人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第5章三角函数单元综合检测（难点）（Word版附解析）

第5章 三角函数 单元综合检测（难点）

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据的余弦值和正弦值的符号，判断出点所属的象限，再根据三角函数的定义确定出角的大小，得出结果.

【解析】因为，所以角的终边落在第一象限，

并且根据角的三角函数值的定义，，

结合，得出，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关根据角的终边上一点的坐标确定角的大小的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.

2．若，则使函数有意义的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在解不等式即可得解.

【解析】要使函数有意义，则，，如下图所示：

，.

故选：C.

【点睛】本题考查利用正弦函数和余弦函数的图象解不等式，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简可求得，然后利用弦化切可求得所求代数式的值.

【解析】，由诱导公式可得，所以，

因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查弦化切求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数的最大值为

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据三角函数的辅助角公式求出最大值，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．

【解析】y＝sin2x+acos2x（sin2x•cos2x），

(令cosθ，则sinθ），则y（sin2xcosθ+cos2xsinθ）sin（2x+θ），

则函数的最大值为，

∵函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线对称，

∴sin（2）+acos（2）＝±，

即，sinacos±，

则a＝±，

平方得aa2＝1+a2．

得a2﹣2a+3＝0，

即（a）2＝0，则a，

则函数的最大值为2，

故选:C．

【点睛】本题主要考查三角函数的对称性及最值的求解，结合辅助角和公式求出最大值，利用三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．

5．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的图像向右平移个单位得，所以

，所以得最小值为．

6．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据已知条件得到，再求其单调增区间即可.

【解析】由题知函数的周期，解得．

由知，当时，函数取得最大值，

∴，解得，

∴，

令，解得，，

∴当时，的增区间是．

故选：D

7．函数的最小正周期为，点是图象上一个最高点，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由最小正周期求出，点是图象上一个最高点求得 A、，利用平移规律得到，

根据的范围得到的单调性，利用单调性可得答案.

【解析】因为函数的最小正周期为，所以，，

因为点是图象上一个最高点，所以A＝2，，又，所以，

所以，，

当时，，

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又，，，所以在区间上的值域为．

故选：A．

8．已知函数（，对，且都有．满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：

①满足题目条件的实数有且只有1个；

②满足题目条件的实数有且只有1个；

③在上单调逸增；

④的取值范围是．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【答案】D

【分析】根据已知条件，先求解出的范围，换元，令然后画出的图像，根据选项的描述，判断函数的单调性、判断其零点个数、判断的范围，从而求解出对应的取值范围，即可完成求解.

【解析】∵，当时，．

由于函数在上满足的实数有且只有3个，

即函数在上有且只有3个零点，

由图象可知，解得，结论④正确；

由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；

当时，，

由，知，

所以在上递增，则函数在上单调递增，

结论③正确．

综上，正确的有①③④，

故选：D．

二、多选题

9．下列计算或化简结果正确的是（    ）

A．若， B．若，则

C．若，则 D．若为第二象限角，则

【答案】AB

【分析】利用，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.

【解析】对于A选项：，，故A正确；

对于B选项：，则，故B正确；

对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；

对于D选项：为第二象限角， ,,故D错误.

故选：AB.

10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．函数的最小正周期为π

B．点是曲线的对称中心

C．函数在区间内单调递增

D．函数在区间内有两个最值点

【答案】AC

【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.

【解析】由图可知，

所以，又，

所以，

所以，，，

得，，

又，得，

所以，所以，

所以函数的周期为，A正确；

由，得，，，取得，，对称中心为，

取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；

由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；

由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.

故选：AC．

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ）

A．点P再次进入水中时用时30秒

B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点

C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米

D．点P第二次到达距水面米时用时25秒

【答案】BCD

【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.

【解析】解：由题意，角速度弧度/秒，

又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；

当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；

以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，

由，所以，

又角速度弧度/秒，时，，所以，，

所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；

将代入中，得，或，即，或．

所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．

故选：BCD．

12．设，函数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若的值域为，则

C．若函数在区间内有唯一零点，则

D．若对任意的，且都有恒成立，则

【答案】BCD

【分析】根据正弦函数的周期性判断A，对和分别计算函数的取值情况，即可得到不等式组，从而判断B、C，依题意对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，从而各段均单调递增，且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的，即可得到不等式组，解得即可判断D；

【解析】解：因为，

对于A：，所以或，，

解得或，，故A错误；

对于B：若的值域为，当时，

当时且，

所以，解得，故B正确；

对于C：若函数在区间内有唯一零点，

①又，即时，当时，此时，

所以函数在上单调递增，且，

当时且，

即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；

②，即，则当时且

即函数在上单调递增，即在上不存在零点，

要使函数只有一个零点，在上有且仅有一个零点，故，解得，综上可得，故C正确；

对于D：对任意的，且都有恒成立，

即对任意的，且都有恒成立，

即在上单调递增，所以，解得，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．若，则_______．

【答案】

【分析】利用切化弦、二倍角公式可推导得到，由此可化简所求式子为，利用二倍角正切公式可求得结果.

【解析】，

，，

原式.

故答案为：.

14．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是___________.

【答案】

【分析】先根据函数的图象及其所过的点可求，再根据图象的对称性可求()，求出函数单调区间的一般形式，利用为前者的子集可求的范围，从而可求的最大值.

【解析】∵函数的图象经过点，∴，，

，∴或.

若，则，

则当时，，故在为增函数，

这与题设中的图象不符合，故.

∴，由的图象关于点对称，

得，，即()，

令，则，

故的单调区间为.

∵在区间上单调，

故存在整数，使得，

故，因为，故，且，

故即，

故或或或或.

又()，∴或，∴的最大值是.

故答案为：11.

【点睛】方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参数的取值范围.

15．已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）

A．该函数解析式为；

B．函数的一个对称中心为

C．函数的定义域为

D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则的最小值为.

【答案】ABC

【分析】A.根据已知求出函数解析式为；B. 函数的对称中心为，即可判断；C.解不等式即可判断；D. 的最小值为，即可判断.

【解析】因为相邻对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，

所以.所以.

因为图象经过点，所以,

所以

因为.所以. 所以A正确；

令，所以，

所以函数的对称中心为.

当时，对称中心为所以B正确；

，令，

所以，

解之得函数的定义域为，

所以C正确；

将函数的图象向右平移个单位，得到是奇函数，

所以因为的最小值为.

所以D不正确.

故答案为：ABC

16．设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.

【答案】##

【分析】依题意，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可

【解析】

依题意

（1）当时, 函数草图如下图所示,

此时, ,

则    满足条件;

（2）当 时, 函数草图如下图所示,

此时, ,

则无解

（3）当时, 函数草图如下图

此时, ,,

则, 无解;

（4）当时, 函数草图如下图所示,

此时, , ,

则

解得 , 满足条件

故答案为：

四、解答题

17．已知，，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用将所求式子转化为齐次分式，从而利用即可得解；

（2）先由及求得，从而得到，再利用正切的和差公式求得，进而得解.

【解析】（1）因为，

所以．

（2）因为，所以，

又因为，所以，，

所以，

又，所以由，解得，

所以，

又，，故，

所以．

18．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；

(2)求函数的最小值．

【答案】(1)是偶函数，证明见解析.

(2)2.

【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明.

（2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理.

（1）

是偶函数，证明如下：

因为函数，所以的定义域为，

所以的定义域关于原点对称，又，

即，所以是偶函数．

（2）

因为函数，去绝对值有：

，所以当时，取得最小值2．

所以函数的最小值2.

19．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x-．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围．

【答案】（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]

【分析】（Ⅰ）先化简f（x），根据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出，

（Ⅱ）根据图象的变换可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范围．

【解析】（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期为T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递增区间为+kπ，+kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到g（x）=sin（x+），

∵0≤x≤,∴≤x≤，

∴≤sin（x+）≤1，

∴≤g（x）≤1

∴关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，

即图象g（x）与y=k，有交点，

∴≤k≤1，

故k的取值范围为[，1]．

【点睛】本题考查了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形结合法的应用．综合性强，属于中档题．

20．如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．

(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；

(2)当为多少时，S最大，并求最大值．

【答案】(1)，．

(2)时，面积最大为

【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；

（2）令换元，然后由二次函数性质可解.

（1）

延长交于，设，

则，，

，．

，．

（2）

设，

，知，，，

．

当，即时，有最大值．

答：长方形停车场面积的最大值为平方米．

21．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．

(1)求函数的解析式；

(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；

(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.

（2）利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答.

（3）根据给定范围，按a=0，a>0，a<0分类并结合最值情况求解作答.

（1）

因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，

所以．

（2）

由（1）知，，当时，，则，

令，则．存在，使成立，

即存在，使成立，则存在，成立，

而函数在上递减，在上递增，

当时，，当或2时，

所以实数m的取值范围为．

（3）

由（1）知，不等式，

当时，，，

若，因，即恒成立，则，

若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，

原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，

若，当时，取得最小值，

原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，

所以a的取值范围是．

22．设函数

(1)若，，求角；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：

(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

(3)当时，（且）；当时，，

【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；

（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;

（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.

(1)

由题意可知

∵，

或，

∵

∴或

(2)

令，

∴，，

，

令，

∴，

解得：；

(3)

∵，

∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，

可得

∵，存在非零常数，对任意的，

成立，在上的值域为，在上的值域为

∴

当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）

当时，

由诱导公式可得，

即，

所以当时，（且）；

当时，，

23．已知函数，满足．

(1)求的值，并求出的最小正周期（无需证明）；

(2)求在区间上的零点个数；

(3)是否存在正整数，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)4个

(3)存在，

【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，故得函数的最小正周期；

（2）利用换元法设，将原方程转换为关于的一元二次方程，解出，进而可得零点个数；

（3）根据的最小正周期为，且内有4个零点，可解得．

(1)

函数，

∵，

∴ ，解得：，

函数的最小正周期，

(2)

当时，．

设，则，

于是，

令，得或，

于是，或或，其中，

即在区间上的零点个数为4个.

(3)

当时，．

设，则，

于是，令，

解得或，故在没有实根．

结合（2）可得，在上有4个零点，

而，

所以函数在有2022个零点.