高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课后复习题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

4.4对数函数
一、单选题
1．函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的真数为正数以及偶次根式的被开方非负列式可得结果.
【解析】由解得.
所以函数的定义域为.
故选：A
【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
1、有分式时：分母不为0；
2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；
4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；
5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；
6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.
2．关于函数的单调性的说法正确的是（    ）
A．在R上是增函数 B．在R上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再设，则，然后利用复合函数单调性的判断方法进行判断即可
【解析】由函数的解析式知定义域为，
设，在上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，
由复合函数的单调性可知在上是减函数，
故选：D.
3．已知函数，，则不等式的解集为（    ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【答案】A
【分析】根据，可得方程，进而解得，再列出不等式，可得，根据对数函数的单调性和定义域可得：，可得答案.
【解析】由题意得，，解得，
所以，所以.
因为，所以，
即，从而，解得.
故不等式的解集为.
故选：A.
4．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.
【解析】因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
5．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【解析】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
6．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.
【解析】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递减，
因为在区间上恒成立，所以恒成立，
所以，解得，即；
故选：C
7．声强级 (单位: ) 由公式 给出， 其中 为声强 (单位: ). 某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪， 开展了 “不敢高声语， 恐惊读书人” 主题活动， 要求课下同学之间交流时， 每人的声强级不超过 . 现已知 3 位同学课间交流时， 每人的声强分别为 ， 则这 3 人中达到班级要求的人数为（    ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.
【解析】依题意，，
∴，
故声强为，的两人达到要求，
故选：C
8．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】讨论，判断单调性，结合已知单调区间求的取值范围，再利用二次函数的性质求解.
【解析】因为，所以的定义域为，
当，则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，不满足；
当，则在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增；
因为在上是增函数，
所以，解得，即，
因为，故在上单调递增，
所以，故A，B，D错误.
故选：C.
9．已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质，结合对钩函数的性质进行求解即可.
【解析】由，得到，
因为0，
所以，
于是，所以，即，
所以，于是，
所以，
所以，
因为函数在上为减函数，
所以，由题意，存在，使得成立，所以.
故选： C
【点睛】关键点睛：构造新函数是解题的关键.
10．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数的单调性求解.
【解析】因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
11．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意转化为，然后分别求出两函数的最小值即可.
【解析】由题意，得在上的最小值大于等于在上的最小值，
易知函数在上单调递增，所以在上的最小值为，
函数在上单调递减，所以在上的最小值为，
所以，即.
故选:D.
12．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（　　）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
【答案】B
【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.
【解析】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，
∵11．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
故选：B．


二、多选题
13．已知函数,则下列结论中正确的是（    ）
A．在(0,1)单调递增
B．在(1,2)单调递减
C．的图像关于直线对称
D．的图像关于点(0,1)对称
【答案】ABC
【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据和的关系判断函数的对称性.
【解析】解：由题意知,的定义域为,
,
由复合函数的单调性知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
所以A,B正确;
∵函数,
∴,即,
即的图像关于直线对称,
所以C正确,D错误．
故选:ABC.
14．已知函数，则（    ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】CD
【分析】先判断出，的奇偶性，再利用奇偶性的定义分别分析判断各个选项即可
【解析】，的定义域为，
因为，所以为偶函数，
因为，所以为奇函数，
令，则，
故既非奇函数也非偶函数.
同理可得既非奇函数也非偶函数.
令，则，
故是奇函数.同理可得是奇函数.
故选：CD
15．设函数，下列四个命题正确的是（     ）
A．函数为偶函数
B．若，其中，，，则
C．函数在（1，2）上为单调递增函数
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、单调性，绝对值的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解析】A选项，的定义域为，所以是非奇非偶函数，A错误.
B选项，由于，，，
所以，B正确.
C选项，，
由，的开口向下，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知函数在（1，2）上为单调递增函数.C正确.
D选项，，，
所以，
即，
由于，，所以不成立，D错误.
故选：BC
16．关于函数，有下列结论，其中正确的是（    ）
A．函数的图象关于y轴对称
B．函数的最小值是
C．函数在上单调递增，在上单调递减
D．函数的单调递增区间是和
【答案】ABD
【分析】判断出的奇偶性可判断A，令，然后可判断B，当时，，利用对勾函数的单调性和的奇偶性可判断CD.
【解析】，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故选项A正确；
令，（当且仅当，即时等号成立），
因为函数在上单调递增，所以，所以函数的最小值为，选项B正确；
当时，，由对勾函数可得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误；
由偶函数图象的对称性，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是和，故选项D正确.
故选：ABD

三、填空题
17．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则_________．
【答案】4
【分析】先求得定点的坐标，将其代入幂函数的解析式，即可求得的值
【解析】函数的图象恒过定点
由点在幂函数的图象上，则有
故答案为：4
18．已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
【答案】1
【分析】根据条件得到，即为偶函数，根据列出方程，求出实数的值.
【解析】因为的定义域为R，所以恒成立，
故，
又因为对任意实数，都满足，
则对于实数，都满足，
所以，
所以为偶函数，
从而，
化简得：，
要想对任意，上式均成立，则，解得：
故答案为：1
19．已知定义在上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则______．
【答案】
【分析】根据函数的对称性可推导出函数具有周期性，且周期为8，进而根据周期和对称即可求解.
【解析】因为的图象关于点对称，所以．
又，所以，所以，
则，所以
．因为，，所以．
故答案为：
20．已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
【答案】①③
【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，可判定①正确，②不正确；结合基本初等函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定③正确，④不正确．
【解析】由题意，函数，令，解得或，
即函数的定义域为，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数，所以①正确，②不正确；
又由，
令，其中且，可得，
因为在上单调递减，且，
所以在上单调递减，所以③正确；
又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，
所以④不正确．
故答案为：①③.

四、解答题
21．已知函数．求证：
(1)函数是偶函数；
(2)函数在区间上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；
（2）根据单调性的定义证明即可.
【解析】（1）因为，
所以是偶函数.
（2）任取，则，
因为，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在区间上单调递增.
22．已知是定义在上的偶函数，且时， .
(1)求，；
(2)若 ，求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2)

【分析】（1）根据偶函数的性质即可直接代入 求值，
（2）根据单调性的定义证明的单调性，结合奇偶性即可求解.
（1）
因为当时，，
所以.
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以 ，
即 .
（2）
设，是任意两个值，且，则 ，
∴ .∵
∴，
∴在 上为增函数.
又∵是定义在上的偶函数，
∴在上为减函数.
∵ ，
∴ ，解得或.
故实数的取值范围为 .
23．设函数，函数的图像与的图像关于对称.
(1)求的解析式
(2)是否存在实数，使得对，不等式恒成立，若存在求出，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据反函数的定义及性质可知与互为反函数，即可求出的解析式；
（2）由（1）可得不等式即为恒成立，令，则问题转化为关于的不等式在上恒成立，结合一次函数的性质计算可得.
（1）
解：因为函数的图像与的图像关于对称，
所以与互为反函数，
因为，所以；
（2）
解：不等式恒成立，即恒成立，
令，则关于的不等式，即在上恒成立，
令，，
因为，所以在上单调递增，依题意只需，解得，
所以；
24．已知且，，，.
(1)求的定义域；
(2)已知，请比较与的大小关系.
【答案】(1)；
(2)当时，；当时，.

【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D；
(2)根据a的范围，根据对数函数单调性即可判断．
(1)
依题意，应满足，解得，
∴函数的定义域D=；
(2)
当时，有，
①当时，函数单调递增，∴；
②当时，函数单调递减，∴．
25．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)

【分析】（1）由奇偶性定义直接判断即可；
（2）化简函数得到，由此可知在上单调递增；利用奇偶性可化简所求不等式为，利用单调性解不等式即可.
(1)
为奇函数，证明如下：
定义域为，，
为定义在上的奇函数.
(2)
，
又在上单调递增，在上单调递增；
由（1）知：，
，，
，即，
，解得：，即实数的取值范围为.
26．已知函数且．
(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
(2)是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）结合题意得到对一切恒成立，结合单调性即可求得最终结果；
（2）由最大值为1结合对数函数的性质求出，再说明时无意义即可得出不存在．
(1)
，由题设知对一切恒成立．
因为，所以在上为减函数．
由，解得，又，
所以的取值范围为．
(2)
不存在．理由如下：
假设存在这样的实数，由题意得：，即，．
所以．
当时无意义，故这样的实数不存在．
27．已知函数（a>0且a≠1）是奇函数．
(1)求m的值；
(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)

【分析】（1）由已可得化为，求得，检验可得结果；
（2）任取，先证明，再讨论两种情况，即可得结果；
（3）由在上递减，可得， 解得.
（1）
由已知 即，
∴，
∴
当时，舍去 ∴.经检验满足题意.
（2）
由（1）得，任取

,
又
∴0＜＜1
当时，＞0，∴，此时为增函数
当时，＜0，∴，此时为减函数．
（3）
由（2）知：当时，在为减函数
又
即在上递减，∴
.
28．已知R.
(1)当时，解不等式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
(3)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
【答案】(1)；
(2)；
(3)0或.

【分析】（1）根据对数的计算法则解不等式即可；
（2）求出f(x)的单调性，再求出f(x)在区间上的最大值与最小值之差，问题转为为该差值小于或等于1对恒成立，根据二次函数单调性求最值即可求解；
（3）分类讨论解方程即可.
(1)
当时，，
，
∴不等式解集为；
(2)
∵y＝在u＞0时单调递增，u＝在x＞0时单调递减，
∴在上单调递减，
∴函数在区间上的最大值与最小值的差为，
因此，
即对任意恒成立，
∵，∴，∴在上单调递增，
∴，
因此；
(3)
，
①当时，仅有一解，满足题意；
②当时，则，
若时，解为，满足题意；
若时，解为，
此时
即有两个满足原方程的的根，∴不满足题意；
综上，或.
29．已知函数为奇函数，.
（1）求实数a的值；
（2）若恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若，，在区间上的值域为.求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由于为奇函数，所以在定义域内恒成立，从而可求出实数a的值；
（2）由恒成立，可得，当时恒成立，所以，根据对勾函数的性质可求得范围，
（3），它在定义域上是减函数，得在闭区间上的值域为，则化简得从而得方程在内有两不等实根，，令，当时，，以上结论等价于
关于u的方程在内有两个不等实根，设函数，然后利用二次函数的性质求解即可
【解析】解：（1）∵为奇函数，
∴，
∴在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，
∴解得.
当时，的定义域关于原点对称，
∴.
（2）∵恒成立，由或，解得，
即，当时恒成立，
即，
整理，得.
当时，，
根据对钩函数的性质，
知，（当且仅当，即时取等号），
所以，即.
（3）化简，得，它在定义域上是减函数.
所以，在闭区间上的值域为，
从而得到
即
整理，得，
这表明：方程在内有两不等实根，.
令，当时，，以上结论等价于
关于u的方程在内有两个不等实根.
设函数，
其图象的对称轴为.
可得
或
化简得或
即或.
所以，.
【点睛】关键点点睛：此题考查对数函数和指数函数的性质的应用，考查复合函数值域的求法，第（3）问解题的关键是由已知得化简得转化为方程在内有两不等实根，，然后换元后利用二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题