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【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题42　随机变量及其分布

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这是一份【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题42　随机变量及其分布，共18页。

1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
答案 0.14
解析因为X～N(2，σ2)，
所以P(X>2)＝0.5，
所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(22.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
答案 eq \f(16,35) eq \f(12,7)
解析由题意知
P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(16,35).
ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(15,35)＝eq \f(3,7)，
P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,Ceq \\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(3,7)＋2×eq \f(16,35)＋3×eq \f(3,35)＋4×eq \f(1,35)＝eq \f(12,7).
3.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，
所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.
(2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，
所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.
则X的分布列为
E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
热点一分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
则：(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
例1 (1)设离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( )
A.m＝0.1 B.n＝0.3
C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8
(2)(2022·郑州调研)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )
A.a＝eq \f(1,3) B.a＝eq \f(2,3)
C.k＝eq \f(1,2) D.k＝eq \f(3,2)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，
得m＋4n＝0.7，
又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，
得m＋n＝0.4，
从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项错误；
E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；
因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误.
(2)由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，
D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).
因为E(ξ)＝D(ξ)，
所以k－1＋a＝a(1－a)，
所以k＝1－a2，
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥0，,1－a≥0，))所以0≤a≤1，
所以k＝1－a2∈[0，1]，故k＝eq \f(3,2)不成立.
规律方法分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
训练1 (1)已知随机变量X，Y的分布列如下：
则E(X)·E(Y)的最小值为( )
A.1 B.eq \f(4,3)
C.2 D.eq \f(8,3)
(2)(2022·绍兴模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是( )
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)
答案 (1)D (2)C
解析 (1)由分布列的性质知，a＋b＋eq \f(1,2)＝1，eq \f(2,3)＋m＝1，
所以a＋b＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(1,3)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×a＋2×b＝a＋2b，E(Y)＝eq \f(1,a)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,b)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3a)＋eq \f(1,3b)，
所以E(X)·E(Y)＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3a)＋\f(1,3b)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(4b,3a)＋eq \f(a,3b)≥eq \f(4,3)＋2eq \r(\f(4b,3a)×\f(a,3b))＝eq \f(8,3)，
当且仅当eq \f(4b,3a)＝eq \f(a,3b)，即a＝2b时等号成立，
故E(X)·E(Y)的最小值为eq \f(8,3).
(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝eq \f(1,6)，
E(ξ)＝－1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，
E(|ξ|)＝1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(7,6)，
D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(53,36)，
D(|ξ|)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(29,36).
D(ξ)>1>D(|ξ|)，
D(2ξ－1)＝4×eq \f(53,36)＝eq \f(53,9)，
D(2|ξ|＋1)＝4×eq \f(29,36)＝eq \f(29,9).
其中D(2ξ－1)最大.
热点二随机变量的分布列
1.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
2.二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
考向1 二项分布
例2 (2022·遵义二模)为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
减排器等级分布如表.
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ).
解 (1)由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为
0.08×5＋0.04×5＝0.6，
用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为10×0.6＝6(件)，
则至少有2件一级品的概率P＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(4,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(37,42).
(2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为eq \f(7,10)，二级品的概率为eq \f(1,4)，三级品的概率为eq \f(1,20)，
若从乙型号减排器中随机抽取3件，
则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，
所以P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(0)＝eq \f(27,64)；P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(1)＝eq \f(27,64)；
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,64)；P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,64).
所以ξ的分布列为
所以数学期望
E(ξ)＝0×eq \f(27,64)＋1×eq \f(27,64)＋2×eq \f(9,64)＋3×eq \f(1,64)＝eq \f(3,4)，或E(ξ)＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
考向2 超几何分布
例3 (2022·沈阳重点高中联考)北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者培训活动，并在培训结束后进行一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
男志愿者考核成绩频率分布直方图
若参加这次考核的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀.
(1)分别求出m，a，b的值，以及这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数；
(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到男志愿者的人数为X，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为
2÷0.050＝40.
因为0.050＋0.325＋m＋0.100＋0.075＝1，
所以m＝0.45.
a＝40×0.100＝4，b＝40×0.075＝3.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是80－40＝40.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为(0.010＋0.015)×5＝0.125，则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为
40×0.125＝5.
(2)由题中表可知，这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为4＋3＝7，故样本中考核等级为优秀的志愿者人数为5＋7＝12，则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(35,220)＝eq \f(7,44)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(105,220)＝eq \f(21,44)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(70,220)＝eq \f(7,22)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(10,220)＝eq \f(1,22)，
所以X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(7,44)＋1×eq \f(21,44)＋2×eq \f(7,22)＋3×eq \f(1,22)＝eq \f(5,4).
规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
训练2 (2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；甲、乙得2分的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(1,2)；甲、乙得1分的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,6).
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望.
解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－eq \f(1,3)－eq \f(2,5)－eq \f(1,5)＝eq \f(1,15)，
乙得0分的概率为1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,12)，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,15)×eq \f(1,12)＝eq \f(29,90).
(2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则P(X＝0)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,180)，
P(X＝1)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,36)，
P(X＝2)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,10)，
P(X＝3)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,12)＝eq \f(19,90)，
P(X＝4)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(11,36)，
P(X＝5)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(4,15)，
P(X＝6)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，
所以，随机变量X的分布列为：
所以E(X)＝0×eq \f(1,180)＋1×eq \f(1,36)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(19,90)＋4×eq \f(11,36)＋5×eq \f(4,15)＋6×eq \f(1,12)＝eq \f(47,12).
热点三正态分布
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
例4 (2022·重庆一诊)2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练，已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)(ξ1，ξ2的单位：米).
(1)请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练；
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.516，0.16)，且P(X≤6.832)＝0.785.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%？并说明理由.(eq \r(3,10)≈2.15)
解 (1)依题意该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)，
所以男生和女生的达标概率为eq \f(1,2)，不达标概率为eq \f(1,2)，
所以从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率为
Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)>0.1，
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)ξ2～N(6.516，0.16)，
即ξ2～N(6.2＋0.316，0.42)，
且P(X≤6.832)＝0.785，
即P(X≤6.516＋0.316)＝0.785，
所以P(X≥6.2)＝P(X≤6.832)＝0.785，
eq \r(3,10)≈2.15，eq \f(\r(3,10),10)≈0.215，eq \f(10,1 000)≈0.2153，0.2153≈0.01，
则女生达标率为1－(1－0.785)3＝1－0.2153≈0.99.
所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.
规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
(2)P(X(3)P(a训练3 (2022·吕梁二模)某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10件产品，监测各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
(1)求上表数据的平均数eq \(x,\s\up6(－))和方差s2；
(2)若认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2).如果出现了(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备.
①下面是另一天抽检的核心指标数据：
用(1)中的平均数eq \(x,\s\up6(－))和标准差s作为μ和σ的估计值eq \(μ,\s\up6(^))和eq \(σ,\s\up6(^))，利用eq \(μ,\s\up6(^))和eq \(σ,\s\up6(^))判断这天是否需要停止生产并检查设备；
②假设生产线状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ0.954 510≈0.627 7，0.997 310≈0.973 3.
解 (1)由数据表，得
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(9.7＋10.1＋9.8＋10.2＋9.7＋9.9＋10.2＋10.2＋10.0＋10.2,10)＝10，
s2＝eq \f(0.09＋0.01＋0.04＋0.04＋0.09＋0.01＋0.01＋0.04＋0＋0.04,10)＝0.04.
(2)①由(1)可知eq \(μ,\s\up6(^))＝10，eq \(σ,\s\up6(^))＝eq \r(0.04)＝0.2，
所以eq \(μ,\s\up6(^))－3eq \(σ,\s\up6(^))＝10－0.6＝9.4，eq \(μ,\s\up6(^))＋3eq \(σ,\s\up6(^))＝10＋0.6＝10.6，
表中第9个数据10.7>10.6，故这天需停止生产并检查设备.
②抽取一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3，
所以抽取一个零件其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为1－0.997 3＝0.002 7，
故X～B(10，0.002 7)，
所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 310≈0.026 7，
X的数学期望为E(X)＝10×0.002 7＝0.027.
一、基本技能练
1.为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
(1)指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
(2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N(μ，1.222)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，计算μ值，并计算产品指标数落在(17.56，22.44)内的概率.
参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σ解 (1)由1×(a＋0.09＋0.22＋0.33＋0.24＋0.08＋a)＝1，
解得a＝0.02，
样本中指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02×(1＋1)＝0.04，
所以产品为次等品的概率估计值为0.04.
(2)依题意μ＝17×0.02＋18×0.09＋19×0.22＋20×0.33＋21×0.24＋22×0.08＋23×0.02＝20.
所以X～N(20，1.222)，
所以P(17.562.(2022·南充二诊)2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200，500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350，400)，[400，450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量落在[400，450)的个数X的分布列和数学期望；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有脐橙均以7元/千克收购；
B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)
解 (1)从频率分布直方图可知，脐橙质量在[350，400)，[400，450)内的个数之比为3∶2，所以按分层抽样的方法抽取的5个脐橙，在[350，400)内的有3个，在[400，450)内的有2个.
可知X的取值为0，1，2，
且P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(3,10)；
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(3,5)；
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
所以X的分布列为
E(X)＝0×0.3＋1×0.6＋2×0.1＝0.8.
(2)方案B好.理由如下：
由频率分布直方图可知，脐橙质量落在区间[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)，[400，450)，[450，500)的频率依次为0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05，
所以各区间的脐橙的个数依次为5 000，16 000，24 000，30 000，20 000，5 000.
若按方案A收购，总收益为
(225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05)×
100 000÷1 000×7＝248 150(元)；
若按方案B收购，总收益为(5 000＋16 000＋24 000)×2＋55 000×3
＝255 000(元).
因为方案B的收益比方案A的收益高，故该村选择方案B出售.
3.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品做检验，记这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值和为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？
解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Ceq \\al(2,20)p2(1－p)18.
因此f′(p)＝Ceq \\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq \\al(2,20)p(1－p)17(1－10p).
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；
当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，由题意知Y～B(180，0.1)，E(Y)＝180×0.1＝18.
因为X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y，
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②如果对余下的产品做检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400，故应该对余下的产品做检验.
二、创新拓展练
4.(2022·广东重点中学质检)自2019年起，全国高中数学联赛新规则如下.联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”).一试考试时间为8：00～9：20，共80分钟，包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，满分120分.二试考试时间为9：40～12：30，共170分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面.前两题每题40分，后两题每题50分，满分180分.已知某校有一数学竞赛选手，在一试中，正确解答每道填空题的概率为0.8，正确解答每道解答题的概率为0.6.在二试中，前两题每题能够正确解答的概率为0.6，后两题每题能够正确解答的概率为0.5.假设每道题均是答对得满分，答错得0分.
(1)记该同学在二试中的成绩为X，求X的分布列；
(2)根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，某选手若一试成绩在100分及以上，最终获得省一等奖的可能性为0.9，若一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为0.2.估计该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到50%，并说明理由.
(参考数据：0.88≈0.168，0.87≈0.21，0.86≈0.262，结果保留两位小数)
解 (1)依题意，X的所有可能取值为0，40，50，80，90，100，130，140，180，
所以P(X＝0)＝0.42×0.52＝0.04，
P(X＝40)＝Ceq \\al(1,2)0.6×0.4×0.52＝0.12，
P(X＝50)＝0.42×Ceq \\al(1,2)0.52＝0.08，
P(X＝80)＝0.62×0.52＝0.09，
P(X＝90)＝Ceq \\al(1,2)0.6×0.4×Ceq \\al(1,2)0.52＝0.24，
P(X＝100)＝0.42×0.52＝0.04，
P(X＝130)＝0.62×Ceq \\al(1,2)0.52＝0.18，
P(X＝140)＝Ceq \\al(1,2)0.6×0.4×0.52＝0.12，
P(X＝180)＝0.62×0.52＝0.09.
故X的分布列为
(2)由题意可知，一试分数达到100分及以上有以下三种情形：
①一试题目全部答对，概率为0.88×0.63≈0.168×0.216≈0.036，
②后三道解答题只错一题，且前8题全对，概率为0.88×Ceq \\al(1,3)0.62×0.4≈0.073，
③解答题全部答对，且前面的8道填空题只答错一题或者两题，概率为
Ceq \\al(1,8)0.87×0.2×0.63＋Ceq \\al(2,8)0.86×0.22×0.63≈0.136.
所以一试获得100分及以上的概率为0.036＋0.073＋0.136＝0.245，
所以该同学获得省一等奖的概率为0.245×0.9＋0.755×0.2≈0.37<0.5，
所以该选手最终获得省一等奖的可能性达不到50%.
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(3,7)
eq \f(16,35)
eq \f(3,35)
eq \f(1,35)
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
1
2
3
4
5
P
m
0.1
0.2
n
0.3
ξ
k
k－1
P
a
1－a
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)
a
b
Y
eq \f(1,a)
eq \f(1,b)
P
eq \f(2,3)
m
ξ
－1
0
2
P
a
2a
3a
综合得分k的范围
减排器等级
k≥85
一级品
75≤k<85
二级品
70≤k<75
三级品
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(27,64)
eq \f(27,64)
eq \f(9,64)
eq \f(1,64)
考核成绩
频数
频率
[75，80)
2
0.050
[80，85)
13
0.325
[85，90)
18
m
[90，95)
a
0.100
[95，100]
b
0.075
X
0
1
2
3
P
eq \f(7,44)
eq \f(21,44)
eq \f(7,22)
eq \f(1,22)
X
0
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,180)
eq \f(1,36)
eq \f(1,10)
eq \f(19,90)
eq \f(11,36)
eq \f(4,15)
eq \f(1,12)
9.7
10.1
9.8
10.2
9.7
9.9
10.2
10.2
10.0
10.2
10.1
10.3
9.7
9.8
10.0
9.8
10.3
10.0
10.7
9.8
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
X
0
40
50
80
90
100
130
140
180
P
0.04
0.12
0.08
0.09
0.24
0.04
0.18
0.12
0.09