【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题13　空间几何体的三视图、表面积和体积

这是一份【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题13　空间几何体的三视图、表面积和体积，共20页。学案主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。
高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式考查.在解答题中，常与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.
1.(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A.8 B.12
C.16 D.20
答案 B
解析 三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.故选B.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(eq \r(7)≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
答案 C
解析 如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，
所以该棱台的体积
V＝eq \f(1,3)×9×(140＋eq \r(140×180)＋180)×106＝60×(16＋3eq \r(7))×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
3.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )
A.eq \f(3＋\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1＋\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图所示(其中正方体的棱长为1)，
故S表＝3×eq \f(1,2)×1×1＋eq \f(\r(3),4)×(eq \r(12＋12))2＝eq \f(3＋\r(3),2).
4.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
答案 A
解析 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝eq \r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以三棱锥O－ABC的体积
V＝eq \f(1,3)S△ABC·OO1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),12).
热点一 空间几何体的三视图与直观图
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.
3.S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图.
例1 (1)(2022·贵阳一模)如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是( )
答案 C
解析 根据几何体的三视图还原成直观图可知该几何体为棱柱.
若该几何体的俯视图为选项A，B，D中对应的图形，则正视图和侧视图均符合；
若该几何体的俯视图为选项C中对应的图形，则正视图中间的竖线应该为实线，所以选项A，B，D正确，故选C.
(2)如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于________.
答案 2＋eq \r(2)
解析 由题意，根据斜二测画法的规则，可得该平面图形是上底长为1，下底长为1＋eq \r(2)，高为2的直角梯形OABC(如图)，所以计算得面积为S＝eq \f(1,2)×(1＋1＋eq \r(2))×2＝2＋eq \r(2).
规律方法 由三视图还原直观图的方法
(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.
(2)注意图中实、虚线，实际分别是原几何体中的可视线与被遮挡线.
(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体.
(4)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体.
训练1 (1)(2022·遵义二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则点P在侧视图中对应的点为( )
A.点D B.点C
C.点B D.点A
(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 (1)C (2)C
解析 (1)根据三视图作出该几何体的直观图.由图可知，点P在侧视图中对应的点应为点B，故选C.
(2)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，分别是△PAD，△PCD，△PAB.
热点二 空间几何体的表面积与体积
1.旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(3)S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长).
(4)S球＝4πR2(R为球的半径).
2.空间几何体的体积公式
(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高).
(2)V锥＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高).
(3)V台体＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高).
(4)V球＝eq \f(4,3)πR3(R为球的半径).
考向1 空间几何体的表面积
例2 (1)(2022·郑州调研)古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥.已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为5.若圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥S′O′的侧面积为( )
A.15π B.60π
C.96π D.120π
答案 B
解析 由题意得，圆锥SO的底面直径为6，高为eq \r(52－32)＝4，所以高与底面直径之比为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)；
因为圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，所以圆锥S′O′的底面直径为eq \f(8,\f(2,3))＝12，则底面半径为6，
所以圆锥S′O′的母线长为eq \r(82＋62)＝10，
所以圆锥S′O′的侧面积为
eq \f(1,2)×2π×6×10＝60π.
(2)已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为________.
答案 20＋eq \r(6)
解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S＝3×2×2＋2×eq \f(（1＋2）×2,2)＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝20＋eq \r(6).
规律方法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(3)若题目给出三视图，则需确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，以便还原成几何体的直观图.
考向2 空间几何体的体积
例3 (1)(2022·昆明一诊)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于( )
A.6π B.8π
C.12π D.14π
答案 A
解析 由三视图可知该零件是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为2，高为3的圆锥组成的几何体，
圆柱的体积为π×12×2＝2π，
圆锥的体积为eq \f(1,3)π×22×3＝4π，
故该零件的体积为2π＋4π＝6π，故选A.
(2)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
答案 1
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
S△A1MN＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝eq \f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
规律方法 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
训练2 (1)(2022·西安模拟)3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10eq \r(2) cm，母线与底面所成角的正切值为eq \r(2).打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取π＝3.14，精确到0.1)( )
A.609.4 g B.447.3 g
C.398.3 g D.357.3 g
答案 C
解析 由题意，作出几何体的轴截面图如图所示，则OB＝eq \f(1,2)×10eq \r(2)＝5eq \r(2) cm.
又tan B＝eq \f(OP,OB)＝eq \r(2)，
所以OP＝eq \r(2)OB＝10 cm.
设正方体的棱长为a，
则DE＝eq \r(2)a，
所以eq \f(\f(\r(2),2)a,5\r(2))＝eq \f(10－a,10)，
解得a＝5，
所以该模型的体积为eq \f(1,3)×π×(5eq \r(2))2×10－53＝eq \f(500π,3)－125(cm3)，所以制作该模型所需原材料的质量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(500π,3)－125))×1＝eq \f(500π,3)－125≈398.3(g)，故选C.
(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的体积是________cm3.
答案 eq \f(64,3)
解析 由三视图还原空间几何体的直观图如图中四棱锥P－ABCD所示.由题知，可将四棱锥P－ABCD置于棱长为4 cm的正方体中，所以四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝eq \f(1,3)×42×4＝eq \f(64,3)(cm3).
一、基本技能练
1.已知直角梯形OABC上、下两底分别为2和4，高为2eq \r(2)，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为( )
A.6eq \r(2) B.3eq \r(2)
C.3 D.6
答案 C
解析 如图所示，实线表示直观图，OC′＝eq \f(1,2)OC＝eq \r(2).
∠AOC′＝eq \f(π,4)，OA＝4，B′C′＝2，
∴直观图的面积为eq \f(2＋4,2)×eq \r(2)×sin eq \f(π,4)＝3.
2.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2.若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )
答案 C
解析 由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长、宽为正方体的棱长，故排除B，D；在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A，选C.
3.已知圆锥的底面半径为eq \r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.4 D.4eq \r(2)
答案 B
解析 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq \r(2)，侧面展开图为一个半圆，所以2π×eq \r(2)＝πl，解得l＝2eq \r(2).故选B.
4.(2022·东北三省四市模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(16,3)
C.16 D.24
答案 C
解析 由三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面积为4，高为4，所以体积为16，故选C.
5.已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A.120° B.150°
C.180° D.240°
答案 C
解析 圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和，
根据题意得侧面积是底面积的2倍，
又因为圆锥的侧面展开图是扇形，其圆心角α>0，半径为R，且其弧长等于圆锥底面周长，所以αR＝2πr，R＝eq \f(2πr,α)，
根据扇形面积公式有eq \f(1,2)αR2＝2πr2，
代入R，得α＝π，
即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为180°.
6.(2022·邢台模拟)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(每个面都是正三角形的八面体)，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )
A.eq \f(4\r(2),3)a3 B.eq \f(8\r(2),3)a3
C.4eq \r(2)a3 D.8eq \r(2)a3
答案 B
解析 如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE.
因为AE＝CE，
BE＝DE，
所以OE⊥AC，OE⊥BD，
又AC∩BD＝O，
所以OE⊥平面ABCD.
因为AB＝BC＝AE＝2a，
所以AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝2eq \r(2)a.
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2)a，
则OE＝eq \r(AE2－AO2)＝eq \r(2)a，故该正八面体的体积为eq \f(1,3)×(2a)2×eq \r(2)a×2＝eq \f(8\r(2),3)a3.
7.陀螺是我国古代孩童的娱乐工具之一，它的下面部分形状可视为一个圆锥，以该圆锥的高为半径的圆的面积等于该圆锥的侧面积，则该圆锥的高与底面圆的半径之比为( )
A.eq \r(\f(\r(5)＋1,2)) B.eq \r(\f(\r(5)－1,2))
C.eq \f(\r(5)＋1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2)
答案 A
解析 设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则有πh2＝πreq \r(h2＋r2)，两边平方，得h4＝r2h2＋r4，
两边同时除以r4，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,r)))eq \s\up12(4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,r)))eq \s\up12(2)－1＝0，解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,r)))eq \s\up12(2)＝eq \f(\r(5)＋1,2)，
所以eq \f(h,r)＝eq \r(\f(\r(5)＋1,2))，故选A.
8.在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A.(5＋eq \r(2))π B.(4＋eq \r(2))π
C.(5＋2eq \r(2))π D.(3＋eq \r(2))π
答案 A
解析 如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，
∴该几何体的表面积
S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.
9.(2022·长沙长郡中学调研)公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”，即V＝kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V＝kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)，正方体也可利用公式V＝kD3求体积(在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a)，等边圆柱(底面圆的直径为a)，正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k1、k2、k3，那么k1∶k2∶k3＝( )
A.eq \f(π,3)∶eq \f(π,2)∶2 B.eq \f(π,6)∶eq \f(π,4)∶2
C.eq \f(π,3)∶eq \f(π,2)∶1 D.eq \f(π,6)∶eq \f(π,4)∶1
答案 D
解析 由题意得球的体积V1＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(π,6)a3⇒k1＝eq \f(π,6)；
等边圆柱的体积V2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)a＝eq \f(π,4)a3⇒k2＝eq \f(π,4)；
正方体的体积V3＝a3⇒k3＝1，
所以k1∶k2∶k3＝eq \f(π,6)∶eq \f(π,4)∶1.故选D.
10.如图是我国西周时期祭祀的一种礼器，名为“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想.该玉琮的三视图及尺寸数据(单位：cm)如图所示.现要制作一个长方体纸盒盛放该玉琮，则该纸盒的最小体积为( )
A.384 cm3 B.256－22π cm3
C.192 cm3 D.256 cm3
答案 A
解析 由题可知要能够在长方体纸盒中盛放该几何体，长方体的纸盒必须能够容纳整个几何体，
所以长方体的底边长和宽的最小值分别为8 cm，6 cm，高最小值为8 cm，
所以该纸盒的最小体积为8×6×8＝384(cm3)，故选A.
11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)为________.
答案 32 cm2
解析 该几何体的直观图如图所示，表面积为
eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×5×4＋eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×4×5＝6＋10＋6＋10＝32(cm2).
12.现欲制作一圆锥形容器，使其容积与一个半径为1的半球形容器的容积相等，当使用材料最节省时，则圆锥的高为________，底面半径为________.
答案 eq \r(3,4) eq \r(6,2)
解析 由题意知V半球＝eq \f(2π,3).
设圆锥的底面半径为r，高为h，
则eq \f(2π,3)＝eq \f(1,3)·πr2·h，
可得r2＝eq \f(2,h).
圆锥的侧面积
S＝eq \f(1,2)·2πr·eq \r(r2＋h2)＝πr·eq \r(r2＋h2)＝πeq \r(r2（r2＋h2）)＝πeq \r(\f(2,h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,h)＋h2)))，
即S＝πeq \r(\f(4,h2)＋2h).
令y＝eq \f(4,h2)＋2h(h>0)，
则y′＝－eq \f(8,h3)＋2.
当y′＝0，即h＝eq \r(3,4)时，圆锥的侧面积最小，此时底面半径为r＝eq \r(6,2).
二、创新拓展练
13.(2022·南充二诊)如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图，已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是( )
A.棱长都为2的四面体
B.棱长都为2的直三棱柱
C.底面直径和高都为2的圆锥
D.底面直径和高都为2的圆柱
答案 D
解析 根据几何体的三视图可得该几何体为半径为1的球，
对于A选项，如图1，棱长为2的正四面体其内切球的半径为R，在三棱锥P－ABC中，所有棱长为2，△ABC的重心为O1，可得AO1＝eq \f(\r(3),2)×2×eq \f(2,3)＝eq \f(2\r(3),3)，
PO1＝eq \r(PA2－AOeq \\al(2,1))＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝2eq \r(\f(2,3))，
可得V三棱锥P－ABC＝eq \f(1,3)RS表，
∴eq \f(1,3)×2eq \r(\f(2,3))×S△ABC＝eq \f(1,3)×R×4S△ABC，
∴R＝eq \f(\r(6),6)