2022-2023学年河北省唐山市十县一中高二上学期11月期中考试数学PDF版含答案

  唐山市十县一中联盟2022－2023学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

一、单选题

BACD　 CABB

二、多选题

9．ABC   10．BC   11．AC  12．ABD

三、填空题

13．±1   14．2   15．   16．[2，4)

四、解答题

17．解：

（1）BC的中点为(4，－1)，          …2分

 所以BC边上的中线所在直线的方程为＝

 整理可得5x＋2y－18＝0．          …4分

（2）kBC＝－，可得BC边上的高所在直线的斜率为，    …6分

 所以方程为y－4＝(x－2)，
整理可得5x－2y－2＝0．          …8分

（3）kAB＝1，kAC＝－1，所以kAB＋kAC＝0，

 结合图形，可得∠BAC的平分线所在直线的方程为x＝2．    …10分

18．解：

（1）以A为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，4，0)，B1(2，0，3)，

M(a，4，0)，N(0，1，3)．  …2分
所以＝(－a，－3，3)，＝(－2，1，0)．

由MN⊥B1N得·＝0，
即2a－3＝0，解得a＝．   …6分

（2）由（1）得＝(－a，－3，3)，

A1 (0，0，3)，B(2，0，0)，
＝(2，0，－3)．  …8分

设平面A1BD的法向量为n，
则取n＝(6，3，4)． …11分
由MN∥平面A1BD得 n·＝0，即a＝．      …12分

19．解：

（1）取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，

以，为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
即O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(－1，0，0)，
B(0，，0)，M(0，，)．
所以＝(－1，，0)，＝(－2，0，0)，
＝(－1，，)．    …2分
设平面MAC的法向量为n，
则取n＝(0，1，－1)． …4分
所以cos，n＝＝，
故AB与平面MAC所成角的正弦值为．       …6分

（2）由（1）得A1(1，0，2)，C1(－1，0，2)，

则＝(－2，0，0)，＝(－1，，－)．      …8分

设平面MA1C1的法向量为m，则取m＝(0，1，1)．  …10分
所以m·n＝0，即m⊥n．
故平面MA1C1⊥平面MAC．          …12分

20．解：

（1）圆O的圆心为O(0，0)，半径r＝1；       …1分

由圆C：x2＋y2－6x－8y＋m＝0得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，m＜25．

所以圆C的圆心C(3，4)，半径R＝，      …3分
因为两圆相外切，所以|OC|＝R＋r，即＝4，解得m＝9．  …4分

（2）由（1）得圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝16．

①当直线l的斜率不存在时，设l的方程为x＝t，

依题意解得t＝－1，即l的方程为x＝－1．    …5分

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋b，
依题意所以|3k＋b－4|＝4|b|．     …7分

当3k＋b－4＝4b时，3b＝3k－4，代入上式可得(3k－4)2＝9(1＋k2)，
解得k＝，即b＝－，          
所以此时l的方程为y＝x－．         …9分

当3k＋b－4＝－4b时，5b＝4－3k，代入上式可得(4－3k)2＝25(1＋k2)，
解得k＝－，即b＝，
所以此时l的方程为y＝－x＋．         …11分

故满足题设的l的方程为x＋1＝0，或7x－24y－25＝0，或3x＋4y－5＝0．

          …12分

21．解：

连接AC，BD，设AC与BD的交点O，则OP⊥BD，AO⊥BD，所以∠AOP为二面角A-BD-P的平面角，所以∠AOP＝90°，因此AO⊥OP，故PO⊥底面ABD．

以O为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设OA＝1，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，

D(0，－1，0)，P(0，0，1)． …2分

（1）＝(－1，－1，0)，

＝(0，－1，1)，所以cos，＝＝，即，＝60°，
故直线AD与BP所成角为60°．         …4分

（2）因为∠PBD＝45°，所以可设E(0，t，1－t)，0≤t≤1，＝．

＝(－1，t，1－t)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．   …5分
设平面ABP的法向量为m，
则取m＝(1，1，1)．         …7分
设平面ADE的法向量为n，
则取n＝(1－t，t－1，t＋1)．       …9分
所以cosm，n＝＝，解得t＝或3．
因为0≤t≤1，所以t＝，＝．
故当＝，平面ADE与平面PAB夹角的余弦值为．    …12分

22．解：

（1）显然圆C关于x轴对称，P3(1，)，P4(1，－)关于x轴对称，所以P3，P4

在圆C上，因此P1不在圆C上，即P2，P3，P4在圆C上，代入圆的方程可得
 解得所以圆C的方程为x2＋y2＝4．   …4分

（2）直线l：y＋2＝k(x－4)，k≠－1．
（ⅰ）将直线l：y＋2＝k(x－4)代入圆C的方程得

(1＋k2)x2－(8k2＋4k)x＋16k2＋16k＝0，        …6分
Δ＝(8k2＋4k)2－4(1＋k2)(16k2＋16k)＞0，解得－＜k＜0，
又k≠－1，所以－＜k＜－1，或－1＜k＜0．      …8分

（ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

kP2A＝，kP2B＝；y1＋2＝k(x1－4)，y2＋2＝k(x2－4)，
所以kP2A＋kP2B＝2k－(4k＋4)·

＝2k－(4k＋4)·
＝－1．            

    即直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值．       …12分