艺术生高考数学专题讲义60讲

考点五十二  排列组合(理)

知识梳理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

3．两个计数原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

4．排列与排列数

(1) 排列的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2) 排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．

(3) 排列数公式

① 当m＜n时，排列称为选排列，排列数为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)；

② 当m＝n时，排列称为全排列，排列数为A＝n(n－1)(n－2)…3·2·1．

上式右边是自然数1到n的连乘积，把它叫做n的阶乘，并用n！表示，于是A＝n！．进一步规定0！＝1，于是，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ＝ ，即A＝．

5．组合与组合数

(1) 组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)  组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．

(3) 组合数公式

C＝  ＝  ＝ ．

规定：C＝1．

(4) 组合数的两个性质：①C＝C；②C＝C＋C．

6．排列与组合的区别

排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一组”．因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.

典例剖析

题型一  排列与排列数

例1　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体站成一排，男、女各站在一起；

(4)全体站成一排，男生不能站在一起；

(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．

解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520(种)排法．

(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法．

(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．

(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．

(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法．

变式训练  一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为________．

答案　24

解析　两名女生站一起有A种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他们的中间则共有AAC＝24(种)站法.

解题要点  1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．

题型二  组合问题

例2　将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

答案　360

解析  将6名教师分组，分三步完成：

第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；

第二步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；

第三步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．

再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法．

故共有60×6＝360种不同的分法．

变式训练  从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有________

答案　70种

解析  选由题知不同取法有CC＋CC＝70种．

解题要点  解决组合类问题的方法：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

题型三  排列、组合的综合应用

例3　某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为________．

答案  600

解析  分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序种类为CCA；第二类，甲、乙同时参加，则不同的发言顺序种类为CCAA.依加法原理，所求的不同的发言顺序种类为CCA＋CCAA＝600.

变式训练  (2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________

答案  120

解析　解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法.

解题要点  1.排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．

2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．

当堂练习

1．(2014·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________

答案　216种

解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；

第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．

所以共有120＋96＝216(种)方法．

2．(2014·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________

答案　24

解析　剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，

因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.

3. 现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有________

答案  12种

解析  只需让第一所学校选取即可．

先从2名医生中选取1名，不同的选法有C＝2(种)；

再从4名护士中选取2名，不同的选法有C＝6(种)．

由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有2×6＝12(种)．

4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．

答案　14

解析　①有1名女生：CC＝8.

②有2名女生：CC＝6.

∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).

5．(2015广东理) 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．

答案　1 560

解析　依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言．

课后作业

一、    填空题

1．（2015四川理）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________

答案　120个

解析　由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.

2．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________

答案　42种

解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案．

3．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________

答案  21种

解析  左边两个开关的开闭方式有闭合2个、1个即有1＋2＝3(种)，右边三个开关的开闭方式有闭合1个、2个、3个，即有3＋3＋1＝7(种)，故使电路接通的情况有3×7＝21(种).

4．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为________

答案　CA

解析　从后排抽2人的方法种数是C；前排的排列方法种数是A.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.

5．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________

答案　48

解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，

共有AA＝48(种)．

6．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________

答案  12种

解析  法一　先分组后分配，不同的安排方案共有

AA＝12(种).

法二　由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有CC·CC＝12(种)．

7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________

答案　24种

解析　丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”．由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种．有三个“空”供丙、丁选择，即A＝6种．由分步乘法计数原理，共有4×6＝24种着舰方法．

8．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的情形有____种

答案  105

解析  完成这件事，分两步进行，第一步，从7件正品中取3件，有C种不同的方法，第二步，从3件次品中任取1件，有C种不同的方法，由乘法原理可知共有CC＝105种不同的方法．

9．某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．

答案  7

解析  因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．

10． (2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．

答案　60

解析　把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有A种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.

11．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．

答案　24

解析　甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A·A＝24(种)．

二、解答题

12．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员．

解析  (1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C＝120(种)方法．

(2)法一　至少有1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，

由分类加法计数原理可得总选法数为CC＋CC＋

CC＋CC＝246.

法二　“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．

(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种选法．

所以既有队长又有女运动员的选法共有

C＋C－C＝191(种)．

13．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

解析  由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．

第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；

第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；

所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．

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