人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第2章一元二次函数、方程和不等式单元综合检测（难点）（Word版附解析）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合检测（难点）

一、单选题

1．下列命题中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】取特殊值可判断ACD，根据不等式的性质，分类讨论可判断B.

【解析】取，则，故A错误；

若，因为，所以，若，因为，所以，

所以，综上，时，成立，故B正确；

取，则，故C错误；

取，则，故D错误.

故选：B

2．若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先由不等式的解集可确定参数的值，进一步代入分式不等式求出解集

【解析】由的解集为，得，

所以等价于，所以或．

故选：A

3．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.

【解析】解：因为为正实数，

=，

当，即时等号成立，

此时有，

又因为，

所以，

由基本不等式可知（时等号成立），

所以.

故选：B.

4．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】由题意化为，利用基本不等式求出的最小值，再解关于的一元二次不等式即可．

【解析】解：，，且，

，

，

当且仅当时取“”；

若恒成立，

则，

即，

解得，

实数的取值范围是，．

故选：C．

5．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(       )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.

【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.

故选：A.

6．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.

【解析】当且 时，

的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.

当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.

故选：B

7．设集合，，，，其中，下列说法正确的是

A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集

B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集

C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集

D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集

【答案】B

【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.

【解析】解对于集合，，

可得当即可得，

即有，可得对任意，是的子集；

当时，，

可得是的子集；

当时，，

可得不是的子集；

综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.

故选：

【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.

8．对于实数x，y，记，下列选项错误的是（       ）

A．对于任意实数，，

B．对于任意实数，，其中成立当且仅当

C．对于任意实数，，其中

D．对于任意实数，存在正实数r和实数z，使得且

【答案】C

【分析】利用作差法可得，进而可判断A；

根据二次根式的取值范围即可判断B；

通过举例说明即可判断C；

根据、即可判断D.

【解析】A：由，

得，，，

所以

，，

则，

即，

所以，故A正确；

B：由知或，

当时，，

当时，，

所以，当且仅当时等号成立.故B正确；

C：由知，存在，此时，

又无法确定与的大小关系，所以无法确定与的大小关系，

所以，故C错误；

D：设()为一个实数，由，

得，，

所以存在正实数()使得且，故D正确.

故选：C

二、多选题

9．下列结论正确的是（       ）

A．若，，则

B．函数的最小值为2

C．若，则的最大值为2

D．若，，且，则的最小值为4

【答案】AC

【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，举例判断，对于C，利用换元法求解，对于D，利用基本不等式判断

【解析】对于A，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，由，得，令，则

，

因为，所以，所以的最大值为2，所以C正确，

对于D，因为，，且，所以

，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以由对勾函数的性质可得，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，所以D错误，

故选：AC

10．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．的解集为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】由题可得，对A，代入解二次不等式即可；对BCD，代入利用基本不等式可求解.

【解析】由题可得是方程的两个根，，

对A，不等式化为，解得，故A正确；

对B，

，当且仅当时等号成立，

故的最大值为，故B正确；

对C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

11．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（       ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.

【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，

由于，所以.

A，，当时等号成立，故A正确.

B，，当且仅当时等号成立，故B正确.

C，不等式的解集为，，故C错误.

D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，

则，，故D正确，

故选：ABD

12．已知，则的值可能是

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【解析】由，得，则且.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：C D.

三、填空题

13．设，则中等号成立的充要条件是_______．

【答案】且.

【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.

【解析】由题设，，

∴要使等号成立，则且，

当且时，有，即成立.

综上，且是中等号成立的充要条件.

故答案为：且.

14．已知，则的最小值为______________________   .

【答案】1

【分析】先根据解，利用基本不等式求得的最小值为9，再由，利用对勾函数的性质求解.

【解析】解：因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

，

令，

因为在上递增，

所以，

故答案为：1

15．已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时取值范围是________

【答案】

【分析】先对分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，再根据（其中为整数集），写出当集合中元素个数最少时的取值范围.

【解析】分情况讨论：

当时，，解得；

当时，，，解得或；

当时，，解得.

因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；

当时，，所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，不等式的整数解问题需要关注边界值的影响，稍有难度，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

16．已知实数x，y满足，，且，则的最小值为________．

【答案】3

【分析】变形，则，利用基本不等式，建立关于的一元二次不等式，求解即可.

【解析】因为，

所以，

当且仅当时，取等号.

上式可化为，

解得，

所以的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.

四、解答题

17．试比较下列组式子的大小：

(1)与，其中；

(2)与，其中，；

(3)与，．

【答案】(1);

(2);

(3).

【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；

(2)通过作差法来比较的大小；

(3) 通过作差法或作商法比较与的大小.

（1）

解：，，

因为，

所以，

即；

（2）

解：

．

因为，，所以，，

所以，

即；

（3）

方法一（作差法）

．

因为，所以，，，．

所以，

所以．

方法二（作商法） 因为，所以，，，

所以，

所以．

18．已知a，b，c均为正实数，求证：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，

（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.

（1）

证明：左边，

当且仅当时取“＝”．

故．

（2）

证明：因为，当且仅当时取“＝”，

所以，

所以，所以，①

同理，当且仅当时取取“＝”，②

，当且仅当时取“＝”．③

①+②+③，得，

当且仅当时等号成立．

19．（1）已知，求的最大值．

（2）已知且，求的最小值．

【答案】（1）1；（2）2．

【分析】（1）由基本不等式求出的最小值后可得所求最大值．

（2）凑出积为定值后由基本不等式求得最小值．

【解析】（1），则，

，

当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为1．

（2）因为且，

所以

，

当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为2．

20．已知不等式，其中x，k∈R．

(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；

(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．

【答案】(1)或或}

(2)

【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；

（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．

(1)

若x＝4，则不等式变形为

即，

解得或，

所以 或或，

故不等式的解集为或或}；

(2)

令，

则不等式对任意k∈R恒成立，

等价于对任意t≥1恒成立，

因为，

当且仅当，即t＝时取等号，

所以x≤，

故x的最大值为．

21．两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.

（1）将表示成的函数；

（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为.

【分析】（1）由，得，由题意得，再录

垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解；

（2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可.

【解析】（1）由为直径，得，

由已知得

又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，

即，，代入上式得，解得

所以表示成的函数为：

（2）

令

则

又，当且仅当，即，等号成立，

所以，当时，等号成立.

所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知均为正实数．

(1)求证：．

(2)若，证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将、、三式相加可证明；

（2）由条件可得，然后可证明.

（1）

因为均为正实数，

所以（当且仅当时等号成立），

（当且仅当时等号成立），

（当且仅当时等号成立），

以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），

所以（当且仅当时等号成立），

即（当且仅当时等号成立）．

（2）

由题可得，

则左边

，

当且仅当，，，，即时取“＝”．

故成立．

23．已知关于的不等式，其中；

（1）试求不等式的解集；

（2）对于不等式的解集，记（其中为整数集），若集合为有限集，求实数的取值范围，使得集合中元素个数最少，并用列举法表示集合；

【答案】（1）答案见解析 （2），

【分析】（1）对进行分类讨论,分别讨论,,或,的情况,进而求解即可；

（2）由（1）可知当时,集合为有限集,利用对勾函数可知,当且仅当时等号成立,进而求解即可

【解析】（1）当,；

当时,令,解得或,

则当或时,,当时,,

①当,；

②当或,或；

③当,或；

（2）因为（其中为整数集）,

由（1）,当时,集合中的元素的个数无限；

当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集,

因为,所以,当且仅当,即时等号成立,

所以

且，所以，

所以

【点睛】本题考查解含参的不等式,考查交集的定义的应用,考查分类讨论思想

24．若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，

（1）若比3接近1，求x的取值范围；

（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；

（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.

（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.

（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.

【解析】（1）因为比3接近1，故，

故，故，所以.

（2）取，

则，故比接近.

但，

故“比接近”推不出“”.

所以“比接近”是“”不充分条件.

若，则，故，

所以或，

若，则且，故，

所以，

故，所以，

也就是“比接近”.

若，则且，故，

所以，

故，所以，

故“比接近”是“”必要不充分条件.

（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，

即证：，

即证：，

即证：，

因为，因为，

故，故，

所以成立，

故比接近.

【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.