专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点2 焦点三角形面积公式及其应用

专题15  圆锥曲线焦点三角形  微点2  焦点三角形面积公式及其应用

专题15  圆锥曲线焦点三角形

微点2  焦点三角形面积公式及其应用

【微点综述】

有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．本节利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用．

一、焦点三角形定义

椭圆和双曲线有对称中心，故统称为有心圆锥曲线．有心圆锥曲线上一点和两个焦点构成的三角形，称之为有心圆锥曲线的焦点三角形．其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形．

二、焦点三角形面积公式

【结论1】椭圆的焦点三角形面积公式

椭圆的左右焦点分别为，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形面积为．特别地，当时，有．

证明：如图，由余弦定理知．    ①

由椭圆定义知：，    ②

则②2－①得，．

当时，．

【结论2】椭圆的焦点三角形面积公式

双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线上异于实轴端点的任一点，，则．特别地，当时，有．

证明：如图，由余弦定理知，

，

，

，，

∴．

当时，．

三、焦点三角形面积公式的应用

在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义、余弦定理、基本不等式等知识解题．

1．设P为椭圆上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.

2．已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是（    ）

A．12 B．16 C．24 D．32

3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为．求椭圆C的方程

（2020·新课标Ⅰ）

4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

5．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，且，求的面积.

例6．（2022城厢区校级期中）

6．已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则　　

A．2 B．3 C．6 D．9

例7．（2022连城县校级期中）

7．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ）

A．9 B．3 C．4 D．8

例8．（2020·新课标Ⅲ）

8．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

例9．（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）

9．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

例10．（2022·吉林吉林·高三期末）

10．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【针对训练】

12．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．

13．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则

A．2 B．4 C．6 D．8

（2019·新课标Ⅲ）

14．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为

A． B． C． D．

15．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（    ）

A． B．2 C． D．1

16．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为

A． B． C． D．

（2022全国高三专题练习）

17．椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则（    ）

A． B． C． D．

（2022河南高二月考（理））

18．、的双曲线的两焦点，在双曲线上，，则的面积是

A．11 B． C． D．

（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））

19．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

（2022重庆九龙坡区·高二期末（理））

20．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.

A． B． C． D．

（2022新疆乌鲁木齐市·乌市一中高二月考）

21．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

22．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．

23．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________.

（2022西城区期末）

24．已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（     ）

A． B． C． D．

25．已知，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为，则__________．

26．已知点P是椭圆上的一点，、为椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则椭圆的离心率是______________．

（2022龙山县校级期末）

27．已知点是椭圆上的一点，、为椭圆的两焦点，若，试求：

（1）椭圆的方程；

（2）的面积．

28．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积.

（2019新课标Ⅱ）

29．已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若为等边三角形，求C的离心率；

（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

参考答案：

1．

【解析】根据余弦定理结合椭圆定义得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】，，则，

根据余弦定理：，

即，故.

.

【点睛】本题考查了椭圆焦点三角形面积问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.

2．B

【分析】设,根据双曲线的定义得，利用勾股定理求出，即可求解.

【详解】由双曲线方程可知，，

所以，

设双曲线的左右焦点分别为,，

由双曲线定义可得，

，

，

，

.

故选：B

【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的标准方程，三角形的面积，属于中档题.

3．

【分析】设出椭圆的方程，根据正方形的面积求出椭圆中参数的值且判断出参数，的关系，根据椭圆的三个参数的关系求出，的值得到椭圆的方程．

【详解】解：依题意，

设椭圆的方程为，焦距为，

由题设条件知，，

所以，

故椭圆的方程为.

4．B

【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.

【详解】由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

5．

【分析】根据题意，利用椭圆的定义与简单几何性质，结合余弦定理，求得的面积．

【详解】如图所示，

由椭圆，得，，；

在△中，由余弦定理得：

，

∴ ；

∴的面积为 ；

综上，的面积为 .

6．B

【分析】先根据椭圆的几何性质求得，设出，，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面积公式求解即得．

【详解】解：设，，

则由椭圆的定义可得：①

在△中，

所以②，

由①②得

即

所以，

．

故选： B．

7．B

【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解

【详解】法一：设，，则，

，∴．

又，∴，解得．

法二：由焦点三角形面积公式得

故选：B

8．A

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

【详解】，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

9．B

【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.

【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，

因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，

所以，圆心为，半径为，

根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，

则，由可得，

所以，所以，所以.

故选：B.    

10．A

【分析】设.先由题意求出椭圆标准方程为..把转化为，由求出，即可求得.

【详解】设.

在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得：

整理得：

由三角形的面积公式得：，解得：.

因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即.

由，得，解得：，所以，

代入椭圆标准方程得：.

又有，解得：，所以椭圆标准方程为：.

所以.

因为，所以.

所以.

因为，

当时，，

所以.

故选：A.

【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

11．B

【解析】设双曲线右焦点为，，取中点，根据双曲线定义可表示出；在圆中利用垂径定理可表示出，根据为三等分点可确定为中点，由中位线性质可表示出并得到，由此构造方程求得；利用双曲线焦点三角形面积构造等量关系，得到关于的齐次方程，由此求得渐近线斜率，进而得到渐近线方程.

【详解】设双曲线右焦点为，取中点，连接

设，由双曲线定义知：

    且    

又    为中点，又为中点    且

，解得：    ，

又双曲线焦点三角形面积

        双曲线渐近线方程为

故选：

【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线定义、焦点三角形面积的应用、垂径定理求解圆的弦长的应用等知识；关键是能够通过两种不同的方式表示出双曲线焦点三角形面积，进而构造出关于的齐次方程.

12．B

【分析】根据椭圆定义，结合基本不等式求出，进而求出面积.

【详解】根据椭圆定义，，则，当且仅当时取“=”，

此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为

故选：B.

13．B

【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．

14．B

【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.

【详解】设点，则①．

又，

②．

由①②得，

即，

，

故选B．

【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．

15．D

【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，即得.

【详解】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.

故选：D

【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.

16．B

【详解】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.

17．C

【解析】利用椭圆定义和余弦定理，列出方程组，求出，由此能求出△的面积．

【详解】解：解：椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，

由椭圆定义得：，

，①

由余弦定理得：，②

联立①②，得：，

∴，

故选：C.

18．A

【分析】由双曲线的方程根据双曲线定义可知的值，再根据，求得的值，利用配方法求得，进而可求得的面积.

【详解】双曲线的，

不妨设，则，而，

得，

，

，

的面积11，故选A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质、双曲线的定义与三角形的面积公式，属于中档题.解答与双曲线焦点有关的问题时，往往需要利用双曲线的定义：.

19．C

【分析】由，可得，再由及余弦定理计算可得，再根据同角三角函数的基本关系，可得，最后由面积公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

因为，所以

在中由余弦定理可得，

即又，

即，

所以，再由

所以

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

20．A

【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.

【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.

【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.

21．C

【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．

【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，

又由椭圆的方程为，其中，

则有，，

联立可得，

则△的面积；

故选：C．

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．

22．

【分析】设出点P坐标（x，y），由PF1⊥PF2得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值．

【详解】设点P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，

∴=-1，

∴x2+y2=25   ①，

又，

∴，

∴y2=，

∴|y|=，

∴P到x轴的距离是．

【点睛】本题考查双曲线的方程、性质的应用．结合题意，建立两个等式，解方程，即可得出答案．

23．

【分析】与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立

等式关系．

【详解】∵△POF2是面积为的正三角形，

∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．

∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，

所以.

故答案为．

【点睛】本题考查了椭圆的基本量，关键是抓住图形特征建立等式关系．

24．D

【分析】由题意，根据椭圆的定义，结合勾股定理以及等面积法，可得答案.

【详解】

由题意作图，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

∴，

设点P到x轴的距离为d，则|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故，

故选：D．

25．3

【分析】由椭圆的定义得到，在利用与垂直，得到，化简得到，在利用即可得到答案.

【详解】由题意知，与垂直 ，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以．

故答案为：3.

26．##

【分析】根据三角形面积公式求出，利用椭圆的定义及三角形余弦定理即可求出结果．

【详解】由，的面积为，

可得，

∴．

再根据椭圆的定义可得．

再利用余弦定理可得

，

求得，∴．

故答案为：．

27．（1）；（2）20

【分析】（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为+=1，把点P的坐

标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，

由 =|F1F2|×4 求得△PF1F2的面积．

【详解】（1）  令F1（﹣c，0），F2（c，0），∵PF1⊥PF2，∴，

即 •=﹣1，解得 c=5，∴椭圆方程为  +=1．

∵点P（3，4）在椭圆上，∴+=1，解得 a2=45，或a2=5，

又a＞c，∴a2=5舍去，故所求椭圆方程为  +=1．

（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，

∴ =|F1F2|×4=×10×4=20．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．

28．

【分析】将椭圆的方程转化为标准形式，求出两个焦点的坐标，利用点斜式求出直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立求出交点的坐标，利用三角形的面积底乘高除以2求出三角形的面积．

【详解】椭圆16x2+25y2＝1600化成标准形式为．

∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，

∴F1（﹣6，0），F2（6，0），

设P（x，y）是椭圆上一点，则

消去y，得19x2﹣225x+650＝0，

∴x1＝5或x2．

当x2时，代入②得与③矛盾，舍去．

由x＝5，得y＝4．

∴△PF1F2的面积S24．

【点睛】本题已知椭圆上一点与右焦点连线的斜率，求该点与椭圆两个焦点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．

29．(1) ；（2），a的取值范围为.

【分析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；

（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，

于是，

故椭圆C的离心率为；

（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，

即  ①

   ②

   ③

由②③以及得，又由①知，故；

由②③得，所以，从而，故；

当，时，存在满足条件的点.

故，a的取值范围为.

【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.