四川省泸县第五中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题

四川省泸县五中2022-2023学年高二上期期末考试

理科数学

 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回。3.考试时间：120分钟

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题，则为

A．  B．  C．  D．

2．已知直线与垂直，则为

A．2 B． C．-2 D．

3．已知双曲线：的离心率是，则

A．1 B． C． D．

4．双曲线的渐近线方程是

A． B． C． D．

5．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为

A．101 B．808 C．1212 D．2012

6．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为

A．30，8900 B．31，9200 

C．32，9500 D．33，9800

8．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

9．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是

A．2 B．4

C．6 D．8

10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为

A． B． 

C． D．

11．椭圆的左、右焦点分别是，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，，则的值为

A．2 B．3 C．4 D．5

12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线围成的图形的面积是；

②曲线上的任意两点间的距离不超过；

③若是曲线上任意一点，则的最小值是．

其中正确结论的个数为

A． B． C． D．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最大值是_______．

14．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.

15．已知直线恒过定点A，若点A在直线上，则 的最小值为________________.

16．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17．（10分）已知圆C的圆心为，且圆C经过点．

(1)求圆C的一般方程；

(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．

18．（12分）从某学校 的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

（1）求第七组的频率；

（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，事件，求概率．

19．（12分）已知函数，且的解集为.

(1)求的值；

(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.

(1)求证：为的中点；

(2)求二面角的余弦值.

21．（12分）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值．

22．（12分）已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点和，

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若直线l经过点，且的面积为，求直线l的方程；

（3）若直线l的方程为，点关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P､Q两点，求证：为定值.

四川省泸县五中2022-2023学年高二上期末考试

理科数学参考答案：

1．C  2．A  3．B  4．D  5．B   6．A  7．D  8．A  9．B   10．B   11．B  12．C

13．12    14．   15．   16．16

17．(1)解：设圆C的一般方程为．

∵圆C的圆心，∴即又圆C经过点，

∴．解得．

经检验得圆C的一般方程为；

(2)由（1）知圆C的圆心为，半径为5．

∵圆与圆C恰有两条公切线，

∴圆O与圆C相交．∴．

∵，∴．

∴m的取值范围是．

18．：（1）第六组的频率为,所以第七组的频率为

； 4分

（2）身高在第一组[155,160)的频率为，

身高在第二组[160,165)的频率为，

身高在第三组[165,170)的频率为，

身高在第四组[170,175)的频率为，

由于，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则

由得

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为 6分

由直方图得后三组频率为,

所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为人． 8分

（3）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,则有共15种情况，

因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况，故． 10分

由于，所以事件{}是不可能事件，

由于事件和事件是互斥事件，所以 12分

19（1）因为的解集为，且，

所以，且为方程的两根，所以，，

所以，；

（2）由(1)可得，不等式可化为，所以

因为对于任意的，不等式恒成立，

所以对于任意的，不等式恒成立，

即，其中，

因为，其中，

所以当时，取最小值，最小值为，

所以，故实数的取值范围为.

20．（1）在四棱锥中，连接，令，连接，如图，

因平面，平面，且平面平面，则，

又四边形为菱形，则为的中点，

所以为的中点.

（2）由（1）知，而底面，则底面，又底面，即有，

菱形中，，，平面，平面，

平面，则，在平面内过点作于，连接，

而，平面，于是得平面，又平面，则，

因此为二面角的平面角，菱形中，，则，

而，中，，由得，

中，，则，，

所以二面角的余弦值为.

21．(1)抛物线：的准线方程为：，

由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.

(2)由(1)知，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，

直线的方程为：，由消去y并整理得，

设，则，于是得线段PQ中点，同理得，

则，

当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是8.

22．解：（1）由题意得，，

解得，，所以椭圆Γ的方程为.

（2）设点，的坐标为､，由题意可知，直线l的斜率存在

设直线l的方程为.

由方程组，得

所以，

解得.∴直线l的方程为

（3）由题意知点的坐标为

将，代入

得：，

∴，

对于直线，令得∴

对于直线：，令

得

，∴

.