2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆

2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆

一．选择题（共9小题）

1．（2020秋•饶平县校级期末）若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）

A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形

2．（2020秋•陕州区期末）如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（　　）

A．2 B．1 C． D．

3．（2020秋•龙口市期末）如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（　　）

A．30° B．32° C．36° D．40°

4．（2020秋•呼和浩特期末）半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（　　）

A．2 B．1 C． D．

5．（2021•饶平县校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．30° D．50°

6．（2020秋•斗门区期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

7．（2021•双流区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）

A．72° B．54° C．36° D．64°

8．（2020秋•承德县期末）如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）

A．2：3 B．：1 C．： D．1：

9．（2021•城关区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（　　）

A． B． C．2 D．

二．填空题（共6小题）

10．（2020秋•奎文区期末）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列四个结论中正确的是　    　．

A.的度数为45°；

B．AE＝DF；

C．△ODE为等边三角形；

D．S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．

11．（2021•雁塔区校级模拟）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为　   　．

12．（2020秋•南充期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是　             　．

13．（2020秋•江阴市期末）一个半径为4cm的圆内接正六边形的周长等于　   　cm．

14．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是　    　．

15．（2021•南通一模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则这个正多边形的边数为 　   　．

2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2020秋•饶平县校级期末）若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）

A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形

【考点】多边形内角与外角；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；运算能力．

【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数．

【解答】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，

∴其一个外角度数为180°﹣108°＝72°，

则这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，

故选：A．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．

2．（2020秋•陕州区期末）如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（　　）

A．2 B．1 C． D．

【考点】垂径定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；运算能力．

【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，于是得到结论．

【解答】解：过O作OH⊥AB于H，

在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，

∵OA＝OB，

∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，

∴OH＝AH＝，

故选：C．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

3．（2020秋•龙口市期末）如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（　　）

A．30° B．32° C．36° D．40°

【考点】多边形内角与外角；正多边形和圆．

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．

【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可．

【解答】解：如图：连接AO、EO，

在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，

∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，

故选：C．

【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的做出辅助线构造正五边形的中心角，难度不大．

4．（2020秋•呼和浩特期末）半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（　　）

A．2 B．1 C． D．

【考点】正多边形和圆．

【专题】与圆有关的计算；推理能力．

【分析】正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．

【解答】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，

而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，

∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，

故选：C．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．

5．（2021•饶平县校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）

A．22.5° B．45° C．30° D．50°

【考点】正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；推理能力．

【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC＝90°，再根据圆周角定理，得∠BPC＝45°．

【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，

根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．

故选：B．

【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．

6．（2020秋•斗门区期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

【考点】正多边形和圆．

【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力．

【分析】先画出图形，再连接OA、OB，求出∠AOB的度数，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OA＝AB＝4，即可得出选项．

【解答】解：连接OA、OB，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠AOB＝＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝4，

∴OA＝OB＝AB＝4，

即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，

故选：B．

【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．

7．（2021•双流区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）

A．72° B．54° C．36° D．64°

【考点】多边形内角与外角；垂径定理；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；推理能力．

【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．

【解答】解：连接OC，OD．

在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，

∴∠CPD＝∠COD＝36°，

∵DG⊥PC，

∴∠PGD＝90°，

∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，

故选：B．

【点评】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8．（2020秋•承德县期末）如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）

A．2：3 B．：1 C．： D．1：

【考点】正方形的性质；正多边形和圆．

【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．

【分析】求出⊙O的内接正方形和内接正六边形的边长之比，即可得出结论．

【解答】解：连接OA、OB．OE，如图所示：

设此圆的半径为R，

则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，

∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，

∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，

故选：A．

【点评】本题考查了正多边形和圆，求出内接正方形与内接正六边形的边长关系是解决问题的关键．

9．（2021•城关区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（　　）

A． B． C．2 D．

【考点】正多边形和圆．

【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．

【分析】连接OB、OC．先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM即可．

【解答】解：如图，连接OB、OC．

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC＝OB＝OC＝4，

∵OM⊥BC，

∴BM＝CM＝2，

在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，

故选：A．

【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．

二．填空题（共6小题）

10．（2020秋•奎文区期末）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列四个结论中正确的是　B，D　．

A.的度数为45°；

B．AE＝DF；

C．△ODE为等边三角形；

D．S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．

【考点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；推理能力．

【分析】连接OD，OF，求出正八边形的中心角∠DOE＝45°，得到∠DOF＝90°，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到A错误；由勾股定理求得OD＝，可得B正确；由∠DOE＝45°，可得C错误；由于S四边形ODEF＝DF•OE，可得S正八边形ABCDEFGH＝2DF•OE，于是得到D正确．

【解答】解：连接OF，

∵∠DOE＝∠EOF＝＝45°，

∴∠DOF＝90°，

∴弧DF的度数为90°，

∴A错误；

∵∠DOF＝90°，OD＝OF，

∴2OD2＝DF2，

∴OD＝DF，

∵AE＝2OD，

∴AE＝DF，

∴B正确；

∵∠DOE＝45°，

∴C错误；

∵S四边形ODEF＝DF•OE，

∴S正八边形ABCDEFGH＝4S四边形ODEF＝2DF•OE，

∵OE＝AE，

∴S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF，

∴D正确；

故答案为：B，D．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．

11．（2021•雁塔区校级模拟）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为　12　．

【考点】正多边形和圆．

【专题】推理填空题；正多边形与圆；运算能力；推理能力．

【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．

【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长a＝2，

正六边形的周长l＝6a＝12，

故答案为：12．

【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．

12．（2020秋•南充期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是　1：　．

【考点】正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；推理能力．

【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可．

【解答】解：∵圆的半径为R，

∴内接正方形的边长为R，外切正方形的边长为2R，

∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：，

故答案为：1：．

【点评】本题考查的是正多边形和圆的关系，掌握正多边形的性质、正多边形的中心角的计算方法是解题的关键．

13．（2020秋•江阴市期末）一个半径为4cm的圆内接正六边形的周长等于　24　cm．

【考点】正多边形和圆．

【专题】与圆有关的计算；运算能力．

【分析】根据正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长．

【解答】解：∵圆的半径为4cm，

∴圆内接正六边形的半径为4cm，

则边长是4cm，则周长是：4×6＝24（cm）．

故答案是：24．

【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是　72°　．

【考点】多边形内角与外角；圆周角定理；正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；推理能力．

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．

【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，

∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，

故答案为：72°．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．

15．（2021•南通一模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则这个正多边形的边数为 　15　．

【考点】正多边形和圆．

【专题】正多边形与圆；推理能力．

【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．

【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，

∵∠ADB＝12°，

∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，

而360°÷24°＝15，

∴这个正多边形为正十五边形，

故答案为：15．

【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．

考点卡片

1．等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

2．等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

3．多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）

此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．

（2）多边形的外角和等于360°．

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．

4．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

5．垂径定理

（1）垂径定理

     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

6．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

7．正多边形和圆

（1）正多边形与圆的关系

     把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．

（2）正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距