高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算练习

1.3集合的基本运算

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接由并集的概念求解即可.

.

故选：A.

2．已知全集，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据补集的概念即可求得答案.

由题意得全集，若，

则，

故选:C

3．设集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用交集和补集的定义可求得结果.

由已知可得，.

故选：D.

4．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（       ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的子集个数

，则或

图中阴影部分表示的集合为

或

集合的子集有（个）

则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8

故选：D

5．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的交集运算即可得答案.

因为，

所以

故选：A.

6．下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则；

⑤若，则；

⑥若，则.

其中不正确的命题为（       ）

A．没有 B．④和⑥ C．②和⑤ D．①和③

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合间运算的定义直接判断即可.

根据集合间的运算结果可直接判断①②③⑤正确；

④，则集合与是两集合无公共元素，不一定为空集，故错误；

⑥，集合与不一定都为，故错误；

故选：B.

7．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则（       ）

A．( UM)⊇( UN) B．M⊆( UN)

C．( UM)⊆( UN) D．M⊇( UN)

【答案】C

【解析】

【分析】

由M∩N＝N，可得N⊆M，从而可进行判断

∵M∩N＝N，∴N⊆M，

∴(UM)⊆( UN)．

故选：C

8．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．

解：由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，

故阴影部分所表示的集合是.

故选：C.

9．若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据并运算结果，可得或，结合集合的性质，即可求得，从而进行选择.

因为集合，，且，

故可得或，解得或或，

当时，集合不满足互异性，故舍去；

当或时，满足题意.

故满足条件的的个数有个.

故选：C.

10．设或，，若，则实数a应满足（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【解析】

【分析】

利用集合的并运算结果，借助数轴列不等式组即可求解.

如图，由数轴可得，解得.

故选：A.

11．已知，，则的子集个数为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

根据集合和表示的含义,联立方程化简,判断出交点个数,即为的子集个数.

，表示函数图象上的点集，

，表示函数图象上的点集，

中的元素为和图象的交点，

联立得到，，所以有2个交点，

所以的元素个数为2，其子集个数为个，

故选:C.

【点睛】

本题考查集合的运算以及集合的子集个数问题,考查描述法的应用,考查逻辑推理能力,属于中档题.

12．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（       ）

A．若有2个元素，则有3个元素

B．若有2个元素，则有4个元素

C．存在3个元素的集合，满足有5个元素

D．存在3个元素的集合，满足有4个元素

【答案】A

【解析】

不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.

若有2个元素，不妨设，

以为中至少有两个元素，不妨设，

由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，

由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，

当集合有个元素时，由②得：，则或.

当集合有多于个元素时，不妨设，

其中，

由于，所以，

若，则，但此时，

即集合中至少有这三个元素，

若，则集合中至少有这三个元素，

这都与集合中只有2个运算矛盾，

综上，，故A正确；

当集合有个元素，不妨设，

其中，则，所以，

集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.

故选：A.

【点睛】

解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

二、多选题

13．已知集合A，B均为R的子集，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据集合图逐一判断即可得到答案

如图所示

根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误

故选：AD

14．集合，且，实数a的值为 （     ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可.

由题设，又，故，

当时，；

当时，1或2为的解，则或.

综上，或或.

故选：ABC

15．已知，，则下列正确的是（       ）

A． B．

C．或x>3} D．或

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用交集、并集及补集的定义运算即得.

∵，，

∴或，

故选：ABD.

16．如图所示的阴影部分表示的集合是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

把ABCD四个选项一一进行分析判断

A选项表示的是图1的部分，不合题意，

B选项表示的是图2的部分，不合题意

CD选项表示的是题干中的阴影部分

故选：CD

17．已知全集，集合，，则中所有元素的和可以是（　　）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

求得，再分别讨论中有两个相等的实数根，中有两个不相等的实数根且，中有两个不相等的实数根，且不是的子集，三种情况即可求解.

由题意可知:且，所以，

可得：，即，

（1）若中有两个相等的实数根，则，可得，

此时，可得，

所有元素之和为2020；

（2）若中有两个不相等的实数根，且，则，

则，由韦达定理可知，所有元素之和为；

（3）若中有两个不相等的实数根，且不是的子集，

则由韦达定理可知，所以，

所有元素之和为.

所以中所有元素的和可以是：或或.

故选：ACD.

18．已知为给定的非空集合，集合，其中≠，⊆，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（       ）

A．集合是集合的覆盖

B．集合是集合的划分

C．集合不是集合的划分

D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.

对于A，集合满足⊆，⊆，

且=，故集合是集合的覆盖，选项A正确；

对于B，集合中，∩，

不满足题目定义中“”，

故集合不是集合的划分，选项B错误；

对于C，集合是集合的划分，

因为⊆，⊆，⊆，

且=，∩=，∩=，∩=，

满足定义中的所有要求，选项C错误；

对于D，集合中，，，

故集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分，选项D正确.

故选：BC.

三、填空题

19．集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x≤3}，且，则实数a的取值范围为 _______．

【答案】（3，+∞）

【解析】

【分析】

根据并集，补集的定义和运算法则进行计算．

解：∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x≤3}，

∴＝{x|x＜1或x＞3}，

因为，

所以a＞3，

故答案为：（3，+∞）．

20．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．

【答案】172

【解析】

【分析】

画出韦恩图求解即可.

，

（人．

故答案为：172

21．设集合，若，则实数a的取值范围为____．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，则，，由分析即可求出a的取值范围.

，又因为，，所以．

故答案为：.

22．设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求=________；

【答案】

【解析】

【分析】

根据可得，结合已知条件可得，然后分情况讨论，和时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解.

由可得，所以，

因为，所以，

若，因为，所以，

所以，，，故

所以，

若则，可得或

与矛盾，所以此时不成立，

若，则，所以，

所以，所以即

显然，可得或，

因为与矛盾，所以，，

此时，，所以，

由题意知：，即，解得或（舍）

综上所述：，，所以，

故答案为：.

四、解答题

23．已知集合．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据并集的定义计算可得；

（2）根据交集、补集的定义计算可得；

(1)

解：因为，，

所以．

(2)

解：因为，，，

所以，

所以．

24．设集合，，.求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；

(2)或；

(3)或.

【解析】

【分析】

(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可.

(1)

；

(2)

{x|或}，

{x|或}；

(3)

{x|或}，{x|x＜1或3＜x≤4}，

{x|或}.

25．已知集合，，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据子集之间的关系列出不等式即可求解.（2）将转化成子集关系即可求解.

(1)

因为，所以.

因为，且 所以

解得.   ；

(2)

因为，，所以   

解得.故的取值范围为.

26．已知全集，集合2，，.

(1)求，，

(2)如图①，阴影部分表示集合，求.

(3)如图②，阴影部分表示集合，求.

【答案】(1)，，或；

(2)或；

(3)或.

【解析】

【分析】

（1）求解不等式组解得集合，再根据集合的并运算和补运算即可求得结果；

（2）根据阴影部分可知，根据已知集合求解即可；

（3）根据阴影部分可知，根据已知集合求解即可.

(1)

2，，

，或.

(2)

因为

根据题意可得或.

(3)

因为，

根据题意可得或.

27．已知集合，．

(1)若，求；

(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）分别求出集合和集合，求并集即可；

（2）选①，根据集合和集合的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，

选②，先求出，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，

选③，得到，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.

(1)

因为，所以，

又因为，所以．

(2)

若选①：则满足或，                         

所以的取值范围为或．                                 

若选②：所以或，                              

则满足，所以的取值范围为．                                        

若选③： 由题意得，

则满足                                                         

所以的取值范围为

28．设，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若且，求实数的值；

（3）若，实数的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）从，得，从而知是方程的两个根，由根与系数的关系得实数的值；（2）从且，得，进而得实数的值，但需检验；（3）从，确定，进而得实数的值，但也需检验.

试题解析：由题可得

（1） ∴是方程的两个根

即.

（2）且，，

即或，此时还需检验

当时，有，则，（舍去）

当时，有，则且,

符合题意，即.

（3），，

即或，

当时，有，则，（舍去），

当时，有，则，符合题意，.

考点：一元二次方程的解法及其集合的运算和之间的关系.

29．已知集合为非空数集，定义：

，

（1）若集合，直接写出集合，.

（2）若集合，，且，求证：

（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.

【解析】

（1）根据题目定义，直接计算集合及；

（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；

（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．

（1）根据题意，由，则，；

（2）由于集合，，且，

所以中也只包含四个元素，

即，

剩下的，

所以；

（3）设满足题意，其中，

则，

，

，

，

，，

中最小的元素为0，最大的元素为，

，

，

，

实际上当时满足题意，

证明如下：

设，，

则，，

依题意有，即，

故的最小值为674，于是当时，中元素最多，

即时满足题意，

综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.

【点睛】

新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.