【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题21　圆锥曲线的基本问题

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1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
答案 C
解析 由椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，
则|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq \s\up12(2)＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选C.
2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.3 D.3eq \r(2)
答案 B
解析 法一 由题意可知F(1，0)，
抛物线的准线方程为x＝－1.
设A(eq \f(yeq \\al(2,0),4)，y0)，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq \f(yeq \\al(2,0),4)＋1，又|BF|＝3－1＝2，
故由|AF|＝|BF|，可得eq \f(yeq \\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).
不妨取A(1，2)，
故|AB|＝eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2eq \r(2)，
故选B.
法二 由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
又抛物线通径长为4，
所以|AF|＝2为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝eq \r(（－2）2＋22)＝2eq \r(2)，故选B.
3.(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,18)＋y2＝1
答案 B
解析 依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
所以eq \(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，
eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，故选B.
4.(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4)(*).
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
5.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
答案 －3
解析 法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－eq \f(x2,－m)＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，
解得m＝－3.
法二 依题意得m<0，令y2－eq \f(x2,－m)＝0，得y＝±eq \f(1,\r(－m))x，则±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，
解得m＝－3.
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，
PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
例1 (1)(2022·桂林模拟)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,2)＝1的左，右焦点为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论错误的是( )
A.△PF1F2是直角三角形B.点I的横坐标为1
C.|PI|＝2eq \r(3)－2D.△PF1F2的内切圆的面积为π
(2)(2022·新乡二模)已知圆C1：(x＋eq \r(2))2＋y2＝1与圆C2：(x－eq \r(2))2＋y2＝9相交于A，B两点，若圆C1，C2的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为________.
答案 (1)D (2)eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 (1)由已知可得|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝2eq \r(3)，
设|PF2|＝x，|PF1|＝x＋2，
则cs∠PF1F2＝eq \f(（x＋2）2＋12－x2,2×2\r(3)×（x＋2）)＝eq \f(\r(3),2)，
得x＝2，
所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，
即|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
所以PF2⊥F1F2，所以A正确；
设内接圆半径为r，
则eq \f(1,2)·(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝eq \f(1,2)·|PF2|·|F1F2|，
得r＝eq \r(3)－1，
所以I的坐标为(1，eq \r(3)－1)，
面积为S＝π·(eq \r(3)－1)2＝(4－2eq \r(3))π，所以B正确，D错误；
由题意P(eq \r(3)，2)，
|PI|＝eq \r(（\r(3)－1）2＋（3－\r(3)）2)＝2(eq \r(3)－1)，所以C正确；故选D.
(2)设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意可得：|AC1|＋|AC2|＝1＋3＝4，
2c＝|C1C2|＝2eq \r(2)，
又A在椭圆E上，可知2a＝4，而c＝eq \r(2)，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(2)，
故椭圆E的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
规律方法 应用椭圆或双曲线的焦点三角形时注意：
(1)定义；(2)余弦定理(勾股定理)；(3)涉及最值与范围时要应用基本不等式.
训练1 (1)(2022·合肥一模)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，且与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,14)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1
答案 D
解析 由题意c＝2，双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的左焦点为F1(－2，0)，右焦点为F2(2，0)，
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，
则2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＝2eq \r(10)，
所以a＝eq \r(10)，b2＝10－4＝6，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1.
(2)(2022·肇庆二模)已知点P是抛物线x2＝8y上的一个动点，则点P到点A(2，0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为________.
答案 2eq \r(2)
解析 设点P在抛物线的准线上的投影为点P′，抛物线的焦点为点F，
则F(0，2)，
由抛物线的定义，知点P到抛物线的准线的距离|PP′|＝|PF|，
则点P到A(2，0)的距离与到该抛物线的准线的距离之和
|PA|＋|PP′|＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝eq \r(22＋（－2）2)＝2eq \r(2).
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率的两种方法
(1)椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(01).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
考向1 椭圆、双曲线的几何性质(不含离心率)
例2 (1)(2022·北京门头沟一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于M，若∠F1MF2＝eq \f(π,4)，则C的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(3)x B.y＝±eq \r(2)x
C.y＝±2x D.y＝±eq \r(5)x
答案 B
解析 如图所示，设MF1与圆相切于点N，过F2作F2P⊥F1M，
故|PF2|＝2|ON|＝2a，
|PF1|＝eq \r(|F1F2|2－|PF2|2)＝eq \r(4c2－4a2)＝2b，
又∠F1MF2＝eq \f(π,4)，
则|MP|＝|PF2|＝2a，
则|MF1|＝|PF1|＋|MP|＝2a＋2b，
|MF2|＝eq \r(2)|PF2|＝2eq \r(2)a，
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2a＋2b－2eq \r(2)a＝2a，
即b＝eq \r(2)a，
故渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选B.
(2)(2022·南宁质检)椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,b2)＝1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足∠BAD＝∠BCD＝90°，且S△ABC＝2S△ADC，则该椭圆的短轴长为________.
答案 6
解析 根据题意可得A(0，b)，C(0，－b)，
设B(x1，y1)，D(x2，y2).
连接BD，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得点A，B，C，D均在以BD为直径的圆E(E为BD中点)上，
又原点O为圆E上的弦AC的中点，
所以圆心E在AC的垂直平分线上，即圆心E在x轴上，
所以y1＋y2＝0.
又S△ABC＝2S△ADC，
所以x1＝－2x2，
故圆心E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,4)，0))，
所以圆E的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,16)xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
将(0，b)代入圆E的方程，结合eq \f(xeq \\al(2,1),18)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1可得b2＝9，
所以b＝3，短轴长为6.
考向2 离心率问题
例3 (1)(2022·许昌调研)F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为________.
(2)(2022·泰安一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值是________.
答案 (1)eq \f(1,2) (2)1＋eq \f(\r(3),2)
解析 (1)由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方.
设点P纵坐标为yP，点I纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
则S△PF1F2＝eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝3S△IF1F2＝3×eq \f(1,2)yI·|F1F2|，
得yP＝3yI，
又S△PF1F2＝S△IF1F2＋S△IF1P＋S△IPF2，
即eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝eq \f(1,2)r·|F1F2|＋eq \f(1,2)r·|PF1|＋eq \f(1,2)r·|PF2|，
又yI＝r，
化简得yP·|F1F2|＝yI·(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)，即3×2c＝2c＋2a，
解得a＝2c，可得离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
(2)由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，
则PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，
又∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cs 60°，
整理得4c2＝aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)，
即eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，则eq \f(1,4eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,4eeq \\al(2,2))＝1，
所以eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4eeq \\al(2,1))＋\f(3,4eeq \\al(2,2))))(eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2))＝1＋eq \f(eeq \\al(2,2),4eeq \\al(2,1))＋eq \f(3eeq \\al(2,1),4eeq \\al(2,2))≥1＋2eq \r(\f(3,16))＝1＋eq \f(\r(3),2)，
当且仅当eeq \\al(2,2)＝eq \r(3)eeq \\al(2,1)时等号成立.
规律方法 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq \f(c,a)的值或范围.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
训练2 (1)(2022·杭州名校联考)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为________.
(2)(2022·河南顶尖名校联考)已知直线l1，l2是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则点P到渐近线l2的距离的取值范围是________.
答案 (1)eq \f(\r(14),4) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(8,5)))
解析 (1)如图所示，不妨设另外两个切点分别为M，N，
则由题意可知|F1Q|＝|F1M|＝|F2N|＝|PN|＋|PF2|＝|PQ|＋|PF2|＝4，
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
即|PQ|＋|QF1|＋|PF2|＝2a＝8，
解得a＝4，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(16－2)＝eq \r(14)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(14),4).
(2)设点P(x0，y0)，由题可设双曲线的渐近线l1：x－2y＝0，渐近线l2：x＋2y＝0.
点P到直线l1的距离d1＝eq \f(|x0－2y0|,\r(5))，
点P到直线l2的距离d2＝eq \f(|x0＋2y0|,\r(5))，
所以d1d2＝eq \f(|x0－2y0|,\r(5))·eq \f(|x0＋2y0|,\r(5))＝eq \f(|xeq \\al(2,0)－4yeq \\al(2,0)|,5).
又eq \f(xeq \\al(2,0),4)－yeq \\al(2,0)＝1，所以xeq \\al(2,0)－4yeq \\al(2,0)＝4，
所以d1d2＝eq \f(4,5)，且d1≠0，
所以d2＝eq \f(4,5d1)，
因为d1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所以d2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(8,5))).
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α).
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－eq \f(p,2)相切.
例4 (1)(2022·烟台一模)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq \r(2)，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－eq \f(1,2) B.x＝－1
C.x＝－2 D.x＝－4
(2)斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 (1)B (2)eq \f(16,3)
解析 (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
由y2＝16p，可得y＝±4eq \r(p)，
不妨令P(8，4eq \r(p))，
则S△OFP＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×4eq \r(p)＝peq \r(p)＝2eq \r(2)，
解得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)因为抛物线C的方程为y2＝4x，
所以抛物线C的焦点为F(1，0)，
又直线AB过焦点F且斜率为eq \r(3)，所以直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1).
将其代入抛物线方程，消去y并化简得
3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3)，x1x2＝1.
法一 又直线AB的斜率k＝eq \r(3)，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋3)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))\s\up12(2)－4×1)＝eq \f(16,3).
法二 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).
法三 由直线l的斜率k＝eq \r(3)，知其倾斜角θ＝60°，
则弦长|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2\f(π,3))＝eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(16,3).
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
训练3 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝16x B.y2＝8x
C.y2＝4x D.y2＝2x
(2)(2022·银川质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则eq \f(|BF|,|AF|)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 (1)C (2)B
解析 (1)因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，
又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
(2)由题意可知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，
准线为直线x＝－1，
过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则有|BF|＝|BN|，|AF|＝|AM|，
因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BN|，
所以eq \f(|BC|,|CF|)＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(|BN|,p)＝eq \f(2,3)，又p＝2，
所以|BN|＝|BF|＝eq \f(4,3)，|BC|＝eq \f(8,3)，
所以|CF|＝4，
因为eq \f(p,|AM|)＝eq \f(|CF|,|CA|)，
所以eq \f(2,|AM|)＝eq \f(|CF|,|CF|＋|AF|)＝eq \f(4,4＋|AF|)＝eq \f(4,4＋|AM|)，解得|AM|＝4，
所以|AF|＝4，
所以eq \f(|BF|,|AF|)＝eq \f(\f(4,3),4)＝eq \f(1,3)，故选B.
一、基本技能练
1.(2022·绵阳二诊)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为( )
A.x2－y2＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
答案 B
解析 双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由两条渐近线互相垂直，
则－eq \f(b,a)×eq \f(b,a)＝－1，故a＝b，
则a2＋b2＝2a2＝4，得a＝eq \r(2)，
故双曲线E的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
2.(2022·北京房山一模)已知M为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p＝( )
A.eq \f(1,2) B.1
C.2 D.4
答案 C
解析 由题意可知点M的纵坐标为3，抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，由抛物线的定义可得3＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝2.
3.(2022·九江模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,12)＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为eq \r(3)x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝( )
A.9 B.1
C.1或9 D.1或7
答案 A
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),a)x，
则eq \f(2\r(3),a)＝eq \r(3)，
所以a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，
由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝4，
则|MF2|＝1或9，
又因为|MF2|≥c－a＝2，
故|MF2|＝9，故选A.
4.(2022·沧州质检)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，离心率e＝eq \f(\r(7),2)，点P为双曲线C右支上的一点，且eq \(PF2,\s\up6(→))·eq \(F1F2,\s\up6(→))＝0，|PF2|＝eq \f(9,2)，则双曲线C的虚轴长为( )
A.6 B.12
C.3eq \r(3) D.6eq \r(3)
答案 D
解析 法一 由已知条件得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(7),2)，,|PF2|＝\f(b2,a)＝\f(9,2)，,c2＝a2＋b2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝3\r(3)，,c＝3\r(7)，))
所以双曲线C的虚轴长为6eq \r(3).故选D.
法二 由双曲线的定义知，|PF1|＝2a＋eq \f(9,2)，
又因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
所以F1F2⊥PF2.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(7),2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(9,2)))\s\up12(2)＝4c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))\s\up12(2)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6，,c＝3\r(7)，))结合c2＝a2＋b2，
得b＝3eq \r(3)，
所以双曲线C的虚轴长为6eq \r(3).故选D.
5.(2022·吉林部分名校检测)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C的准线上的动点，则|PO|＋|PA|的最小值为( )
A.4 B.4eq \r(3)
C.4eq \r(6) D.6eq \r(3)
答案 C
解析 由题意知，抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为|AF|＝6，所以点A到准线的距离为6，所以点A的横坐标为4，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为(4，4eq \r(2)).设坐标原点O关于准线的对称点为B，连接PB，AB，则|PO|＝|PB|，
易知B的坐标为(－4，0)，
所以|PO|＋|PA|的最小值为|AB|＝eq \r(（4＋4）2＋（4\r(2)）2)＝4eq \r(6)，故选C.
6.(2022·宁波联考)如图，椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边F2C的中点恰好在椭圆Γ上，则椭圆Γ的离心率是( )
A.eq \f(2\r(3)－1,3) B.eq \f(\r(13)－1,3)
C.eq \f(\r(14)－1,3) D.eq \f(\r(15)－1,3)
答案 B
解析 设CF2的中点为P，正六边形的边长为2，
则∠F1F2P＝60°，|F2P|＝1，|F1F2|＝2c＝4.
如图，连接F1P，在△F1F2P中，
由余弦定理得|F1P|＝eq \r(42＋12－2×4×1×cs 60°)＝eq \r(13)，
2a＝|F1P|＋|F2P|＝eq \r(13)＋1，
椭圆Γ的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,\r(13)＋1)＝eq \f(\r(13)－1,3).
故选B.
7.(2022·湘潭模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝eq \f(5,2)，若点M的坐标为(0，1)，且MF⊥MT，则C的方程为( )
A.y2＝2x或y2＝8xB.y2＝x或y2＝8x
C.y2＝2x或y2＝4xD.y2＝x或y2＝4x
答案 A
解析 设T(x0，y0)，则eq \(MT,\s\up6(→))＝(x0，y0－1)，
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以eq \(MF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－1)).
因为MF⊥MT，所以eq \(MF,\s\up6(→))·eq \(MT,\s\up6(→))＝0，
可得eq \f(p,2)x0－y0＋1＝0，又yeq \\al(2,0)＝2px0，
所以yeq \\al(2,0)－4y0＋4＝0，
所以y0＝2，x0＝eq \f(2,p)，故Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,p)，2))，
又|FT|＝x0＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2)，
所以eq \f(2,p)＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2)，即p2－5p＋4＝0，
解得p＝1或p＝4，
所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.故选A.
8.(2022·开封二模)已知(2，1)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积( )
A.有最小值4 B.有最小值8
C.有最大值8 D.有最大值16
答案 B
解析 因为(2，1)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，即a2b2＝4b2＋a2，
所以a2b2＝4b2＋a2≥2eq \r(4b2×a2)＝4ab，
当且仅当a＝2b时取等号，
所以ab≥4.
又四边形面积为2ab，故有最小值8.
9.(2022·鹤壁模拟)已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1(x≠0)B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1(y≠0)D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)
答案 D
解析 设坐标原点为O，抛物线的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P为垂足，则l为圆的切线，P为切点，
且|AA′|＋|BB′|＝2|OP|＝4.
∵抛物线过点A，B，
∴|FA|＝|AA′|，|FB|＝|BB′|，
∴|FA|＋|FB|＝|AA′|＋|BB′|
＝4>|AB|＝2，
∴点F的轨迹是以A，B为左、右焦点，4为长轴长的椭圆.
又A，B在抛物线上，
∴焦点F不在x轴上，故抛物线的焦点的轨迹方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0).
故选D.
10.(2022·湖北部分重点中学联考)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k＝( )
A.±eq \f(2\r(5),5) B.±eq \f(\r(5),5)
C.±eq \f(2\r(2),5) D.±eq \f(\r(2),5)
答案 A
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2x0，,y1＋y2＝2y0，))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,1)＝4x1，,yeq \\al(2,2)＝4x2，))
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
则k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(2,y0)，
设圆心C(5，0)，
则kCM＝eq \f(y0,x0－5)，
直线l与圆C相切，切点为M，
所以eq \f(2,y0)×eq \f(y0,x0－5)＝－1，解得x0＝3.
将x0＝3代入(x－5)2＋y2＝9得y0＝±eq \r(5)，
所以k＝eq \f(2,y0)＝eq \f(2,±\r(5))＝±eq \f(2\r(5),5)，故选A.
11.(2022·咸阳调研)设点P是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1短轴的上端点，Q是椭圆上的一个动点，则|PQ|的最大值是________.
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 设Q(x0，y0)，由题意知P(0，1)，|PQ|＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋（y0－1）2)
＝eq \r(4（1－yeq \\al(2,0)）＋（y0－1）2)
＝eq \r(－3yeq \\al(2,0)－2y0＋5)
＝eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(16,3))，
因为－1≤y0≤1，
所以当y0＝－eq \f(1,3)时，|PQ|取得最大值，|PQ|max＝eq \f(4\r(3),3).
12.(2022·济南三模)已知椭圆C1：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cs∠PF1F2的值为________.
答案 eq \f(5,7)
解析 依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，
而|PF1|＝7，
则|PF2|＝5，
因点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，
过点P作PQ⊥l于点Q，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，
而F1F2∥PQ，
则∠PF1F2＝∠F1PQ，
所以cs∠PF1F2＝cs∠F1PQ＝eq \f(|PQ|,|PF1|)＝eq \f(5,7).
二、创新拓展练
13.(2022·渭南模拟)已知曲线C的方程为eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(k∈R)，下列说法错误的是( )
A.“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
B.当k＝5时，曲线C是半径为2的圆
C.当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \f(x,3)
D.存在实数k，使得曲线C为离心率为eq \r(2)的双曲线
答案 D
解析 因为曲线C的方程为eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(k∈R)，对于A：若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9－k>0，,k－1>0，,9－k>k－1，))
解得1所以“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：当k＝5时曲线方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,4)＝1即x2＋y2＝4，表示圆心在坐标原点(0，0)，半径为2的圆，故B正确；
对于C：当k＝0时曲线方程为eq \f(x2,9)－y2＝1，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \f(x,3)，故C正确；
对于D：若曲线C为离心率为eq \r(2)的双曲线，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)，
所以a2＝b2，
则9－k＋k－1＝0显然不成立，
故不存在实数k，使得曲线C为离心率为eq \r(2)的双曲线，即D错误.故选D.
14.(2022·江西省赣抚吉名校联考)已知点P是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1上的动点，点P关于双曲线C的两条渐近线的对称点分别为A，B，设双曲线C的离心率为e，则|PA|＋e|PB|的最小值为( )
A.2eq \r(2) B.eq \r(6)
C.2eq \r(6) D.4eq \r(6)
答案 C
解析 易得双曲线C的离心率为e＝2，
设点P(x0，y0)，
则xeq \\al(2,0)－eq \f(yeq \\al(2,0),3)＝1，即3xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝3.
记点P到双曲线C的两条渐近线y＝±eq \r(3)x的距离分别为d1，d2，
则d1d2＝eq \f(|\r(3)x0－y0|,\r(3＋1))×eq \f(|\r(3)x0＋y0|,\r(3＋1))＝eq \f(|3xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)|,4)＝eq \f(3,4).
|PA|＋e|PB|＝2d1＋4d2≥2eq \r(2d1×4d2)＝2eq \r(8×\f(3,4))＝2eq \r(6)，
当且仅当d1＝2d2＝eq \f(\r(6),2)时取“＝”.故选C.
15.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，A是C的右顶点，在C的一条渐近线上存在M，N两点，使得|AM|＝|AN|＝c，且∠MAN＝120°，写出符合条件的双曲线C的一个标准方程：________________________________.
答案 x2－y2＝1(答案不唯一)
解析 由题意，不妨设双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
则A(a，0)到该渐近线的距离为eq \f(ab,c)，
在等腰△MAN中，|AM|＝|AN|＝c，∠MAN＝120°，
所以eq \f(ab,c)＝eq \f(c,2).
又a2＋b2＝c2，
所以a＝b，c＝eq \r(2)a，
C的离心率e＝eq \r(2).
因此符合条件的双曲线C的标准方程可以为x2－y2＝1(答案不唯一).
16.已知点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，点A(2a，0)，当|PA|最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是________.
答案 (1，eq \r(2))
解析 设P(m，n)，由题意可知P在双曲线的右支上，可得m＞a，
由点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，
可得eq \f(m2,a2)－eq \f(n2,b2)＝1，
即有n2＝eq \f(b2,a2)m2－b2，
则|PA|＝eq \r(（m－2a）2＋n2)＝eq \r(m2－4am＋4a2＋\f(b2,a2)m2－b2)
＝eq \r(\f(c2,a2)m2－4am＋4a2－b2).
当|PA|取得最小值时，m＝－eq \f(4a,－\f(2c2,a2))＝eq \f(2a3,c2)，
此时P不在顶点，可得eq \f(2a3,c2)＞a，
即为c2＜2a2，即e＝eq \f(c,a)＜eq \r(2)，
又e＞1，可得1＜e＜eq \r(2).