人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式课后练习题

5.2-5.3三角函数的概念 诱导公式

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

【解析】.

故选：B.

2．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.

【解析】因为是第三象限角，所以，，

所以，，则是第二或第四象限角，

又，即，所以是第四象限角.

故选：D．

3．已知角，角，终边上有一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式及三角函数的定义可求.

【解析】点到原点的距离为1，故即为，

由诱导公式得，，

故，

又，则，结合可得．

故选：A．

4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先做出三角函数线，根据三角函数线，比较大小.

【解析】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图所示，

∵，，，

∴．

故选：B．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.

【解析】解：因为，所以.

故选：D

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题设条件和平方关系求出的值，从而可求的值.

【解析】因为，所以，

因为，所以，

整理得，解得或，

由，得，，所以，

所以，所以．

故选：B.

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可

【解析】因为，显然，故，

故选：A

8．已知角的终边经过点，若角与的终边关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由对称性可知角的终边经过点，由此可得，代入可得结果.

【解析】角的终边经过点，角与的终边关于轴对称，

角的终边经过点，，，

.

故选：A.

9．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式将，，全部化简为的三角函数值，即可选出答案.

【解析】因为，，，

所以.

故选：C.

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案

【解析】解：因为，且，所以，

所以，

故选：A

11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（　　）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a

【答案】B

【解析】根据题意，

sin =sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），

cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），

又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，

则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），

b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，

则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，

则有c＞a＞b；故选B．

12．在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式，将点的坐标化为，再由三角函数的定义，结合三角函数的奇偶性，即可求解.

【解析】因为，

所以，

因此，

所以.

故选:B.

二、多选题

13．下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】首先利用诱导公式转化角的范围，然后利用三角函数的单调性比较大小即可.

【解析】，故A正确；

因为，又，所以，故B错误；

因为，

又，

故，所以C错误；

因为，

，

又，所以，故D正确，

故选：AD

14．已知，那么下列命题正确的是（    ）

A．若角、是第一象限角，则

B．若角、是第二象限角，则

C．若角、是第三象限角，则

D．若角、是第四象限角，则

【答案】BCD

【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.

【解析】设角、的终边分别为射线、．

对于A，如图1，，

此时，，，所以，故A错误；

对于B，如图2，，

此时，，且，所以，故B正确；

对于C，如图3，，

此时，，且，所以，故C正确；

对于D，如图4，，，即，故D正确．

故选：BCD.

15．已知角，满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由诱导公式判断．

【解析】因为，所以，，

，，．

BC错，AD正确．

故选：AD．

16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cos，sin），，则下列说法正确的是（    ）

A．线段与的长均为1 B．线段的长为1

C．若点，关于y轴对称，则 D．当时，点，关于x轴对称

【答案】ACD

【分析】AB选项，根据勾股定理进行求解；C选项，根据点，关于y轴对称，得到，，进而求出；D选项，代入后利用诱导公式进行求解，得到答案.

【解析】，同理可求，A正确；

由题意得：，由勾股定理得：，B错误；

若点，关于y轴对称，则，，则，，解得：，C正确；

当时，，即，即，关于x轴对称，D正确.

故选：ACD

三、填空题

17．已知角的终边经过点，则______．

【答案】##

【分析】根据三角函数的定义可得，弦切互化以及同角的平方关系即可求解.

【解析】由题意得，即，所以，即，解得或（舍去）．

故答案为：

18．已知是第四象限角，且，则___________.

【答案】

【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.

【解析】由题设，，

.

故答案为：

19．已知，求______.

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，利用诱导公式分别求出和即可得解.

【解析】，

，

所以.

故答案为：

20．已知函数，若（），则=________ ．

【答案】

【分析】构造并判断奇偶性，根据及的奇偶性即可求.

【解析】令，

则且定义域为，

所以为奇函数，且，

又，

所以，即，

所以．

故答案为：

四、解答题

21．求证：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.

（1）

.

所以原式成立.

（2）

.

所以原式成立.

22．化简：．

【答案】

【分析】利用“1”的代换及配方法可化简三角函数关系式.

【解析】

．

23．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可；

（2）在所求代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可.

(1)

解：由，得，原式.

(2)

解：原式.

24．已知，其中是第四象限角．

(1)化简；

(2)若，求，．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；

（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；

（1）

解：∵是第四象限角，∴，，所以、，

∴

．

即；

（2）

解：∵，∴，

∴．

25．已知.

(1)若角是第三象限角，且，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；

（2）由，再由诱导公式求得求的值．

（1）

解：.

因为，所以，

又角是第三象限角，所以，

所以.

（2）

解：因为，所以.

26．(1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；

(2)已知，且，求的值.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)由已知方程求，利用同角关系将转化为由表示的式子，由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求，，由此求结果.

【解析】(1)∵是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，

∴或（舍去），

∴.

(2)由题设，，解得，

∴.

27．设求的值.

【答案】

【分析】根据特殊角的三角函数值，诱导公式与分段函数函数值的求法即可求解

【解析】

28．已知函数.

（1）化简；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求的值.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：

（1）利用诱导公式可化简；

（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；

（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．

试题解析：

（1）.

(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.

（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.

点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．

29．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.

（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.

【答案】（1），理由见解析（2），；.

【分析】（1）根据题意先检验是否成立即可检验是否具有“（a）性质（2）由题意可得，，据此递推关系可推断函数的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的，以及的解析式.

【解析】（1）由得，

根据诱导公式得．

具有“（a）性质”，其中．

（2）具有“性质”，

，，

，

从而得到是以2为周期的函数．

又，则，

．

再设，

当，则，则，

；

当，则，则

；

，；.

对于，，都有，而，

，

是周期为1的函数．

①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．

过，，从而得

②当时，同理可得

③当时，不合题意．

综上所述

【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.