高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课时作业

3.2.2 奇偶性

一、单选题

1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称即可求解.

【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；

选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；

选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.

故选：B

2．下列命题正确的是（       ）

A．奇函数的图象关于原点对称，且

B．偶函数的图象关于y轴对称，且

C．存在既是奇函数又是偶函数的函数

D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义判断．

【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；

偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；

函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；

奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.

故选：C.

3．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.

【解析】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；

对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；

对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；

对于D，为奇函数，所以D不符合题意．

故选：C．

4．若函数，则以下函数为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称.

【解析】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确；

对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误；

对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；

对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；

故选：

5．下列函数为偶函数的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据解析式，直接判断函数的奇偶性.

【解析】A.函数是非奇非偶函数，

BC都是奇函数，

D.满足，定义域是，是偶函数.

故选:D.

6．对于定义域是R的任何一个奇函数都满足（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义分别进行判断即可．

【解析】解：因为是奇函数，所以，

则．，不一定小于0，所以A错误；

．，所以B正确；

．不一定小于等于0，所以C错误；

．，所以D不正确．

故选：B．

7．设函数，则下列函数中为偶函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义即可判断.

【解析】，则，因为是偶函数，故为偶函数.

故选：A

8．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（       ）

A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是

C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是

【答案】D

【分析】由奇函数的性质分析判断即可得结论

【解析】因为为奇函数，在上是增函数且最大值为5，

所以在区间上为增函数，且最小值是，

故选：D

9．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围.

【解析】解：由题意得

∵奇函数的定义域为，且在上单调递增

∴在定义域内单调递增．

若实数满足，即

故有，解得，所以的取值范围为.

故选：D

10．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（       ）

A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.

【解析】由函数为奇函数，得，

不等式即为，

又在单调递减，∴得，即﹒

故选：D．

11．偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，计算得解.

【解析】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.

故选：B.

12．已知是偶函数，当时，，若当时，恒成立，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】根据偶函数的性质求出函数在的解析式，进而求出函数在的值域，由不等式恒成立，得到关于的范围.

【解析】设，则.

有，又

∴当时，

∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，

依题意，恒成立，

则，即故的最小值为1.

【点睛】若恒成立，则，若恒成立，则，注意与有解、有解的区别.

二、多选题

13．下列判断不正确的是（       ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是非奇非偶函数

【答案】AD

【分析】根据奇偶性的定义分析判断即可

【解析】对于A，由且，得，则函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，

对于B，函数的定义域关于原点对称，当时，，则，当时，，则，综上，所以为奇函数，所以B正确，

对于C，由且，得，得，定义域关于原点对称，此时，此函数既是奇函数又是偶函数，所以C正确，

对于D，由且，得且，则定义域关于原点对称，，因为，所以此函数为奇函数，所以D错误，

故选：AD

14．已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（       ）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

【答案】AD

【分析】根据奇偶函数的定义可得，，则分别判别四个选项，可得答案.

【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，．易得，故是奇函数，A正确；

，故是偶函数，B错误；

，故是奇函数，C错误；

，故是偶函数，D正确．

故选：AD．

15．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（       ）

A． B．在区间单调递增

C．的最小值为 D．的最大值为2

【答案】AC

【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.

【解析】函数是奇函数，

则，代入可得，故A正确；

由，

对勾函数在上单调递增，

所以在上单调递减，故B错误；

由，所以，

所以，故C正确、D错误.

故选：AC

16．对于函数，下列判断正确的是（       ）

A．

B．当时，方程总有实数解

C．函数的值域为

D．函数的单调区间为

【答案】AB

【分析】根据的单调性，奇偶性，值域逐项判断即可.

【解析】，故A正确；

因为，

所以，

的值域为，因此当时，方程总有实数解，

故B正确；故C错误；

，

所以在单调递增；由于与知为奇函数，

所以函数在也单调递增，且在时连续，故的单调增区间为 ，故D错误；

故选：AB．

三、填空题

17．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则___________.

【答案】2

【分析】先求出，再由函数的奇偶性求出的值.

【解析】由题意得：，因为函数是定义在R上的偶函数，所以

故答案为：2

18．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.

【解析】解：因为函数（）是偶函数，所以，

所以，得，所以，

故答案为：0.

19．已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，则使的的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据函数是偶函数，把函数在区间上的图象画出，结合函数图象，求出的解集

【解析】∵是偶函数，∴其图象关于轴对称，∴可根据在区间上的图象作出在区间上的图象，从而得到在区间上的图象，如图所示．根据图象可知，使的的取值范围为．

故答案为：

20．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及符号法则即可解出．

【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，，

所以x·f(x)＞0 的解集为．

故答案为：．

21．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.

【答案】1

【分析】利用奇函数的性质进行求解.

【解析】若是奇函数，则有.

当时，，则，

又当时，，所以，

由，得，解得a=1.

故答案为：1.

22．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．

【答案】

【分析】通过给函数赋特殊值，利用函数的奇偶性，求解参数，利用偶函数性质得，利用奇函数性质得，代入解析式即可求解.

【解析】解：因为为偶函数，故；

为奇函数，故；

当时，，即，解得，

当时，，即，故，解得，

所以当时，.

又，

.

故答案为：.

四、解答题

23．判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）奇函数

（2）既不是奇函数也不是偶函数

（3）既是奇函数又是偶函数

（4）奇函数

【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.

【解析】（1）由，得，且，

所以的定义域为，关于原点对称，

所以.

又，所以是奇函数.

（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.

（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.

因为对定义域内的每一个，都有，所以，，

所以既是奇函数又是偶函数.

（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.

①当时，，

所以，，所以；

②当时，，所以；

③当时，，所以.

综上，可知函数为奇函数.

24．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x22x.

（1）求f（2）；

（2）求出函数f（x）在R上的解析式；

（3）在坐标系中画出函数f（x）的图象.

【答案】（1）0；（2）；（3）图象见解析.

【分析】（1）由奇函数的定义可得f（2）=f（2），再由已知的解析式求出f（2）的值，从而可得f（2）的值，

（2）由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以可得f（0）=0；当x<0时，x>0，则x满足已知的函数解析，代入结合奇函数的性质化简可求得x<0时的解析式，从而可得函数f（x）在R上的解析式；

（3）分别画出x>0和x<0的两个二次函数函数图像，再加上原点就得到函数f（x）的图象

【解析】由于函数f（x）是定义在（∞，+∞）内的奇函数，因此对于任意的x都有f（x）=f（x）.

（1）f（2）=f（2）；又f（2）=222×2=0，故f（2）=0.

（2）①因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0；

②当x<0时，x>0，由f（x）是奇函数，知f（x）=f（x）.

则f（x）=f（x）= [（x）22（x）]= x22x.

综上，

（3）图象如下：

25．f(x)是定义在(－2， 2)上的偶函数，当x∈[0， 2)时f(x)单调递减．若f(1－m)＜f(m)成立，求m的取值范围．

【答案】－1＜m＜

【分析】利用函数为偶函数以及函数的单调性，列不等式组即可求解.

【解析】解：由题意知f(x)的图象关于y轴对称，

又f(x)在[0， 2)上单调递减，

所以解得－1＜m＜.

26．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，

（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论

【解析】解：（1）根据题意，函数为偶函数，

证明：，其定义域为，

有，则是偶函数；

（2）证明：设，

则，

又由，则，

必有，

故在上是减函数．

27．函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；

（2）当时，若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【解析】（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

28．设奇函数是定义在上的增函数，若不等式对于任意都成立，求实数的取值范围．

【答案】

【分析】根据单调性和奇偶性解不等式，得到对恒成立，转化为二次函数问题，由数形结合及分类讨论求出实数的取值范围.

【解析】由得

为奇函数，．

又在上为增函数，原问题等价于对恒成立，即对都成立．

令，问题又转化为：在上，

或或

解得：．

综上：实数的取值范围是．

29．已知函数满足．

(1)求的值；

(2)求证：；

(3)若，求的值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）令，即可求出；

（2）令，结合，即可得证；

（3）根据所给条件求出，，，，，，，即可得解；

(1)

解：因为，令，则，所以；

(2)

解：因为，令，则，又，所以，即；

(3)

解：因为且，所以，，，，，，所以，；

30．设函数，．

(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．

(2)若是偶函数，求实数a的值．

(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)该同学的观点正确，理由见解析

(2)0

(3)

【分析】（1）由奇函数的定义，求是否有解，即可得出答案

（2）若为偶函数，则有，求出实数a的值，即可得出答案.

（3）恒成立转化为，画出的图象，求出，解不等式即可得出答案.

（1）

该同学的观点正确，理由如下：，．

若为奇函数，则有，∴．

显然无实数解，∴不可能是奇函数．

（2）

若为偶函数，则有，

∴，即．∴，

此时，是偶函数．∴实数a的值为0．

（3）

由（2）知，其图象如图所示：

由图象，知，∴，解得．

∴实数m的取值范围为．

31．已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有．

(1)求证：函数为奇函数；

(2)若当，<0，求证： 在上单调递减；

(3)在（2）的条件下解不等式： ．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用赋值法和奇函数的定义，即可得到答案；

（2）对，且，证明，即可得到答案；

（3）利用奇函数的性质，将不等式等价于：，从而利用单调性可得不等式组，解不等式即可得到答案；

（1）

因为函数的定义域为关于原点对称，     

由，

取x=y=0，得，∴．

取y=-x，则，∴，故函数为奇函数．

（2）

对，且，则，

由，得，∴，

又， ∴，

∴，由，<0知

即，故在上单调递减．

（3）

（3）由（1）和（2）知函数既为奇函数，同时在上单调递减，

则不等式等价于：，

∴，解得，故不等式的解集为．