天津市和平区益中学校2022-2023学年上学期九年级第二次调研数学试卷(含答案)

2022-2023学年天津市和平区益中学校九年级（上）第二次调研数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列标志中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知点与点是关于原点的对称点，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.    已知的面积为，若点到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定

4.    已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列说法错误的是(    )

A. 二次函数中，当时，随的增大而增大
B. 二次函数中，当时，有最大值
C. 抛物线中，越大图象开口越小，越小图象开口越大
D. 不论是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点

6.    下列命题错误的是(    )

A. 圆是轴对称图形 B. 三角形的内心到它三边的距离相等
C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等

7.    圆锥的底面半径为它的侧面展开图扇形的半径为，则这个扇形圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，的直径，弦于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，，，，四个点均在上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；若方程有四个根，则这四个根的和为其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：，，，，，，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是______．
14. 若一个正六边形的周长为，则该正六边形的边心距为______．
15. 二次函数的图象的顶点坐标是______．
16. 如图，的内切圆与、、相切于点、、，且，，，则______．

17. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等，如图，点的坐标为，是抛物线上一个动点，则周长的最小值是______．
18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，．
    Ⅰ线段的长等于______；
    Ⅱ是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出圆心和点，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的不要求证明．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
    设，是方程的两个实数根，求的值．
21. 本小题分
    如图，已知是的直径，点在上，为弧的中点，连接，，，求证：；
    如图，已知，是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，若，求证：直线是的切线．
     
22. 本小题分
    已知，分别与相切于点，，，为上一点．
    如图，求的大小；
    如图，为的直径，与相交于点若，求的大小．
     
23. 本小题分
    某商品每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系．
    Ⅰ一批发市场每月想从这种商品销售中获利元，该如何给这种商品定价？
    Ⅱ物价部门规定，该商品的每件售价不得高于元，设这种商品每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接把绕点逆时针旋转得点，旋转后的对应点为点，记旋转角为．
    Ⅰ如图，当点落在边上时，求的值和点的坐标：
    Ⅱ如图，当时，求的长和点的坐标：
    Ⅲ连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
    
    求该抛物线的解析式；
    直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值；
    在的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据中心对称的定义可得：、、都不符合中心对称的定义．
故选：．
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．
本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：点与点是关于原点的对称点，
，，
故选：．
根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆的半径是，
则，
，
点到直线的距离为，
，
即：，
直线与的位置关系是相交，
故选：．
设圆的半径是，根据圆的面积公式求出半径，再和点到直线的距离比较即可．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当时相离；当时相切；当时相交．
 

4.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，
是一元二次方程的一个根，
，
解得，
则，
解得．
故选：．
设方程的另一根为，由根与系数的关系可得到的方程，可求得的值，即可求得方程的另一根．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

5.【答案】 

【解析】解：、二次函数中，当时，随的增大而增大，说法正确，不符合题意；
B、二次函数中，当时，有最大值，说法正确，不符合题意；
C、抛物线中，越大图象开口越小，越小图象开口越大，说法错误，符合题意；
D、不论是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．
故选：．
根据抛物线的性质即可进行判断．
本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
三角形的内心到它三边的距离相等，故B正确，不符合题意；
等弧所对的圆心角相等，故C正确，不符合题意；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误，符合题意；
故选：．
根据圆的对称性，内心的性质，等弧的概念等逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握圆的相关概念及性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为．
圆锥的底面圆的周长，
圆锥的展开图扇形的弧长，
，
．
故选：．
根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长，然后根据扇形的弧长公式计算即可求出．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先根据垂径定理得到，再计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
．
，
，
，
．
故选：．
首先连接，由、、、四个点均在上，，，可求得与的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．掌握辅助线的作法，数形结合思想的是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
依据旋转可得，≌，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【解答】
解：由旋转可得，≌，

，故A选项错误，
，故B选项错误，
，故C选项错误，
，
又，
，
，
，即，故D选项正确，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：、由图象可知：，，，
，，，
，故不符合题意．
、由知：，
由图象可知：时，，
，
，
，
即，故符合题意．
由图象可知：当时，的最大值为，
当时，
，
，
，
，
，故符合题意．
若方程有四个根，分别设为，，，，
其中，是方程的两个根，，是方程的两个根，
则，，
即这四个根的和为，故不符合题意．
故选：．
根据二次函数的图象可知，，，然后由图象可知当时，的最大值为当时，若方程有四个根，分别设为，，，，再由图象对称性可知，．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率．
故答案为．
直接利用概率公式计算．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，作，得到，
圆内接正六边形的周长为，
，则，
因而．
正六边形的边心距是．
故答案为：．
首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为．
故答案为：．
利用配方法将一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．
本题考查了抛物线的顶点式性质．抛物线的顶点式，顶点坐标为．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
根据切线长定理得，，，
则有，
解得，
即的长为．
故答案为．
由切线长定理，可知：，，，用未知数设的长，然后表示出的长，即可表示出的长，根据，可求出的长．
此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，与抛物线交于点，如图所示．
点在抛物线上，
．
又垂线段最短，，
当点运动到点时，周长取最小值，最小值为．
故答案为：．
过点作轴于点，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合垂线段最短及为定值，即可得出当点运动到点时，周长取最小值，
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据垂线段最短找出周长的取最小值时点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：Ⅰ；
故答案为：；
Ⅱ如图，点，点为所作；

作图过程为：过点格线交圆于点、点，连接，连接格点、，交于点，连接交圆于，连接，则．
Ⅰ利用勾股定理计算的长；
Ⅱ过点格线交圆于点、点，连接，由于，则为直径，连接格点、，垂直平分，所以与的交点为圆心，连接交圆于，连接，由于为圆心，根据圆周角定理得到，，所以，于是可判断点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外接圆和圆周角定理．
 

19.【答案】解：移项，得：，
，
，；
，，，
，
，
，． 

【解析】先移项，然后用直接开平方法求解；
用公式法求解即可．
在一元二次方程的解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
；
根据题意得，，
则． 

【解析】根据方程有两个不相等的实数根，则，即，解不等式即可求出的取值范围；
先根据根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题主要考查根的判别式，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

21.【答案】证明：为弧的中点，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
而，
，
，
，
为半径，
直线是的切线． 

【解析】先根据圆周角定理得到，加上，所以，然后根据平行线的判定方法得到结论；
由得到，再根据三角形内角和定理得到，所以，则，然后根据切线的判定得到得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
 

22.【答案】解：连接、，

，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

23.【答案】解：Ⅰ由题意得：
，
解得，，．
这种商品可定价为每件元或元．
Ⅱ由题意得：


，
，对称轴为，
当时，随的增大而增大．
该商品的每件售价不得高于元，每件售价不低于进货价元，
．
当时，取得最大值，此时．
售价定为每件元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】Ⅰ根据总利润每件的利润销售量列出方程并求解即可；
Ⅱ列出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图，过点作于，

，，
，
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
由旋转的性质可知，，，

；

Ⅱ如图，过点作于点，

在中，，，
，
，，
；
由旋转得：，，
是等边三角形，
；

Ⅲ如图，过点作于，

面积，
是定值，
在旋转过程中当最大时，面积最大，
如图，当过点时最大，此时，

面积；
答：在旋转过程中面积的最大值是． 

【解析】Ⅰ如图，过点作于，利用旋转变换的性质和等腰直角三角形的性质求解即可；
Ⅱ如图，过点作于点，由含角的性质和等边三角形的判定和性质求出，的长；
Ⅲ在旋转过程中当最大时，面积最大，如图，当过点时最大，此时，根据三角形面积公式可解答．
本题是三角形的综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：将，代入得，
，
，
当时，，
点，
点与点关于直线对称，且对称轴为直线，
，
，
直线的函数关系式为：，
设，
作轴交直线于，

，

，
，
当时，最大为，
直线与轴正方向夹角为，
沿方向平移，实际可看成向右平移个单位，再向下平移个单位，
，
，
抛物线平移后，
抛物线的对称轴为：直线，
当为平行四边形的边时：
若平移到对称轴上点，
则的横坐标为，
代入得，
，
若平移到对称轴上点，
则的横坐标为，
代入得，
，
若为平行四边形的对角线时，
若平移到对称轴上点，
则平移到点，
的横坐标为，
代入得，
，

或或 

【解析】直接代入点，坐标即可；
作轴交直线于，通过铅垂高表示出的面积即可求出最大面积；
通过平移距离为，转化为向右平移个单位，再向下平移个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，已知线段，分为边还是对角线，通过点的平移得出的横坐标即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定是解决本题的关键．