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【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题31　不等式

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这是一份【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题31　不等式，共19页。

1.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
答案 C
解析法一由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0故A不正确；
因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；
因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，
故C正确；
当b故选C.
法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
2.(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是( )
A.a2＋b2≤2ab B.a2＋b2≥－2ab
C.a＋b≥2eq \r(|ab|) D.a＋b≥－2eq \r(|ab|)
答案 B
解析由基本不等式可知a2＋b2≥2ab，故A不正确；
a2＋b2≥－2ab⇒a2＋b2＋2ab≥0，即(a＋b)2≥0恒成立，故B正确；
当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立，故C不正确；
当a＝0，b＝－1时，不等式不成立，故D不正确.故选B.
3.(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))则z＝2x－y的最大值是( )
A.－2 B.4
C.8 D.12
答案 C
解析法一由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
上下平移直线y＝2x－z，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，
所以zmax＝2×4－0＝8.故选C.
法二由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x＋2y＝4，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
此时z＝2×0－2＝－2；
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0，))
此时z＝2×2－0＝4；
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，,y＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝0，))
此时z＝2×4－0＝8.
综上所述，z＝2x－y的最大值为8，故选C.
4.(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))
解析 3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1故使不等式成立的x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))).
5.(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为__________.
答案 4
解析因为a＞0，b＞0，ab＝1，
所以原式＝eq \f(ab,2a)＋eq \f(ab,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，
当且仅当eq \f(a＋b,2)＝eq \f(8,a＋b)，
即a＋b＝4时，等号成立.
故eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为4.
热点一不等式的性质与解法
判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负.
(2)利用不等式的性质推理判断.
(3)利用函数的单调性.
(4)特殊值验证法，注意特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.
例1 (1)(2022·黄山二模)设实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A.a2>b2 B.eq \f(b,a)C.ac2>bc2 D.3a＋3－b>2
(2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))∪{2}
答案 (1)D (2)B
解析 (1)对于A，当a＝2，b＝－4时不成立，故A错误；
对于B，当a＝－eq \f(1,2)，b＝－1时，eq \f(b,a)＝2，eq \f(b＋1,a＋1)＝0，即eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1)，故B错误；
对于C，当c＝0时不成立，故C错误；
对于D，因为a>b，所以3a>3b>0，又3－b>0，所以3a＋3－b>3b＋3－b≥2eq \r(3b×3－b)＝2(等号成立的条件是b＝0)，故D正确.
(2)当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；
当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集.
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4<0，,Δ＝（a＋2）2＋4（a2－4）<0，))
解得－2综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5))).
易错提醒求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.
(3)不考虑a的符号.
训练1 (1)(2022·长沙质检)已知不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c为参数)的解集为{x|－20(a，b，c为参数)的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))D.(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
(2)如果a>b，c>d，则下列不等式恒成立的是( )
A.a－c>b－d B.a＋c>b＋d
C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D.ac>bd
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c为参数)的解集为{x|－2∴方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为参数)的两根为－2和1，且a<0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－2＋1，,\f(c,a)＝（－2）×1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝a，,c＝－2a.))
∴不等式cx2－ax＋b>0可化为
2x2＋x－1>0，
解得x<－1或x>eq \f(1,2)，
∴不等式cx2－ax＋b>0的解集为(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).故选D.
(2)对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，
则a－c＝1对于B，因为a>b，c>d，
所以a＋c>b＋d，所以B正确；
对于C，若a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，
则eq \f(a,d)＝eq \f(2,－1)对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝bd＝－2，所以D错误.故选B.
热点二线性规划
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)(b≠0)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
3.斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a)(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
例2 (1)(2022·焦作二模)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋6≥0，,2x＋y＋2≥0，,4x－y－8≤0))则3x－2y的最大值为( )
A.1 B.4
C.7 D.11
(2)(2022·贵阳调研)已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，,2x＋ay－2≥0))(a>0)，且z＝x2＋y2，若z的最大值是其最小值的eq \f(65,4)倍，则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 (1)D (2)A
解析 (1)画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋6≥0，,2x＋y＋2≥0，,4x－y－8≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋2＝0，,4x－y－8＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－4，))即B(1，－4)，
平移直线3x－2y＝0至经过点B时目标函数u＝3x－2y取得最大值，
即umax＝3×1－2×(－4)＝11.
(2)由题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,3x－y－3＝0，))
解得A(2，3)，|OA|2＝22＋32＝13，
所以z＝x2＋y2的最大值为13.
又点O到直线2x＋ay－2＝0的距离为eq \f(2,\r(a2＋4))，
所以z＝x2＋y2的最小值为eq \f(4,a2＋4)，
所以eq \f(65,4)×eq \f(4,a2＋4)＝13(a>0)，
解得a＝1，故选A.
规律方法 (1)作不等式组表示的可行域的原则是：直线定界，注意虚实，特殊点定域，常取原点.
(2)确定目标函数的几何意义，运用动态变化的思想方法求目标函数的最值.
训练2 (1)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≤2，,x＋3y≥3，))则z＝4x＋y的最大值等于________.
(2)(2022·桂林模拟)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x≥1，,y≥1，))则z＝eq \f(y,x)的最小值为________.
答案 (1)eq \f(13,2) (2)eq \f(1,2)
解析 (1)根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋y化为y＝－4x＋z，z表示斜率为－4的直线在y轴上的截距，平移直线y＝－4x，当直线过x＋y＝2与x＋3y＝3的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，z取最大值eq \f(13,2).
(2)由题意，作出不等式组满足的平面区域，易知该区域是以点A(1，1)，B(2，1)，C(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图知，当目标函数z＝eq \f(y,x)经过点B(2，1)时取得最小值eq \f(1,2).
热点三基本不等式及其应用
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋eq \f(A,g（x）)＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
考向1 利用基本不等式求最值
例3 (1)(2022·银川调研)在下列函数中，最小值为2的是( )
A.y＝x＋eq \f(1,x)B.y＝lg x＋eq \f(1,lg x)(1C.y＝eq \f(x2－2x＋2,x－1)(x>1)D.y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)的最小值为________.
答案 (1)C (2)3＋2eq \r(3)
解析 (1)对于A，当x<0时，y为负数，A不符合题意；
对于B，1∴lg x＋eq \f(1,lg x)≥2eq \r(lg x·\f(1,lg x))＝2，
但不存在x使lg x＝eq \f(1,lg x)成立，B不符合题意；
对于C，y＝eq \f(x2－2x＋2,x－1)＝eq \f(（x－1）2＋1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(（x－1）·\f(1,x－1))
＝2(x>1)，
当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，
即x＝2时等号成立，C符合题意；
对于D，0∴sin x＋eq \f(1,sin x)≥2eq \r(sin x·\f(1,sin x))＝2，
但不存在x使sin x＝eq \f(1,sin x)成立，D不符合题意.故选C.
(2)eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)＝eq \f(9,a)＋eq \f(3,|b|)＋eq \f(b,|b|)，
当b>0时，eq \f(b,|b|)＝1，
当b<0时，eq \f(b,|b|)＝－1.
eq \f(9,a)＋eq \f(3,|b|)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,a)＋\f(3,|b|)))(a＋|b|)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋\f(9|b|,a)＋\f(3a,|b|)))≥eq \f(1,3)(12＋6eq \r(3))＝4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(9|b|,a)＝eq \f(3a,|b|)，
即a＝eq \f(3\r(3),\r(3)＋1)，|b|＝eq \f(3,\r(3)＋1)时等号成立，
所以当a＝eq \f(3\r(3),\r(3)＋1)，b＝－eq \f(3,\r(3)＋1)时，
eq \f(9,a)＋eq \f(b＋3,|b|)取得最小值，且最小值为3＋2eq \r(3).
考向2 求参数的范围
例4 (2022·晋中二模)若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，9]
解析因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2⇔eq \f(x2＋5x＋4,x)≥a恒成立，
只需满足a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋5x＋4,x)))eq \s\d7(min)，
因为x>0，
所以eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(x·\f(4,x))＋5＝9，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时取等号.
故实数a的取值范围是(－∞，9].
易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：
(1)一正二定三相等，三者缺一不可；
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
训练3 (1)(2022·重庆质检)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为( )
A.3 B.eq \f(5,2)＋eq \r(6)
C.3＋eq \r(6) D.3＋2eq \r(2)
(2)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A.eq \r(2) B.2eq \r(2)
C.4 D.eq \f(9,2)
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵x＋y＝xy，
∴(x－1)(y－1)＝1，
∴eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)＝eq \f(（x－1）＋1,x－1)＋eq \f(2（y－1）＋2,y－1)＝3＋eq \f(1,x－1)＋eq \f(2,y－1)≥3＋2eq \r(\f(1,x－1)·\f(2,y－1))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(1,x－1)＝eq \f(2,y－1)时等号成立，故选D.
(2)∵对任意m，n∈(0，＋∞)，
都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，
即a≤eq \f(m2＋2n2,mn)＝eq \f(m,n)＋eq \f(2n,m)恒成立.
∵eq \f(m,n)＋eq \f(2n,m)≥2eq \r(\f(m,n)·\f(2n,m))＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(m,n)＝eq \f(2n,m)，即m＝eq \r(2)n时取等号，
∴a≤2eq \r(2)，故a的最大值为2eq \r(2)，故选B.
一、基本技能练
1.不等式eq \f(4,x－2)≤x－2的解集是( )
A.(－∞，0]∪(2，4]B.[0，2)∪[4，＋∞)
C.[2，4)D.(－∞，2)∪(4，＋∞)
答案 B
解析当x－2>0，
即x>2时，(x－2)2≥4，
即x－2≥2，∴x≥4；
当x－2<0，即x<2时，(x－2)2≤4，
即－2≤x－2<0，∴0≤x<2，
综上，0≤x<2或x≥4.
2.若a，b，c为实数，且aA.ac2C.eq \f(b,a)>eq \f(a,b) D.a2>ab>b2
答案 D
解析当c＝0时，A不成立；
eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0，B错误；
eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，C错误；
由aab>b2，D正确.
3.若不等式ax2－x－c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1答案 C
解析由题意可得－1和eq \f(1,2)是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2)＝\f(1,a)，,－1×\f(1,2)＝－\f(c,a)，))
解得a＝－2，c＝－1，
则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，其图象开口向下，与x轴交于
(－2，0)，(1，0).故选C.
4.(2022·东北三省四市模拟)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2≤0，,4x－y－4≥0，,x≥4，))则z＝2x＋y的最小值为( )
A.8 B.12
C.14 D.20
答案 C
解析根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,x＝4，))
解得A(4，6)，将目标函数看成斜率为－2的动直线，则当直线过点A(4，6)时纵截距最小为14，所以目标函数的最小值为14，故选C.
5.(2022·南京调研)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A.ab2>bc2B.ab2>b2c
C.(ab－ac)(b－c)>0D.(ac－bc)(a－c)>0
答案 C
解析由题意可知a>0，c<0.
当b＝0时，ab2＝bc2＝0，ab2＝b2c＝0，A，B不一定成立.
因为b>c，a>0，所以ab>ac，
所以ab－ac>0.
因为b>c，所以b－c>0，
所以(ab－ac)(b－c)>0，则C一定成立.
因为a>b，c<0，所以ac所以ac－bc<0.
因为a>c，所以a－c>0，
所以(ac－bc)(a－c)<0，D一定不成立.故选C.
6.(2022·邢台联考)函数f(x)＝4x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(2,（\r(2)）x)的最小值为( )
A.2eq \r(2) B.2eq \r(3)
C.4 D.3eq \r(2)
答案 C
解析因为4x＋eq \f(1,2x)≥2eq \r(\f(4x,2x))＝2×eq \r(2x)，
当且仅当4x＝eq \f(1,2x)，
即x＝0时等号成立，
所以f(x)＝4x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(2,（\r(2)）x)≥2eq \r(2x)＋eq \f(2,（\r(2)）x)≥2eq \r(4)＝4，
当且仅当2eq \r(2x)＝eq \f(2,（\r(2)）x)，
即x＝0时等号成立，故f(x)的最小值为4.
7.(2022·哈尔滨模拟)习总书记提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业，为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为( )
A.72万元 B.96万元
C.120万元 D.144万元
答案 C
解析设等差数列{an}的公差为d，
由题意可知，五年累计总投入资金为
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋5×3×a1＝20a1＋10d＝10a1＋10a2＝10(a1＋a2)，
因为aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝72，
所以10(a1＋a2)＝10eq \r(（a1＋a2）2)≤10eq \r(2（aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)）)＝120，
当且仅当a1＝a2时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.
8.已知不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,x＋y－2≥0，,3x－y－6≤0，))围成的平面区域为I，现有直线y＝kx＋2将区域I分成面积相等的两个部分，则此时实数k的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，得到的平面区域为三角形ABC，其中A(0，2)，B(2，0)，C(4，6).
因为直线y＝kx＋2正好经过顶点A(0，2)，所以当该直线经过BC的中点D(3，3)时将区域I分成面积相等的两个部分，此时k＝eq \f(3－2,3－0)＝eq \f(1,3)，故选B.
9.(2022·辽宁六校联考)已知定义在R上的偶函数f(x)＝|x－m＋1|－2，若正实数a，b满足f(a)＋f(2b)＝m，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A.eq \f(8,5) B.eq \f(8＋4\r(3),5)
C.eq \f(8\r(3),5) D.eq \f(2\r(10),5)
答案 B
解析函数f(x)＝|x－m＋1|－2是偶函数，则m＝1，∴f(x)＝|x|－2，
又a>0，b>0，且f(a)＋f(2b)＝m，
∴|a|－2＋|2b|－2＝1，
∴a＋2b＝5，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(3,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,5)＋\f(2b,5)))＝eq \f(2,5)＋eq \f(6,5)＋eq \f(3a,5b)＋eq \f(4b,5a)≥eq \f(8,5)＋2eq \r(\f(3a,5b)·\f(4b,5a))＝eq \f(8＋4\r(3),5)，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2b＝5，,\f(3a,5b)＝\f(4b,5a)，))
即a＝eq \f(5,2)(eq \r(3)－1)，b＝eq \f(5,4)(3－eq \r(3))时取“＝”，故选B.
10.(2022·银川模拟)设0①ln(ca＋1)>ln(cb＋1)；②(c＋1)a<(c＋1)b；
③ab>aa>ba；④lgcaA.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析因为0可得ablgcb，所以③④不正确；
又由函数y＝ln x是增函数，y＝cx是减函数，可得ca>cb，且ca＋1>cb＋1，
所以ln(ca＋1)>ln(cb＋1)，所以①正确；
因为01，所以函数y＝(c＋1)x是增函数，可得(c＋1)a<(c＋1)b，所以②正确.
11.(2022·连云港二模)函数f(x)＝9x＋31－2x的最小值是________.
答案 2eq \r(3)
解析 f(x)＝9x＋31－2x＝9x＋eq \f(3,32x)＝9x＋eq \f(3,9x)≥2eq \r(9x·\f(3,9x))＝2eq \r(3)，当且仅当9x＝eq \f(3,9x)，即x＝eq \f(1,4)时取等号.所以最小值为2eq \r(3).
12.(2022·临汾二模)已知正数a，b满足a＋2b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(8,b)的最小值为________.
答案 eq \f(25,2)
解析因为正数a，b满足a＋2b＝2，
则eq \f(1,a)＋eq \f(8,b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(8,b)))(a＋2b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(17＋\f(2b,a)＋\f(8a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(17＋2\r(\f(2b,a)·\f(8a,b))))
＝eq \f(1,2)(17＋2×4)＝eq \f(25,2)，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(8a,b)，,a＋2b＝2，))
即b＝2a＝eq \f(4,5)时取等号.
故eq \f(1,a)＋eq \f(8,b)的最小值为eq \f(25,2).
二、创新拓展练
13.已知实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y－13≤0，,3x＋2y－11≥0，,2x－y－5≤0，))若不等式x＋my＋1≤0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) D.(－∞，－4]
答案 D
解析根据不等式组作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－5＝0，,3x＋2y－11＝0，))
解得点A(3，1).
易知直线x＋my＋1＝0过定点(－1，0)，要使不等式x＋my＋1≤0恒成立，
则可行域在直线x＋my＋1＝0的左上方，则3＋m＋1≤0，即m≤－4，所以实数m的取值范围是(－∞，－4]，故选D.
14.已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,7)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)，＋∞))
答案 A
解析 x∈(0，2]时，
不等式可化为ax＋eq \f(3a,x)<2；
当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；
当a>0时，不等式化为x＋eq \f(3,x)则eq \f(2,a)>2eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，
当且仅当x＝eq \r(3)时取等号，
所以a当a<0时，x＋eq \f(3,x)>eq \f(2,a)恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))).选A.
15.若0答案 a<2ab解析 ∵0∴0∴2b>1且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)即a<2ab又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，即a2＋b2>eq \f(1,2).
∵eq \f(1,2)∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0，
即a2＋b216.若实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y≥0，,x＋y≤4，,y＋1≥0，))则(x＋1)2＋(y－3)2的最小值为________.
答案 10
解析作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
则点(x，y)到点(－1，3)的最小距离为点(－1，3)到直线x－3y＝0的距离，
即d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－1－9,\r(1＋32))))＝eq \r(10)，
所以(x＋1)2＋(y－3)2的最小值为10.