专题16 圆锥曲线焦点弦 微点1 圆锥曲线焦点弦三角形周长

专题16  圆锥曲线焦点弦  微点1  圆锥曲线焦点弦三角形周长

专题16  圆锥曲线焦点弦

微点1  有心圆锥曲线焦点弦三角形周长

【微点综述】

椭圆和双曲线统称为有心圆锥曲线．过有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形．在椭圆中，焦点弦三角形为定值．在双曲线中，过焦点的弦长确定后，焦点弦三角形便随之确定，焦点弦三角形的周长便可用弦长来表示．本节我们来研究椭圆和双曲线的焦点弦三角形的周长．

一、椭圆焦点弦三角形周长

1．如图，椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，求△的周长．

规律整理得：

【结论1】（1）为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，则△的周长为．

（2）为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，则△的周长为．

证明：（1）由椭圆的第一定义可知，，两式相加，得

，即△的周长为．

同理可证（2）．

注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．

再看一个例题，加深印象．

2．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．

二、双曲线焦点弦三角形周长

1．双曲线同支焦点弦三角形周长

3．椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．

规律整理得：

【结论2】为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线同支于两点，且，则△的周长为．

证明：由双曲线的第一定义知，①，②，又③，

由①②③，得，即△的周长为．

4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（　　）

A．16 B．18 C．21 D．26

5．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．

(1)求弦长的值；

(2)求的周长．

2．双曲线异支焦点弦三角形周长

【结论3】如图，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支、左支分别交于两点，且，则焦点弦三角形的周长：．

证明：令，则，的半周长，由秦九韶—海伦公式得．

又，由余弦定理推论，得，

，将代入，得，解这个关于的一元二次方程，得．又的半周长，因此异支焦点弦三角形的周长．

6．已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点．

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）求的周长．

【强化训练】

7．椭圆焦点为，，过的最短弦PQ长为10，的周长为36，则此椭圆的离心率为

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ）

A．4 B．5 C．16 D．32

9．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

13．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（    ）

A．若为直角三角形，则的周长是

B．若为直角三角形，则的面积是6

C．若为锐角三角形，则的取值范围是

D．若为钝角三角形，则的取值范围是

14．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

15．已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（    ）

A．的周长为 B．

C．点到轴的距离为 D．

16．已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（    ）

A．点P的横坐标为

B．

C．的内切圆半径为1

D．平分线所在的直线方程为

17．已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（     ）

A．点P的横坐标为 B．的周长为

C．大于 D．的内切圆半径为

18．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是____

19．若分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，的周长是20，则m=_______________．

20．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，

（1）若的周长为16，求；

（2）若，求椭圆的离心率.

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：

(1)AB的长；

(2)的周长．

22．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.

23．已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．

24．已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.

参考答案：

1．8

【分析】确定，利用椭圆的定义可推得的周长为 ，即得答案.

【详解】由知，，

由椭圆定义可得，，

故的周长为

，

所以的周长为8.

2．

【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为

考点：椭圆的定义及几何性质

3．24

【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

从而得到P与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.

【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

由椭圆定义可知：，

故P与双曲线两焦点的距离之和为14，

又，

因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.

故答案为：24

4．D

【分析】如图，根据题意和双曲线的定义直接得出结果.

【详解】如图所示，由双曲线的定义知，

，(1)

，(2)

又，(3)

所以由(1)，(2)，(3)得，

故的周长为.

故选：D.

5．(1)3

(2)

【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；

（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.

【详解】（1）解：因为双曲线的焦点为，所以，

设．

联立，整理得：，

.

（2）解：记的周长为，则．

，又得．

点在右支，故．

同理：点在左支，．

6．（1）；（2）.

【分析】（1）运用联立方程法结合弦长公式求解即可；

（2）根据（1）中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.

【详解】解：（1）由双曲线的方程得，，设

直线的方程为

将其代入双曲线方程消去y得，，得，

；

（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则的周长可表示为：

．

根据双曲线的定义，

由方程解得点A的坐标为（-3，），所以

7．C

【详解】试题分析：设椭圆方程为其焦点坐标为(-c,0)，由已知

P、Q坐标为：M(-c, ),N(-c,-)

所以，2 ·=10，；

△PQ的周长为36

| P|=|Q|==13,c=6

=+36，

所以(a-9)(a+4)=0

因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为，故选C．

考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．

点评：过的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PQ是一直角三角形．

8．C

【分析】根据短轴长得出值，再根据离心率得到值，再利用椭圆定义则得到三角形周长.

【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，

所以，，则，所以，

所以的周长为．

故选：C.

9．A

【分析】根据椭圆的定义及的周长为，可求出，根据，是线段的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点的坐标，代入椭圆的方程即可求出的值.

【详解】由椭圆的定义，得，

的周长，所以，

所以椭圆.

不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，

所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，

由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得

，，化简得，又，

所以，得，所以.

所以，椭圆的方程为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出.

10．A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

考点：椭圆方程及性质

11．A

【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.

【详解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，

∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.

故选：A.

12．A

【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案

【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，

∴，，，

∴，的周长为．

∵当，，三点共线时，最小，最小值为，

∴的周长的最小值为．

故选：A

13．C

【分析】根据双曲线方程，写出a，b，c，不妨设点P在第一象限，，若为直角三角形，分和两种情况讨论，结合双曲线的性质即可得出正确选项.

【详解】解：因为双曲线，所以，

不妨设点P在第一象限，则，

若为直角三角形，

当时，则，

又，即，

所以，

，

所以，

所以的周长是，的面积是；

当时，设，

代入方程解得（负值舍去），所以，

故，所以，

所以的周长是，的面积是6，

综上所述，若为直角三角形，

则的周长是或8，

的面积是3或6，

故A、B错误；

若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；

若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.

故选：C.

14．A

【分析】由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.

【详解】依题意得，则，

由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，

又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.

故选：A.

15．BCD

【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；

B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；

C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；

D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.

【详解】A．因为，

所以，故错误；

B．因为，，

所以，

所以，所以，故正确；

C．设点到轴的距离为，

所以，所以，故正确；

D．因为，故正确；

故选：BCD.

16．BCD

【分析】求得双曲线的，不妨设，，运用三角形的面积公式求得的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点间距离公式求得周长，再利用三角形的面积公式和等面积法即可求出，由二倍角的正切公式可求出平分线所在的直线斜率，得出方程.

【详解】双曲线中的，

不妨设，，

的面积为，，解得，

由，可得，故A错误；

由，且，则，

则，即，故B正确；

，则的周长为，

设的内切圆半径为，

则，即，解得，故C正确；

设平分线所在的直线为，

可得，解得，

则平分线所在的直线的方程为，即，故D正确.

故选：BCD.

17．ABD

【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.

【详解】设的内心为，连接，

双曲线：中的，，，

不妨设，，，

由的面积为20，可得，即，

由，可得，故A符合题意；

由，且，，

则，

则的周长为，故B符合题意；

可得，，

则，

则，故C不符合题意；

设的内切圆半径为，可得，

可得，解得，故D符合题意．

故选：ABD．

【点睛】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.

18．28

【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知①，②，两式相加再结合已知即可求解.

【详解】解：由题意知：，故.

由双曲线的定义知①，②，

①＋②得：，所以，

所以的周长是.

故答案为：28.

【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.

19．

【分析】根据双曲线定义得到，最后加上，即得到关于的方程，解出即可.

【详解】由题意得，

根据双曲线定义得，

上述两式相加得，

即，即，

，

周长，解得.

故答案为：9.

20．（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.

（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.

（2）设，则且.由椭圆定义可得.

在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.

考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.

21．(1)3

(2)

【分析】（1）设，，，，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解；

（2）求出，的坐标，由两点的距离，即可得到△的周长．

【详解】（1）解：双曲线的左焦点为，设，，，，

则直线的方程为，

代入方程得，，

，，

；

（2）解：，不妨设，

由（1）可得，，，，

则的周长为．

22．（1）；（2）.

【分析】（1）本题首先可根据的周长为求出，然后根据离心率为求出，即可求出椭圆的标准方程；

（2）首先可根据椭圆的标准方程得出直线的斜率为，然后根据得出直线的方程为，再然后与椭圆方程联立，得出，，最后求出的面积与周长，通过即可求出内切圆半径与面积.

【详解】（1）因为的周长为，所以结合椭圆的定义可知，，，

因为离心率为，所以，，

故椭圆的标准方程为.

（2）由椭圆的标准方程为易知，，

则直线的斜率为，

因为，所以直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

联立，整理得，

设，，则，，

的面积，周长，

因为，所以内切圆半径，内切圆面积为.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆定义与右焦点坐标可得到椭圆方程；

（2）设直线与椭圆联立，利用弦长公式得到与的表达式，根据两者关系解出值，最后联立两直线解得横坐标为定值，所以定直线为.

【详解】（1）由已知，得， ，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）证明：若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，∴直线的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线斜率不为0.

设，，

，，，．

将直线的方程代入椭圆方程联立得，，

，，

．

同理，．由得化简得，

即，，，

此时，，∴直线，

联立直线方程解得，即点在定直线上．

【点睛】椭圆中弦长公式在圆锥曲线难题中经常用，对于互补的直线可以采取换元，用换代换直接得到另一弦长公式，有时候定直线问题可以采取先猜后证的方法.

24．(1)

(2)

【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案；

（2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案.

【详解】（1）设双曲线C的方程为，

代入点，得，

所以双曲线C的标准方程为.

（2）双曲线C的左焦点为，

设､，

①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，

此时的周长为.

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

由得，

因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，

所以，

得

设的周长为z，

，

设，由，得，

，，

所以，

综上，由①②可得的周长的取值范围.