人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步训练题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.3 （附加）二次函数的图像和性质
含区间与轴的各种动态问题
一、单选题
1．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【解析】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
2．函数的减区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先气的函数的定义域为，结合二次函数性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【解析】由题意，函数有意义，则满足，
即，解得，即函数的定义域为，
令，可得其开口向下，对称轴的方程为，
所以函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，
即的减区间为.
故选：D.
3．已知函数的定义域和值域都为，则（       ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】求出得对称轴为，可得在上单调递减，解方程组即可求解.
【解析】的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，
因为在上的值域为，
所以，整理可得：，
解得或（舍），
将代入可得，解得，
故选：C.
4．定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数的性质知开口向上且顶点为，且，结合闭区间对应值域即可确定m的范围.
【解析】由，其开口向上且顶点为，
当时，可得或，
因为定义域为对应值域为，
所以.
故选：C.
5．若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（       ）
A．在上单调递减 B．有2个零点，分别为1和3
C．在上单调递增 D．最小值是
【答案】C
【分析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.
【解析】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确．
故选：C.
6．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
7．已知在上单调，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合二次函数的单调性即可得到或，解不等式即可求出结果.
【解析】因为的对称轴为，所以在上单调需满足或，即或，
故选：D.
8．若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（       ）
A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关
【答案】A
【分析】讨论、、，利用二次函数的性质求的最值，结合已知求，即可判断与参数a、b是否有关.
【解析】函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，
①当时，在上单调递减，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
②当时，在上单调递增，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
③当时，，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
综上：的值与a无关，与b有关.
故选：A.
9．若函数在区间内存在最小值，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】开口向上的二次函数，在开区间上有最小值当且仅当对称轴取值在该区间内，因此通过限制对称轴在给定开区间范围内即可得解
【解析】函数的对称轴为：，
∵函数在区间内存在最小值，
∴，解得．
故选：B.
10．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.
【解析】解法一：若，恒有，只需，
设函数在上的最小值为，则
（1）当，即时，，即，所以；
（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；
（3）当，即时，，所以，即，得，则.
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
解法二：若，恒有，即对任意恒成立，
所以对任意的恒成立，而，当且仅当，
即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.
故选：B.
11．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将函数左移，函数变得简单，使得解的过程也变得简单；再分类讨论去绝对值，最后根据函数的值域算出实属a的取值范围.
【解析】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1.
由，，
当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意；
当，时，，符合题意；
当，时，，化简得
又由当时，根据二次函数的性质，的值域为，
当时，，必有，可得.
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
12．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据所给函数满足性质，结合函数图象的伸缩平移变换可作出函数的大致图象，求得函数值等于7时的x的值，数形结合，可求得答案.
【解析】因为时，，
由可知，即将的图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到时图象，
又由可知 ，当时，将的图象向左平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍，
如图所示：

当时，，
令，得或，
若时，成立，则，
所以实数的取值范围为,
故选:D．

二、多选题
13．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】根据在和时，函数值为，当时函数值为得，进而得答案.
【解析】解：因为，开口向上，对称轴为
所以，当和时，函数值为，当时函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，
所以的值可能的选项是：ABC
故选：ABC
14．已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【分析】分析函数的单调性，求得在R上的最小值为，且，分类讨论当时，求得的范围；当时，求得的范围，即可求得的范围，进而得解.
【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
15．若函数在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为（       ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的性质对参数a分类讨论求出函数的最大值，令，解出a的值即可.
【解析】若a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递増，
，解得a=1（舍去）或a=3（舍去）.
若a>0时，，
当即a>4时，，解得a=3（舍去）.
当x>a时，令，解得.
当即时，，解得.
当即时，.解得.
故选：AC
16．已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（       ）
A． B．的取值范围为
C． D．
【答案】ABC
【分析】结合分段函数的解析式作出的图像，先利用一元二次函数的对称轴性质易得，再确定，则，最后由图像易得与不一定关于y轴对称可知，不一定成立.
【解析】作出的图像，如图所示．
设，则．

由的图像及一元二次函数的对称轴性质可知，，故C正确；
令，解得，所以，故A正确；
结合上述分析易知的取值范围为，故B正确；
与不一定关于y轴对称，故不一定成立，故D错误．
故选：ABC．

三、填空题
17．函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用二次函数的性质即得.
【解析】根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，
若在区间上是单调函数，则有或，
解可得：或，
即的取值范围为.
故答案为：.
18．若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____．
【答案】或
【分析】对的取值进行分类讨论，结合二次函数的最大值来求得的值.
【解析】∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1，
∴该二次函数的对称轴是直线，开口向上，
当时，即时，y在时取得最大值31．
∴．
解得，（舍）．
当时，即时，y在时取得最大值31．
∴．
解得（舍），．
综上所述，的值为或.
故答案为：或
19．已知抛物线 (为常数，且)，当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为______
【答案】或
【分析】对函数解析式配方，求出其对称轴，然后分和求出函数的最大值，使其最大值等于，从而可求出的值.
【解析】抛物线，
∵，
∴当时，有最大值；当时，随的增大而减小；
∵为常数，且，
若，当时，有最大值，
∴，此时，；
若，则当时，有最大值，
即，解得：(不合题意，舍去)，
综上，的值为或．
故答案为：或-6
20．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.
【解析】解：当时，，
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
因为函数的值域为，
所以，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：.

四、解答题
21．已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
【答案】
【分析】根据对称轴与区间的位置关系展开讨论，结合二次函数的性质求函数在区间上的最大值，列方程求a的值．
【解析】对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，
解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍去）；
综上：
22．已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
(1)当时，求在上的最大值与最小值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)最大值为3，最小值为．
(2)
【分析】（1）由题知，进而令，再根据换元法求解即可；
（2）设，由（1）知，进而结合二次函数“轴动区间定”，根据对称轴相对于给定区间的位置进行分类讨论求解即可.
（1）
解：设（，且），
∵的图像过点，
∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，
又，，
∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）
解：设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．
；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
23．已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
【答案】(1)抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）
(2)
【分析】（1）方法一：由题意可得抛物线经过（2，c）和（0，c），则可得对称轴为直线，然后利用对称关系可求出另一个交点坐标，方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入可求出，然后令可求出另一个交点坐标，
（2）由题意可得当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，则可得，令代入函数中可求出的值．
（1）
方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线，
∴（－1，0）的对称点为（3，0），
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得
，解得，
∴抛物线的表达式为，
令得，，解得，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
（2）
∵，∴，，
∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，
∵，∴，
令得，，解得（舍去），，
∴．
24．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，
（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分，和三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则，由抛物线的性质可得或，从而可求出a的取值范围.
（1）
当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
∴函数在区间上的值域为．
（2）
方案一：选条件①．
由题意，得．
若，即，则函数在区间上单调递增，
∴，解得，
又，∴a＝4．
若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
解得，∴．
若，即，则函数在区间上单调递减，
∴，
解得，又，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为．
方案二：选条件②．
∵，，
∴，
∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴或，解得或，
∴．
故实数a的取值范围为．
25．设函数，其中为任意常数.
(1)若，且函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
(2)如果不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据二次函数的对称轴在区间上列不等式，由此求得的取值范围.
（2）令，将不等式转化为，对进行分类讨论，结合绝对值不等式的解法、转换主参变量、一元一次不等式恒成立等知识求得的最大值.
（1）
若，
此时二次函数的对称轴方程为，
由题意知，解得.
（2）
.
令，依题意，
则.
①当时，上式.
（i），
记在时恒成立，
则.
（ii）.
记在时恒成立，
则，解得.
②当时，
（i）.
记在时恒成立，则

（ii）.
记在时恒成立，
则
综上，恒成立的充要条件是，
即的最大值是2.
26．已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)－1
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）由二次函数的对称轴与区间的关系求解；
（3）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值．
（1）
因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）
因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）
①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
27．已知幂函数，且在上单调递增.
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）因为在上单调递增，所以有（2-k）（1+k）>0，再结合就搞定.（2）因为在不单调，说明对称轴在上.
（3）g（x）是开口向下的二次函数，我们只需要讨论上的单调性，在内求出最大最小值，即可求解q.
试题解析：（1）由题意知,解得:.
又 ∴或,分别代入原函数,得.
（2）由已知得.
要使函数不单调，则，则.
（3）由已知,.
假设存在这样的正数符合题意,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,
从而必有,解得.此时,,其对称轴,
∴在上的最大值为,符合题意.
∴存在,使函数在区间上的值域为.
考点：二次函数在闭区间的单调性.
28．已知函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围；
(3)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)详见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）按照参数a分类讨论并利用一元二次不等式解法去求解，即可得到不等式的解集；
（2）先求得的解集，再利用集合间的包含关系，即可求得实数t的取值范围；
（3）先按照参数t分类讨论，分别求得函数在区间上的值域，再构造关于实数t的不等式组，解之即可求得实数t的取值范围.
(1)
由，可得，即
当时，由，可得或
当时，由，可得
当时，由，可得或
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
(2)
当时，，若对∀，都有恒成立，
即对∀，都有恒成立，
又由可得
则有，且成立，解之得，
故实数t的取值范围为
(3)
当时，，
①当时，在单调递增，
在区间上的值域为；
若对∀，都有恒成立，
则有，解之得
②当时，
在上单调递减，在上单调递增，
在区间上的值域为；
若对∀，都有恒成立，
则有，解之得
③当时，
在上单调递减，在上单调递增，
在区间上的值域为；
若对∀，都有恒成立，
则有，解之得；
④当时，在单调递减，
在区间上的值域为；
若对∀，都有恒成立，
则有，解之得
综上，实数t的取值范围为
29．已知幂函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，且的最小值为0，求实数的值.
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在；实数的取值范围.
【解析】（1）根据为幂函数，由求得p，再由确定.
（2）由（1）得，令，转化为，，利用二次函数性质求解.
（3），易知在上单调递减，由，得到，令，转化为，利用二次函数的性质求解.
【解析】（1）∵为幂函数，
∴，∴或.
当时，在上单调递减，故不符合题意.
当时，在上单调递增，
故，符合题意.
∴.
（2），
令.
∵，
∴，
∴，.
①当时，即时，则当时，有最小值，
∴，.
②当时，即时，则当时，有最小值.
∴，（舍）.
③当时，即时，则当时，有最小值，
∴，（舍）.
综上所述.
（3），易知在上单调递减，
∴，即，
两式相减，
又，
∴，
故有.
因为且，，
所以，解得，
令，∴，
∴，，
所以，
故实数的取值范围.
【点睛】方法点睛；(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．