2021-2022学年安徽省桐城市桐城中学高二下学期月考（十五）数学试题含答案

安徽省桐城市桐城中学2021-2022学年高二下学期月考

（十五）数学试卷

1. 已知命题p：“，”，则为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 若，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 抛物线的焦点坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为

A.  B.  C.  D.

5. 平面内有两个定点和，动点P满足条件，则动点P的轨迹方程是

A.  B.
C.  D.

6. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

7. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

8. 已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

9. 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则是椭圆的右焦点的周长为

A.  B. 24 C.  D. 16

10. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，若为直角三角形，则

A.  B. 3 C.  D. 4

11. 椭圆的左右焦点分别为，，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于A、B两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

12. 双曲线C：焦点分别为，，在双曲线C右支上存在点P，使得的内切圆半径为a，圆心记为M，的重心为G，满足，则双曲线C离心率为

A.  B.  C. 2 D.

13. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是______.
14. 直线与双曲线相交于A，B两点，则______.
15. 已知椭圆的两个焦点是、，点M是椭圆上一点，且，则的面积是______.
16. 已知椭圆，过左焦点F任作一条斜率为k的直线交椭圆于不同的两点M，N，点为点M关于x轴的对称点，若，则面积的取值范围是______.
17. 已知方程表示双曲线．
    求实数m的取值集合A；
    设不等式的解集为B，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18. 如图，四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，是等边三角形，E是棱AB的中点，，
    证明：平面ABCD；
    求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
    
    
     

19. 中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点，，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为，求这两条曲线的方程．
20. 已知抛物线C：过点
    求抛物线C的方程，并求其准线方程；
    过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．
21. 已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
    求抛物线方程；
    若，求k的值；
    过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求的面积最小值．
22. 已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距是
    求椭圆C的方程；
    若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；
    设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.
    

答案

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】C

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】4

16.【答案】

17.【答案】解：由方程表示双曲线，

18.【答案】证明：因为，，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以
在等边中，E是AB中点，，所以
在中，，所以，所以
又因为，，所以平面
解法1：在中，作，垂足为

因为，所以平面PCD，
所以点A，E到平面PCD的距离相等．
因为平面ABCD，所以，
又因为，，所以，
所以平面PDE，平面PCD，
所以平面平面PDE，
所以平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离即为
设直线PA与平面PCD所成角为，则，
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为
解法2：因为平面ABCD，所以三棱锥的体积为
设点A到平面PCD的距离为d，又，所以三棱锥的体积为
由，得，所以
设直线PA与平面PCD所成的角为，则，
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为
解法3：因为平面ABCD，，所以，以E为原点，分别以射线ED，EB，EP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面PCD的一个法向量为取，得
设直线PA与平面PCD所成角为，
则
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为

19.【答案】解：设椭圆的方程为，双曲线的方程为，半焦距，
由已知得：，，
解得：，，
所以，，
所以两条曲线的方程分别为：，

20.【答案】解：将代入，得，
故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为
由焦点，
直线AB方程为
由，
消去y得，
，
设，，
则，，
易求得

21.【答案】解：抛物线E的顶点在原点，焦点为，
如图，若，不妨设，则
设抛物线的准线为l，
过点P作垂足为H，过点Q作，垂足为
，
在中，，，
得，
，
同理时，，
根据题意得AB，CD斜率存在且不为
设，，，，
由，
，
同理可得，
，
，
，
当且仅当时，面积取到最小值

22.【答案】解：因为，，
所以，，
又，解得，，
所以椭圆C的方程为；
解：设，，
联立方程组，可得，
则由韦达定理可得，，
则，
又以线段DE为直径的圆经过原点，所以，
即，解得；
证明：由题意，，设，
则直线BH的方程为，
直线AH的方程为，
由中点坐标公式可得，，
所以直线PQ的方程为，
联立直线PQ和直线AH的方程可得，
所以，
故，
所以线段MN的长为定值．