数学必修 第一册2.2 基本不等式测试题

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式测试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2.2 基本不等式
一、单选题
1．下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
2．已知，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【解析】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：C
3．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可
【解析】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
4．是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.
解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.
【解析】解法一：当时，满足，但，不成立，故是的不充分条件；
当时，不成立，当时无意义，即不成立，故是的必要条件；
综上，是的必要不充分条件.
解法二：当时，，，当且仅当时取等号，
所以是的不充分条件；
若，则，所以,故是的必要条件；
综上，是的必要不充分条件.
故选：B.
5．已知，，，则的最大值为（       ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【解析】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B
6．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（       ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【答案】B
【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.
【解析】∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b＞2，∴＜，
而＝＞0，
∴＜，
故选：B
7．已知，，，则的最小值是（       ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【解析】解析：由得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4．
故选：C．
8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（       ）．

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论
【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为
由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，
所以（）
故选：B
9．下列结论正确的是（       ）
A．当，且时，
B．当时，
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值为1
【答案】B
【分析】根据结合基本不等式，即可判断A；
直接利用基本不等式即可判断BC，注意取等号的条件；
根据结合基本不等式，即可判断D.
【解析】解：因为，且，
所以，当且仅当，，即，时等号成立，所以，故A错误：
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当．即时等号成立，但已知条件中，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故D错误．
故选：B.
10．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（       ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
11．若x>1，则有（       ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1
【答案】A
【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.
【解析】因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.
所以有最小值为1.
故选：A
12．设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　）
A．8 B．4+2 C．5+2 D．4
【答案】B
【分析】根据条件可得，然后利用重要不等式和基本不等式可求出的最小值．
【解析】解：，，，均大于零且，，


，
当且仅当，，，即，时取等号，
的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．

二、多选题
13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（       ）
A．x＋≥2 B．≥ C． D．2－3x－≥2
【答案】AD
【分析】取可判断A；由可判断B；由基本不等式可判断C；取可判断D.
【解析】对于选项A：当x<0时，，故A错误；
对于选项B：＝≥，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：变形为，当x取正数时不成立，故D错误．
故选：AD.
14．已知，则下列不等式一定成立的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对A，利用基本不等式即可判断；对B，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C，利用以及即可判断；对D，利用特殊值即可判断.
【解析】解：对A， ，
当且仅当“”时“”成立，故A正确；
对B，，
当且仅当“”时“”成立，故B正确；
对C，，
当且仅当“”时“”成立，故C正确；
对D，当时，，，此时不成立，故D错误；
故选：ABC.
15．某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，取得最小值
B．当时，取得最小值
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题意列出总存储费用之和的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项
【解析】一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元，
所以一年的总运费与总存储费用之和万元.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，.
故选：AC.
16．设，则下面不等式中恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】利用做差法可判断A；讨论，平方作差可判断B；利用基本不等式可判断C、D.
【解析】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，当时，，，所以，
当时， ，
即，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，，
，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：ABC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．下列不等式正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】利用基本不等式可判断ABD选项的正误；取可判断C选项的正误.
【解析】对于A选项，当时，，则，
当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，则，
，
当且仅当时，即，显然不成立，等号不成立，
所以，，B选项正确；
对于C选项，取，可得，C选项错误；
对于D选项，，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的可能取值为（       ）
A． B．2 C． D．1
【答案】AD
【分析】由题设可得恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x的范围.
【解析】∵不等式对任意正数a，b恒成立，
∴恒成立.
∵，当且仅当时等号成立.
∴，满足条件的选项有A，D.
故选：AD.

三、填空题
19．给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥＝4；
③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为________.
【答案】①③
【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；
③，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.
【解析】①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；
③由xy<0，得，均为负数，∴，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③.
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
20．若，且，则实数、、、中最大的一个是______．
【答案】b
【分析】由，，所以，再结合，则可判断，得解.
【解析】因为，，所以，，
因为，所以，
又，
所以，
又，，
所以.所以.
故答案为：b.
21．若a、b、x、，，，则的最大值是______．
【答案】1
【分析】利用基本不等式得最大值．
【解析】因为，，
所以，
当且仅当即时等号成立．
故答案为：1．
22．设，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于___________.
【答案】
【分析】先分离出参数，得，然后利用基本不等式求得的最大值即可．
【解析】解：由，得，
，
当且仅当时取等号，
，即实数的最小值等于.
故答案为：.
23．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，，则该三角形面积的最大值为___________.
【答案】
【分析】计算得到，，，根据均值不等式得到，代入计算得到答案.
【解析】，，，，，
当时等号成立.
.
故答案为：.
24．已知，则与的大小关系是____________
【答案】.
【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小.
【解析】∵，∴，，
∴，当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键.

四、解答题
25．已知实数a和b，判断下列不等式中哪些是正确的．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(1)正确
(2)正确
(3)错误
(4)错误
(5)错误
(6)正确
(7)正确

【分析】（1）由判断不等式成立.
（2）由判断不等式成立.
（3）利用特殊值判断不等式错误.
（4）利用特殊值判断不等式错误.
（5）利用特殊值判断不等式错误.
（6）结合基本不等式判断不等式成立.
（7）利用差比较法判断不等式成立.
(1)
由于，，所以不等式正确.
(2)
由于，，所以不等式正确.
(3)
当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误.
(4)
当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误.
(5)
当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误.
(6)
依题意不为零，同号，，当且仅当时等号成立，所以不等式正确.
(7)
，所以，所以不等式正确.
26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则．
【答案】(1)不成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)成立，理由见解析；

【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）.
(1)
取满足，此时不成立；
(2)
，
，
由均值不等式可知，当时等号成立.
(3)
，
，
，当时等号成立.
27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件：
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则；
(4)若，则；
(5)对任意实数和，．
【答案】(1)证明见解析，当且仅当时等号成立；
(2)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(3)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(4)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(5)证明见解析，当且仅当时等号成立．

【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果．
（2）利用基本不等式的应用求出结果．
（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果．
（4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果．
（5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果．
(1)
证明：由于，当时，，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立．
(2)
证明：因为，所以，当且仅当时，等号成立．
(3)
证明：因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
(4)
证明：因为，当时，，当且仅当时，等号成立．
当时，，当且仅当时，等号成立．
综上可得，则，当且仅当时，等号成立．
(5)
证明：对任意实数和，所以．当且仅当时等号成立．
28．已知，，，求的最小值．下面是某同学的解答过程：
解：因为，，，
所以，
因此的最小值为．

请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．
【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．
【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案.
【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，
原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：
，当且仅当，即时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
显然，和不可能同时成立．
正确的解答如下：
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，即，
代入，得，从而．
因此的最小值为，此时，．
29．已知.
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
【答案】（1）2；（2）－2.
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可
【解析】（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
30．已知，都是正数.求证：
；

【答案】证明见解析；证明见解析.
【分析】运用基本不等式：（当且仅当时取得等号），即可求证；
运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.
【解析】解：证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，（当且仅当时取得等号）.
【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.
31．已知，，均为正数，且，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可.
（2）利用基本不等式直接证明即可.
【解析】证明：（1）因为，，均为正数，，
所以，，，
三式相乘，得，
当且仅当时，等号成立．
（2）因为，，均为正数，，
所以，，，
三式相加，得，
即，
当且仅当时，等号成立．
32．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)是否存在实数，使得的值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）首先利用基本不等式得到，从而得到，再根据求解即可.
（2）首先根据基本不等式得到，即可判断不存在实数，使得的值为．
(1)
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以．
因为，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
(2)
因为，，又由（1）知，
所以，
当且仅当时取等号．
因为当且仅当时取等号时，，
所以
又，所以不存在实数，使得的值为．
33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为，总造价为（元）.

（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
【答案】（1）；（2）当时，总造价最低且最低为.
【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；
（2）利用基本不等式可求何时取何最值.
【解析】（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，
绿化的面积为，
中间区域硬化地面的面积为，
故，
整理得到，
由可得，
故.
（2）由基本不等式可得
，
当且仅当时等号成立，
故当时，总造价最低且最低为.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取.
34．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【解析】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）

.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
35．已知，，为正数，且满足，证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据，，为正数，且，将不等式转化为，再利用基本不等式结合不等式的性质证明；
（2）根据，，为正数，且，直接利用基本不等式证明.
【解析】（1）因为，，为正数，且.
所以不等式等价于
，即等价于.
因为，，为正数，
所以，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
（2）因为，，为正数，且，
所以
原式

.
当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.