【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题43　统计与统计案例

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1.(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案 C
解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为eq \f(7.3＋7.5,2)＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
eq \f(1,16)×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值eq \f(6,16)＝0.375<0.4，C选项结论错误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值eq \f(13,16)＝0.812 5>0.6，D选项结论正确.故选C.
2.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B
解析 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是eq \f(70%＋75%,2)＝72.5%，所以A错误；
对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均数显然大于85%，所以B正确；
对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误；
对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是100%－80%＝20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.
3.(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
解 (1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为eq \f(240,240＋20)＝eq \f(12,13)，
B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为eq \f(210,210＋30)＝eq \f(7,8).
(2)K2＝eq \f(500×（240×30－20×210）2,（240＋20）×（210＋30）×（240＋210）×（20＋30）)≈3.205＞2.706，
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
4.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝0.038，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)＝1.615 8，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))，eq \r(1.896)≈1.377.
解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0.6,10)＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3.9,10)＝0.39(m3)，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)r＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xiyi－10\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(（\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－10\(x,\s\up6(－))2）（\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－10\(y,\s\up6(－))2）))
＝eq \f(0.247 4－10×0.06×0.39,\r(（0.038－10×0.062）（1.615 8－10×0.392）))＝eq \f(0.013 4,\r(0.000 189 6))
≈eq \f(0.013 4,0.013 77)≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得eq \f(0.06,0.39)＝eq \f(186,Y)，
解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
热点一 用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距).
(2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据：x1，x2，…，xn.
(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，
s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2]).
(2)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq \(x,\s\up6(－))是样本平均数).
(3)若a>0，数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为as，方差为a2s2.
考向1 统计图表与数字特征的应用
例1 (1)(2022·柳州二模)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法不正确的是( )
A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人
B.这100名学生成绩的众数为85
C.估计全校学生成绩的平均分数为78
D.这100名学生成绩的中位数为80
(2)(2022·开封模拟)甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是( )
A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的众数大于乙的众数
C.甲的方差大于乙的方差D.甲的性能优于乙的性能
答案 (1)D (2)D
解析 (1)选项A，成绩在区间[90，100)的频率为0.01×10＝0.1，则人数为100×0.1＝10，故正确；
选项B，由频率分布直方图可知，学生成绩的众数为85，故正确.
选项C，全校学生成绩的平均分数为
0.01×55×10＋0.015×65×10＋0.02×75×10＋0.045×85×10＋0.01×95×10＝78，故正确.
选项D，成绩在区间[50，60)的频率为0.1，成绩在区间[60，70)的频率为0.15，
成绩在区间[70，80)的频率为0.2，
成绩在区间[80，90)的频率为0.45，
由0.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.5，
所以这100名学生成绩的中位数在[80，90)之间，设为x，则(x－80)×0.045＝0.5－0.45＝0.05，解得x≈81.11，故不正确.
(2)由茎叶图得：甲机床每天生产的次品数为：7，8，9，10，12，13，15，15，20，21，
乙机床每天生产的次品数为：8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.
对于A，甲的中位数为eq \f(12＋13,2)＝12.5，
乙的中位数为eq \f(11＋12,2)＝11.5，
所以甲的中位数大于乙的中位数，故A正确；
对于B，甲的众数为15，乙的众数为12，所以甲的众数大于乙的众数，故B正确；
对于C，甲的平均数eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(7＋8＋9＋10＋12＋13＋15＋15＋20＋21,10)＝13，
乙的平均数eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(8＋9＋10＋10＋11＋12＋12＋12＋16＋20,10)＝12.
所以甲的方差seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)[(7－13)2＋(8－13)2＋(9－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(13－13)2＋(15－13)2＋(15－13)2＋(20－13)2＋(21－13)2]＝20.8，
乙的方差seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)[(8－12)2＋(9－12)2＋(10－12)2＋(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(12－12)2＋(16－12)2＋(20－12)2]＝11.4.
所以甲的方差大，故C正确；
对于D，由A，B，C得：中位数、众数、平均数、方差均为甲大于乙，所以甲生产出的次品数多于乙，即乙机床的性能优于甲，故D错误.
考向2 用样本的频率分布估计总体分布
例2 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
规律方法 1.平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.
2.在例2中，抓住频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，这是求解的关键；本题易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
训练1 (1)(2022·泸州三诊)空气质量指数(简称AQI)是能够对空气质量进行定量描述的数据，AQI越小代表空气质量越好.甲、乙两地在9次空气质量监测中的AQI数据如图所示，则下列说法不正确的是( )
A.甲地的AQI的平均值大于乙地
B.甲地的AQI的方差小于乙地
C.甲地的AQI的中位数大于乙地
D.甲地的空气质量好于乙地
答案 D
解析 由AQI数据图知，甲地9次监测数据有7次均在50以上，只有两次在50以下，并且与50相差较小，乙地9次监测数据有7次均在50以下，有两次在50附近，并且与50相差很小，甲地的AQI的平均值大于50，乙地的AQI的平均值小于50，甲地的AQI的平均值大于乙地，A正确；
甲地9次监测数据的折线图比较平滑，波动较小，乙地9次监测数据波动较大，即甲地的AQI的方差小于乙地，B正确；
甲地9次监测数据的中位数大于50，乙地9次监测数据的中位数小于50，甲地的AQI的中位数大于乙地，C正确；
甲地9次监测数据中有8个都高于乙地对应监测数据，再结合平均值、中位数看，乙地的空气质量要好于甲地，D不正确.
(2)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：
①分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定；
②估计该厂产品产量为2 000件时的利润以及一等级产品的利润.
解 ①从A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数eq \(x,\s\up6(－))1＝eq \f(1,100)×(10×20＋8×60＋6×20)＝8(元)，
方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,100)×[(10－8)2×20＋(8－8)2×60＋(6－8)2×20]＝1.6，
从B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为eq \(x,\s\up6(－))2＝eq \f(1,100)×(10×35＋8×40＋6×25)＝8.2(元)，
方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,100)×[(10－8.2)2×35＋(8－8.2)2×40＋(6－8.2)2×25]＝2.36.
所以seq \\al(2,1)②从A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为eq \f(1,200)×[10×(20＋35)＋8×(60＋40)＋6×(20＋25)]＝8.1(元)，
由样本估计总体，当产品产量为2 000件时，估计该工厂获利2 000×8.1
＝16 200(元).
因为从A，B生产线共随机抽取的200件产品中，A生产线生产的一等级产品有20件，B生产线生产的一等级产品有35件，
由样本频率估计总体概率，得该工厂生产产品为一等级产品的概率估计值为
eq \f(20＋35,200)＝eq \f(11,40)，
当产品产量为2 000件时，估计该工厂一等级产品获利2 000×eq \f(11,40)×10＝5 500(元).
热点二 回归分析
求线性回归方程的步骤
(1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).
(2)计算出eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)，eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi的值.
(3)计算eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^)).
(4)写出线性回归方程.
例3 (2022·合肥二模)《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆.下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y(单位：千万辆)折线图.
(注：年份代码1～10分别对应年份2011～2020)
(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的线性回归方程(系数精确到0.01)，并预测2024年我国私人汽车拥有量.
参考数据：eq \(y,\s\up6(－))＝15.5，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝160.1，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝311.4，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝82.5，eq \r(25 550.5)≈159.8，eq \r(25 690.5)≈160.3.
参考公式：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))，
线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))tiyi－n\(t,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－n\(t,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－)).
解 (1)由题意得，
r＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))＝eq \f(160.1,\r(82.5×311.4))＝eq \f(160.1,\r(25690.5))
≈eq \f(160.1,160.3)≈0.998 8.
相关系数r≈0.998 8，说明y与t的线性相关性很高，
所以，可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由eq \(t,\s\up6(－))＝5.5，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝82.5，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(160.1,82.5)≈1.94，
因此eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))·eq \(t,\s\up6(－))＝15.5－1.94×5.5＝4.83，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝1.94t＋4.83.
当t＝14时，eq \(y,\s\up6(^))＝1.94×14＋4.83＝31.99.
所以2024年我国私人汽车拥有量约为31.99千万辆.
据此可以预测，2024年我国私人汽车拥有量将达到31.99千万辆.
易错提醒 (1)样本点不一定在回归直线上，但点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))一定在回归直线上.
(2)求eq \(b,\s\up6(^))时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆.
(3)利用相关系数判断相关性强弱，看|r|的大小，而不是r的大小.
(4)区分相关系数r与相关指数R2.
(5)通过线性回归方程求的都是估计值，而不是真实值.
训练2 (2022·深圳调研)近年来，明代著名医药学家李时珍的故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一.已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：
现根据散点图利用y＝a＋beq \r(x)或y＝c＋eq \f(d,x)两种模型建立y关于x的回归方程，令s＝eq \r(x)，t＝eq \f(1,x)，得到如下数据：
且(si，yi)与(ti，yi)(i＝1，2，3，…，13)两组数据的相关系数分别为r1，r2，且r2＝－
(1)用相关系数说明用哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知z与x，y的关系为z＝20y－eq \f(1,2)x，当x为何值时，z的预报值最大？
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.456 2，
eq \r(4.456 2)≈2.111 0，11.67×21.22＝247.637 4，
eq \r(247.637 4)≈15.736 5.
参考公式：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))，
线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （ti－\(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))tiyi－n\(t,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－n\(t,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－)).
解 (1)由题意知r2＝－0.995 3，r1＝eq \f(13.94,\r(11.67)\r(21.22))＝eq \f(13.94,\r(247.637 4))≈0.885 8，
因为|r1|<|r2|<1，
所以用y＝c＋eq \f(d,x)模型建立y与x的回归方程更合适.
(2)因为eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))tiyi－13\(t,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－13\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(－2.1,0.21)＝－10，
eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))＝109.94＋10×0.16＝111.54，
所以y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝111.54－eq \f(10,x).
(3)由题意知eq \(z,\s\up6(^))＝20eq \(y,\s\up6(^))－eq \f(1,2)x＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(111.54－\f(10,x)))－eq \f(1,2)x＝2 230.8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(200,x)＋\f(1,2)x))
≤2 230.8－20＝2 210.8，
所以eq \(z,\s\up6(^))≤2 210.8，
当且仅当x＝20时等号成立，
所以当x＝20时，z的预报值最大.
热点三 独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列成2×2列联表；
(2)根据公式K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断.K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
例4 (2022·广州广雅中学质检)为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表：
(1)甲，乙两所学校学生竞赛成绩优秀的频率分别是多少？
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为甲校学生竞赛成绩优秀与乙校学生竞赛成绩优秀有关系？
参考公式：
K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
解 (1)甲学校学生竞赛成绩优秀的频率为eq \f(60,100)＝0.6，乙学校学生竞赛成绩优秀的频率为eq \f(70,100)＝0.7.
(2)由题意，K2的观测值k＝eq \f(200×（60×30－40×70）2,130×70×100×100)＝eq \f(200,91)≈2.198<3.841，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为甲校学生竞赛成绩优秀与乙校学生竞赛成绩优秀有关系.
易错提醒 (1)K2越大，两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格可查得无关的可能性的大小.
(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01.
训练3 (2022·全国学业质量联合检测)“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术，进行近距离商品展示、咨询答复、导购的新型服务方式.某厂家分别选择甲、乙两个直播平台销售同一产品，厂家为了解产品的销售情况，随机调查了甲、乙两个直播平台20天的日销售额，得到如下列联表：
(1)分别估计产品在甲、乙平台日销售额大于8万元的概率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该产品的日销售额超过8万元与选择的直播平台有关.
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题表知，在甲平台销售，日销售额大于8万元的频率为eq \f(7,20)＝0.35，因此产品在甲平台日销售额大于8万元的概率的估计值为0.35；在乙平台销售，日销售额大于8万元的频率为eq \f(14,20)＝0.7，因此产品在乙平台日销售额大于8万元的概率的估计值为0.7.
(2)K2＝eq \f(40×（13×14－6×7）2,20×20×19×21)≈4.912.
因为4.912>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为该产品的日销售额超过8万元与选择的直播平台有关.
一、基本技能练
1.(2022·浙江名校联考)某学校高二年级选择“史政地”“史政生”“史地生”组合的学生人数分别为240，120和60.现采用分层抽样的方法选出14位学生进行调查研究，则选择“史政生”组合的学生中被抽取的人数为( )
A.8 B.6
C.4 D.3
答案 C
解析 由题意可知，选择“史政地”“史政生”“史地生”这三种组合的学生人数分别为240，120和60，
故选择“史政生”组合的学生所占的比为eq \f(120,240＋120＋60)＝eq \f(2,7)，
由分层抽样是按比例抽取的，可得选择“史政生”组合的学生中被抽取的人数为14×eq \f(2,7)＝4，故选C.
2.(2022·天津模拟)在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，60)之间的学生人数是( )
A.150 B.200
C.250 D.300
答案 B
解析 由频率分布直方图，(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，a＝0.005，
所以得分在[40，60)之间的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，
学生人数为500×0.4＝200.
3.下列说法错误的是( )
A.回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
B.线性回归方程对应的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
答案 B
解析 回归直线必过样本点的中心，A正确；
由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；
在回归分析中，R2越接近1，模拟效果越好，D正确；
线性回归方程对应的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))一定经过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，但不一定经过样本的数据点，所以B错误，选B.
4.(2022·邢台联考)下图是某校10个班的一次统考数学成绩的平均分，则其平均分的中位数是( )


答案 B
解析 由图知，10个班的数学成绩的平均分从小到大排列为92.27，96.72，98.96，99.75，100.13，102.73，104.45，108.02，109.42，109.87，所以其平均分的中位数是eq \f(100.13＋102.73,2)＝101.43.故选B.
5.(2022·河南名校大联考)某企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图如下.已知利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法不正确的是( )
A.该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润
B.该企业2020年1月至6月的平均收入低于2020年7月至12月的平均收入
C.该企业2020年8月至12月的支出持续增长
D.该企业2020年11月份的月利润最大
答案 D
解析 根据折线统计图可知，1月至6月的相对高度差的总和要比7月至12月的相对高度差的总和小，所以该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润.所以A正确.
由实折线可知，1月至6月的折线对应数据普遍低于7月至12月的折线对应数据，所以B正确.
由虚折线可知，8月至12月对应的支出数据一直变大，所以C正确.
由两折线图可知，11月对应的利润为40多万元，不到50万元，而7月对应的利润超过50万元，所以D错误.故选D.
6.(2022·武汉质检)某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前开始进行产业结构调整，完成调整后的总利润比三年前增加了一倍.调整前后各产业的利润占比如下图所示.
则下列结论中不正确的是( )
A.调整后房地产业利润有所下降
B.调整后医疗器械的利润增长量最大
C.调整后生物制药的利润增长率最高
D.调整后金融产业的利润占比最低
答案 A
解析 假设调整前总利润为100a，那么调整后总利润为200a.
对于A，调整前房地产业利润占比45%，利润为45a，调整后利润占比为25%，利润为50a，有所上升， 故A错误.
对于B，调整前医疗器械利润为20a，调整后利润为80a；调整前金融产业利润为25a，调整后利润为20a；调整前生物制药利润为10a，调整后利润为50a，故B正确.
对于C项，医疗器械利润增长率为300%，房地产业利润增长率约为11.1%，生物制药利润增长率为400%，金融产业的利润增长率为负数，故C正确.
对于D项，由题图知，调整后金融产业利润占比10%，是最低的，故D正确.故选A.
7.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，有以下叙述：
①甲的六大能力中推理能力最差；②甲的创造力优于观察能力；③乙的计算能力优于甲的计算能力；④乙的六大能力整体水平低于甲.
其中叙述正确的是________(填序号).
答案 ①③④
解析 由六维能力雷达图可知，对于①，甲的推理能力指标值为3，比其他都低，故①正确；
对于②，甲的创造能力指标值是4，观察能力指标值也是4，故甲的创造力与观察能力一样，故②错误；
对于③，乙的计算能力指标值是5，甲的计算能力指标值是4，故乙的计算能力优于甲的计算能力，故③正确；
对于④，乙的六大能力指标值总和为24，甲的六大能力指标值总和为25，故④正确.
8.(2022·江苏海安中学检测)根据下列数据：
求得y关于x的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋eq \(a,\s\up6(^))，则这组数据相对于所求的回归直线方程的5个残差的方差为________.(注：残差是实际观察值与估计值之间的差)
答案 0.08
解析 根据题中的表中数据得eq \(x,\s\up6(－))＝10，eq \(y,\s\up6(－))＝8，代入eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋eq \(a,\s\up6(^))，得eq \(a,\s\up6(^))＝40，
所以y关于x的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，
这组数据的5个残差分别为－3.2×9＋40－11＝0.2，－3.2×9.5＋40－10＝－0.4，－3.2×10＋40－8＝0，－3.2×10.5＋40－6＝0.4，－3.2×11＋40－5＝－0.2，
因此残差的方差为eq \f(1,5)×(0.22＋0.42＋0＋0.42＋0.22)＝0.08.
9.某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示：
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.
答案 (1)3.0 (2)6 000
解析 由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2.0×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.0.
于是消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2.0×0.1＋3×0.1＝0.6，
所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
10.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上.若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定，每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，则经常使用微信的员工中有eq \f(2,3)是青年人，故有________的把握认为经常使用微信与年龄有关.
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.
答案 99.9%
解析 由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人).
经常使用微信的有180－60＝120(人)，
其中青年人有120×eq \f(2,3)＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，
故2×2列联表如下：
将列联表中数据代入公式可得K2＝eq \f(180×（80×5－55×40）2,120×60×135×45)≈13.333，
由于13.333>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为经常使用微信与年龄有关，即有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.
11.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为eq \f(40,50)＝0.8，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为eq \f(30,50)＝0.6，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2)K2的观测值k＝eq \f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.
由于4.762>3.841，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为男、女顾客对该商场服务的评价
有差异.
12.(2022·安徽名校联考)2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利.现行标准下9 899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，在困扰中华民族几千年的绝对贫困问题上取得了伟大历史性成就.为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植A，B两种经济作物，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物A的亩产量约为300 kg(1公顷＝15亩)，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
经济作物B的收购价格始终为25元/kg，其亩产量的频率分布直方图如下：
(1)若经济作物A的单价y(单位：元/kg)与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程，并估计2023年经济作物A的单价；
(2)用上述频率分布直方图估计经济作物B的平均亩产量(每组数据以区间的中点值为代表)，若不考虑其他因素，仅考虑亩产值，试判断2023年该村应种植经济作物A还是经济作物B？并说明理由.
附：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
解 (1)因为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(18＋20＋23＋25＋29,5)＝23，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xiyi－5\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(1×18＋2×20＋3×23＋4×25＋5×29－5×3×23,12＋22＋32＋42＋52－5×32)＝2.7，
eq \(a,\s\up6(^))＝23－2.7×3＝14.9，
所以y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.7x＋14.9.
当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝2.7×6＋14.9＝31.1，
所以估计2023年经济作物A的单价为31.1元/kg.
(2)利用频率分布直方图中的各小矩形面积之和为1得
2m＝eq \f(1－（0.010＋0.017 5＋0.012 5）×20,20)＝0.01，
所以m＝0.005.
经济作物B的亩产量的平均值为
360×0.005×20＋380×0.010×20＋400×0.017 5×20＋420×0.012 5×20＋440×0.005×20＝401(kg).
故经济作物A的亩产值约为300×31.1＝9 330(元)，
经济作物B的亩产值约为25×401＝10 025(元)，
因为9 330<10 025，
所以2023年该村应种植经济作物B.
二、创新拓展练
13.设10≤x1A.D(ξ1)B.D(ξ1)＝D(ξ2)
C.D(ξ1)>D(ξ2)
D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
答案 C
解析 由题意可知，两组数据的平均数相等，设为eq \(x,\s\up6(－))，则D(ξ1)＝eq \f(1,5)[(eq \(x,\s\up6(－))－x1)2＋…＋(eq \(x,\s\up6(－))－x5)2]＝eq \f(1,5)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4)＋xeq \\al(2,5))－eq \(x,\s\up6(－))2，
D(ξ2)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(x,\s\up6(－))－\f(x1＋x2,2)))\s\up12(2)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(x,\s\up6(－))－\f(x5＋x1,2)))\s\up12(2)))
＝eq \f(1,5)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))\s\up12(2)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x5＋x1,2)))\s\up12(2)))－eq \(x,\s\up6(－))2故D(ξ1)>D(ξ2).
14.(2022·西安模拟)甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是( )
A.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同
B.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同
C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
答案 C
解析 甲在5天中每天加工零件的个数为：18，19，23，27，28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17，19，21，23，25.
对于A，甲加工零件数的极差为28－18＝10，乙加工零件数的极差为25－17＝8，故A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为eq \f(18＋19＋23＋27＋28,5)＝23，乙加工零件数的平均数为eq \f(17＋19＋21＋23＋25,5)＝21，故C正确；
对于D，甲加工零件数的方差为eq \f(52＋42＋02＋42＋52,5)＝16.4，乙加工零件数的方差为eq \f(42＋22＋02＋22＋42,5)＝8，故D错误.
15.2020年7月国家统计局发布了我国2020年上半年国内经济数据，图1为国内三大产业生产总值的比重，图2为第三产业中各行业生产总值的比重.以下关于我国2020年上半年经济数据的说法不正确的是( )
A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15 000亿元，则“房地产业”生产总值为32 500亿元
C.若“金融业”的生产总值为42 000亿元，则第三产业生产总值为262 500亿元
D.若“金融业”的生产总值为42 000亿元，则第一产业生产总值为45 000亿元
答案 D
解析 对于选项A，在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和占比为16%＋16%＝32%，“其他服务业”的生产总值占比为32%，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A正确.
对于选项B，若“租赁和商务服务业”生产总值为15 000亿元，在第三产业中，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比为6%，所以第三产业生产总值为eq \f(15 000,6%)＝250 000(亿元)，又“房地产业”生产总值占比为13%，所以“房地产业”生产总值为13%×250 000＝32 500(亿元)，故选项B正确.
对于选项C，在第三产业中，若“金融业”的生产总值为42 000亿元，因为“金融业”生产总值占比为16%，所以第三产业生产总值为eq \f(42 000,16%)＝262 500(亿元)，故选项C正确.
又第三产业生产总值在三大产业中占比为57%，第一产业生产总值在三大产业中占比为6%，所以第一产业生产总值为eq \f(262 500,57%)×6%≈27 632(亿元)，所以选项D错误.
16.(2022·绵阳三诊)随着科技进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展.以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；(结果保留整数)
(2)若用y＝menx模型拟合y与x的关系，可得回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝，经计算该模型和第(1)问中模型的R2(R2为相关指数)分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2023年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；
(3)你认为(2)中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由.
参考数据：设u＝ln y，其中ui＝ln yi.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
解 (1)由表中数据得，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，eq \(y,\s\up6(－))＝144，
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝841，
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x3－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x4－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x5－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x6－eq \(x,\s\up6(－)))2
＝(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2＝17.5，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(841,17.5)≈48，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝144－48×3.5＝－24，
∴y关于x的线性回归方程为：eq \(y,\s\up6(^))＝48x－24.
(2)由(1)知，y关于x的线性回归方程为：eq \(y,\s\up6(^))＝48x－24，
当x＝8时，2023年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：
eq \(y,\s\up6(^))＝48×8－24＝360(万辆)；
对于回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝，
当x＝8时，2023年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：eq \(y,\s\up6(^))＝×8＝e3.63×e2.64＝e6.27＝528(万辆).
(3)依题意：eq \(y,\s\up6(^))＝模型和第(1)问中模型的R2(R2为相关指数)分别为0.87和0.71，由于相关指数越接近于1，两个变量之间的关系就越强，相应的拟合程度也越好，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝模型得到的预测值更可靠.
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
样本号i
根部横截面积xi
材积量yi
1
0.04
0.25
2
0.06
0.40
3
0.04
0.22
4
0.08
0.54
5
0.08
0.51
6
0.05
0.34
7
0.05
0.36
8
0.07
0.46
9
0.07
0.42
10
0.06
0.40
总和
0.6
3.9
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(s,\s\up6(－))
eq \(t,\s\up6(－))
10.15
109.94
3.04
0.16
eq \(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))siyi－13eq \(s,\s\up6(－))·eq \(y,\s\up6(－))
13.94
eq \(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))tiyi－13eq \(t,\s\up6(－))·eq \(y,\s\up6(－))
－2.1
eq \(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))seq \\al(2,i)－13eq \(s,\s\up6(－))2
11.67
eq \(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－13eq \(t,\s\up6(－))2
0.21
eq \(∑,\s\up6(13),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－13eq \(y,\s\up6(－))2
21.22
优秀人数
非优秀人数
总计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
总计
130
70
200
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
平台
天数
总计
日销售额不大于8万元
日销售额大于8万元
甲
13
7
20
乙
6
14
20
总计
19
21
40
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
青年人
中年人
总计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
总计
135
45
180
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
年份编号x
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
单价y(元/kg)
18
20
23
25
29
年份
年份代码x
新能源乘用车年销售y(万辆)
2016
1
50
2017
2
78
2018
3
126
2019
4
121
2020
5
137
2021
6
352
eq \(y,\s\up6(－))
144
eq \(u,\s\up6(－))
4.78
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
841
eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(ui－eq \(u,\s\up6(－)))
5.70
e3.63
37.71
e5.94
380
e6.27
528