∈，
则x0＋y0＝2m＋1＋2n＝2(m＋n)＋1,
∵m+n∈,∴a∈M，
b=x0y0＝2n(2m＋1)＝2(2mn＋n),
∵2mn+n∈,∴b∈P，
即a∈M，b∈P，
故选：AD.
16．当一个非空数集满足条件“若，，则，，，且当时，”时，称为一个数域，以下说法正确的是（       ）
A．是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合为数域
D．有理数集为数域
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据新定义，依次分析各选项即可得答案.
解：对于A，若，则，故A正确；
对于B，若且，则，，，依此类推，可得，故B正确；
对于C，，，，但，故不是数域，C错误；
对于D，若，是两个有理数，则，，，都是有理数，所以有理数集是数域，D正确．
故选：ABD．
17．已知集合，则下列说法中正确的是（       ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.
，故，，所以，A错误；
，其中，，故，B正确；
，其中，，故，C正确；
因为，若，此时无意义，故，D错误.
故选：BC
18．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】
本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
三、填空题
19．用符号“”和“”填空：
（1）______N；       （2）1______；       （3）______R；
（4）______；       （5）______N；       （6）0______．
【答案】                             
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断.
由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
20．设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
21．若，则实数_______.
【答案】4或
【解析】
【分析】
分三种情况讨论即得.
∵，
∴，即，此时符合题意；
，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；
，即，经检验符合题意；
综上，或.
故答案为：4或.
22．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是__．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据新定义和集合知识综合的问题，分别判断a+b∈A，且a﹣b∈A是否满足即可得到结论．
①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；
②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；
③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；
④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．
正确结论的序号是①③．
故答案为：①③.
四、解答题
23．用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【解析】
【分析】
根据集合的列举法的概念即得.
(1)
{x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.
(2)
{(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(3)
{(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
(4)
{x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5)
{(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
24．把下列集合用适当方法表示出来：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）{且}；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】
【分析】
根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出．
（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{且}．
（2）.
（3）由得，因此.
（4）由，且，得或，因此.
（5）由得或，.因此.
25．判断下列集合是有限集还是无限集：
（1）；
（2）；
（3）（A，B为平面上两个不同的定点，P为动点）.
【答案】（1）有限集；（2）无限集；（3）无限集.
【解析】
【分析】
（1）由已知得可得出集合A中的元素，由此可得结论；
（2）由已知得该集合的元素有，由此可得结论；
（3）由表示线段AB上的点组成的集合可得结论.
解：（1）因为
所以集合A中的元素为，所以集合A是有限集；
（2）因为中的元素有无限个元素，所以集合是无限集；
（3）因为表示线段AB上的点组成的集合，线段AB上有无数个点，所以集合为无限集.
26．（1）已知集合，试用列举法表示集合；
（2）已知集合，试用列举法表示集合．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合；
（2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合．
解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9，
所以集合用列举法表示为；
（2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1，
所以集合用列举法表示为．
27．已知集合，若中至少有一个元素，求实数的取值集合.
【答案】.
【解析】
【分析】
分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.
集合中至少有一个元素，即中只有一个元素，或中有两个元素.
当中有一个元素时，，或即；
当中有两个元素时，由解得，且.
综上，得.
即实数的取值集合为.
28．已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）将代入方程求解即可；
（2）分、两种情况求解即可；
（3）由条件可得，且，解出即可.
(1)
∵，∴，
∴；
(2)
当时，，符合题意；
当时，，∴．
综上，或；
(3)
集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解，
∴，且，
解得且，
∴实数的取值范围为．
29．已知集合，且．
（1）判断是否为中元素
（2）设，求证：
（3）证明：若，则是偶数；
【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据集合元素的属性判断；
（2）根据，由化简，由集合元素的属性判断；
（3）根据，由化简判断.
（1）因为，
此时：，不满足，
所以不是集合中元素.
（2）因为，则，
，
，
因为都是整数，
所以.
（3）因为，
所以，
，
因为，所以为偶数即为偶数.
30．已知由实数构成的集合满足：若，且、0，则．
（1）求证：当时，中还有3个元素；
（2）设、0均不属于，问：非空集合中至少有几个元素？
【答案】（1）中还有3个元素是：.证明见解析；（2）至少有个.
【解析】
【分析】
（1）令，代入中计算，再根据，则进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；
（2）当、0时，由，则，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的.
（1）若令，则，
此时即有，则，
即，则，
即，则（出现重复元素2，停止计算），
综上，当时，中还有3个元素是：.
（2）当、0时，由，所以，
所以，
所以，
所以（出现重复元素，停止计算），
所以，非空集合中至少有4个元素.
【点睛】
本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把的计算结果也看成是.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.