人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后练习题

2.3.1一元二次不等式的解法（含参数及恒成立问题）

一、单选题

1． “”的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合的包含关系直接判断即可.

【解析】，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

2．不等式的解集是（       ）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，等价转化不等式为，再求二次不等式即可求得结果.

【解析】因为，故等价于，

即，解得.

故选：A.

3．已知全集，集合，，则等于（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过解二次不等式求出和集合，再求交集即可.

【解析】或

，

故选：A.

4．不等式的解集是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】解一元二次不等式时，若不等号右侧不是0，应先把右侧化为0，再解不等式．

【解析】不等式可化为，即，解这个不等式，得，所以该不等式的解集是．

故选：A．

5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（       ）

A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}

C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}

【答案】B

【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．

【解析】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，

所以不等式的解为．

故选：B．

6．一元二次不等式的解集是，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得方程的两根为和，且，由根与系数的关系列方程组，解方程组求得、的值即可求解．

【解析】因为一元二次不等式的解集是，

所以方程的两根为和，且，

所以，解得：，，所以，

故选：D．

7．已知p：，q：，且p的一个充分不必要条件是则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简命题对应的不等式，由p的一个充分不必要条件是确定包含关系，建立不等式即可求解.

【解析】p：，解得．

q：，解得．若p的一个充分不必要条件是q，

则，故，解得，

故选：A．

8．若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是（       ）

A．(−，5) B．(5，+) C．(−4，+) D．(−，4)

【答案】A

【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围

【解析】设，开口向上，对称轴为直线，

所以要使不等式在区间(1，5)内有解，只要即可，

即，得，

所以实数a的取值范围为，

故选：A

9．在下列不等式中，与同解的不等式是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出每个选项中不等式的解，和原不等式对照其解是否相同即可.

【解析】的解为或

A.或且，与不同解；

B.，与不同解；

C.，与同解；

D.或或，与不同解.

故选：C.

10．已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式，写出命题p，q所对集合，再由集合的包含关系即可列式求解.

【解析】解不等式得：或，

记命题p所对集合，命题q所对集合，

由p是q的充分不必要条件得：AB，于是得，

所以实数m的取值范围是.

故选：B

11．若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】等价于，再对分类讨论得解.

【解析】解：原不等式等价于，

①当时，对任意的不等式都成立；

②当时，，所以；

③当时，显然不能成立.

综合①②③，得的取值范围是.

故选：A

12．已知集合，对于任意的，使不等式恒成立的x的取值范围为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求出集合，原不等式可转化为对恒成立，由或即可求解.

【解析】由，得，所以，

由不等式对于任意的恒成立，

即不等式对于任意的恒成立，

所以即不等式对恒成立，

所以只需或对于任意的恒成立，

只需或对于任意的恒成立.

因为，所以只需或，

故选：B.

二、多选题

13．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.

【解析】关于的不等式的解集为选项正确；

且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，

则，则，C选项错误；

不等式即为，解得选项正确；

不等式即为，即，解得或选项正确.

故选：.

14．对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（       ）

A． B． C． D．或

【答案】ABC

【分析】根据题意，通过讨论与0的大小关系，求出解集即可.

【解析】根据题意，易知．

当时，函数的图象开口向上，故不等式的解集为或．

当时，函数的图象开口向下，若，不等式的解集为；

若，不等式的解集为；若，不等式的解集为．

故选：ABC．

15．设全集，集合，，则（       ）

A． B．

C． D．或

【答案】BD

【分析】先通过一元二次不等式的计算可得，，再根据集合的运算逐项计算即可得解.

【解析】由题知，，

或，

所以，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

或，故D正确.

故选：BD．

16．若关于的不等式的解集为，则能使不等式成立的可以为（       ）

A． B． C． D．或

【答案】BC

【分析】根据不等式的解集求出，，再把的关系代入不等式即得解.

【解析】因为不等式的解集为，

所以和是方程的两个根，且，

所以.

则.

由，得，

因为，所以，

解得或，

所以不等式的解集为或.

故选：BC

17．(多选)若方程有两个不等的实数根，且，则(       )

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为或

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，则

【答案】AD

【分析】结合已知条件，分析一元二次函数的开口方向以及与轴的交点即可求解.

【解析】当时，函数的图象开口向上，

所以不等式的解集为，故A正确，B错误；

若不等式的解集为，则，

函数的图象开口向下，又函数的图象过定点，

则，．故C错误，D正确．

故选：AD．

18．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（       ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.

【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，

由于，所以.

A，，当时等号成立，故A正确.

B，，当且仅当时等号成立，故B正确.

C，不等式的解集为，，故C错误.

D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，

则，，故D正确，

故选：ABD

三、填空题

19．不等式的整数解构成的集合是_______．

【答案】

【分析】解出不等式即可求出．

【解析】由不等式解得，所以不等式的整数解构成的集合是．

故答案为：．

20．关于x的不等式的解集为，则实数______．

【答案】

【分析】由分式不等式的解法，可将其等价变形为一元二次不等式求解，并通过解集待定系数得解

【解析】解：等价于，即，若,显然不等式无解，因此

解得,由已知解集为

可知

故答案为：

21．关于x的不等式的解集是_______．

【答案】

【分析】因式分解后利用积的符号法则直接求解.

【解析】原不等式可化为：

解得：，

所以原不等式的解集为：

故答案为：.

22．不等式的解集为______．

【答案】

【分析】将分式不等式通过移项，通分，转化为二次不等式求解，但要注意除去使分母为零的数值即可

【解析】

即

解得不等式的解集为

故答案为：

23．不等式的解集是________．

【答案】

【分析】利用一元二次不等式的解法，分和讨论求解.

【解析】当时，不等式化为，即，

解得，

当时，不等式化为，

解得且，

综上：原不等式的解集是，

故答案为：

24．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．

【答案】

【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集.

【解析】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，

用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0，

因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，

即不等式＋＜0的解集为∪

故答案为： ∪

【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.

四、解答题

25．解下列不等式

(1) ；

(2) ；

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先判断判别式，进而求对应方程的实数根，再结合对应二次函数图像求解即可；

（2）先判断判别式，进而求对应方程的实数根，再结合对应二次函数图像求解即可；

(1)

解：因为，

所以方程有两个不等实根 ，.

又二次函数的图象开口向上，

所以原不等式的解集为或

(2)

解：因为，

所以方程有两个不等实根，

即，.

又二次函数的图象开口向下，

所以原不等式的解集为．

26．解不等式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）由题可得，即求；

（2）由题可得，即得.

(1)

由，可得，

∴，

解得或，

所以原不等式的解集为或.

(2)

由可得，，

∴，解得，

所以原不等式的解集为.

27．解下列一元二次不等式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)或

【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可.

(1)

二次方程有二重根，

则不等式的解集为

(2)

二次方程有二根，

则不等式的解集为

(3)

不等式可化为

由可知，二次方程无根，

则不等式的解集为

故不等式的解集为

(4)

不等式可化为

二次方程有二根，

则不等式的解集为

故不等式的解集为

(5)

不等式可化为

二次方程有二根，

则不等式的解集为

故不等式的解集为

(6)

不等式可化为

二次方程有二根，

则不等式的解集为或

故不等式的解集为或

28．若不等式的解集是，求不等式的解集．

【答案】.

【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解.

【解析】由题意，不等式的解集是，

可得和是一元二次方程的两个实数根，

所以，解得，，

所以不等式化为，即，

解得，

∴不等式的解集为．

29．设或，．

(1)若时，p是q的什么条件？

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【答案】(1)充要条件；

(2).

【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；

（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.

(1)

因为，所以，解得或，

显然p是q的充要条件；

(2)

，

当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；

当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，

因此p不是q的必要不充分条件，

当时，该不等式的解集为：，要想p是q的必要不充分条件，

只需，而，所以，

因此a的取值范围为：.

30．已知关于x的不等式组．

(1)当时，求该不等式组的解集；

(2)若该不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意列式子得到，再根据，两者取交集即可；（2）不等式解集为空集，即这两个不等式无交集，即或.

(1)

解不等式组得．

因为，所以，，

所以不等式组的解集为

(2)

由不等式组的解集为空集，得这两个不等式无交集，

即或，

解得或.

31．，，若，求a的取值范围．

【答案】

【分析】根据可知B是A的子集，再分类讨论、、三种情况，最后取并集.

【解析】(1)当时，，．∵，∴．

(2)当时，，满足，∴也适合题意．

(3)当时，，不成立．

综上所述，．

32．(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k的值；

(2)若当时，关于x的方程有解，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解；

（2）原问题等价于，，然后利用二次函数的性质即可求解.

(1)

解：因为的解集是，

所以，1是关于x的方程的两个根，

所以，解得；

(2)

解：因为当时，关于x的方程有解，

所以当时，有解，即

因为二次函数在上单调递增，

所以，

所以，

所以，

所以实数k的取值范围为．

33．已知关于x的不等式，其中.

（1）当时，求不等式的解集A；

（2）当时，求不等式的解集A；

（3）对于时，不等式的解集A，若满足（其中为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.

【答案】（1）（2）答案见解析（3）能，

【解析】（1）直接解一元二次不等式即得；

（2）根据k的正负，两根的大小分类讨论求解不等式即可；

（3）对分类讨论，若，则中会有无穷个数，当时，不等式的解集是一区间，从而有有限个数．

【解析】（1）当时，不等式为，

即，

∴，

即解集为；

（2）当时，由原不等式可得，

，

，

当k >0且k≠2时，

由得或，

当k<0时，，由可得，

.

（3）由(1)(2)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限;

当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.

因为，当且仅当时取等号，

所以当k=―2时，集合B的元素个数最少.

此时，

故集合.

【点睛】关键点点睛：本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式通常要掌握“三个二次”之间的关系．要注意分类讨论二次项系数的正负，要利用判别式讨论相应的二次方程是否有实数解，在有实数解的情况下还要讨论两根的大小，这样才能得出正确的结论．