河北省承德市兴隆县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷

2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市年共扶贫人，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    若分式的值是零，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若是分式方程的根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，若，则表示的值的点落在(    )

A. 段 B. 段 C. 段 D. 段

6.    下列四个命题中，真命题有(    )
   两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
   如果和是对顶角，那么．
   一个角的余角一定小于这个角的补角．
   如果和互余，与的余角互补，那么和互补．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.    下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    与结果相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定(    )

A. 带 B. 带 C. 带 D. 带

10. 如图，已知，，，则图中有几对全等三角形(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

11. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知，，那么与的关系为(    )

A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 是的平方根

13. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

14. 下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

15. 如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，在直角梯形中，，，为上一点，且平分，平分，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 计算：______．
18. 已知，，则代数式的值______．
19. 已知直角三角形的三边分别为、、，则______
20. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则______

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
22. 本小题分
    如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：．
     
23. 本小题分
    已知，，满足．
    求，，的值；
    试问以，，为边能否构成直角三角形？请说明理由．
24. 本小题分
    应用题．
    在等腰中，，，点是边上任意一点，连接，过点作于点．
    如图，若，且，求线段的长；
    如图，过点作，且，连接，求证：．
     
25. 本小题分
    随着纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了，两种型号的空气净化器，已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多
    元，用元购进型空气净化器和用元购进型空气净化器的台数相同．
    求一台型空气净化器和一台型空气净化器的进价各为多少元？
    在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎，为了增大型空气净化器的销量，商社电器决定对型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当型空气净化器的售价为元时，每天可卖出台，在此基础上，售价每降低元，每天将多售出台，如果每天商社电器销售型空气净化器的台数为台，请问每天商社电器销售型空气净化器的利润为多少元？
26. 本小题分
    观察下列各式：
    ；；
    ，
    请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
    猜想：____________；
    归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数表示的等式：______；
    应用：计算．
27. 本小题分
    定理的回顾与应用：
    填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到______．
    符号语言：如图，为上的平分线，且______，______．
    解答：
    已知：如图，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，且求证：．
    作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点为的平分线上的点，请你用尺规作图，分别在角的两边上找点、，使得要求保留作图痕迹，不写作法
    思考：如图，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，只写数量关系，不必证明
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故选：．
根据分式值为零的条件可得，且，求出的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
把代入分式方程，得到关于的一元一次方程，通过解新方程求得的值．
【解答】
解：将代入分式方程可得：，
化简得，
解得．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
表示的值的点落在段，
故选：．
把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
正确，因为对顶角相等；
正确，因为一个角的补角比它的余角大；
正确，因为的余角即，则与互补．
所以正确有的三个，
故选：．
根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数．
本题考查命题的知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据平方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是算术平方根的定义，熟知一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故选：．
化简，再逐个选项判断即可．
本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带去．
故选：．
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，，
≌，
，，
，，
≌，
，，，
≌，
全等三角形有对．
故选：．
根据可证≌，根据证明≌，根据可证≌，再根据可证≌．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对、选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
、互为倒数，
故选：．
计算出的值即可作出判断．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与倒数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：、不是勾股数，因为；
B、不是勾股数，因为；
C、是勾股数，因为，且，，是正整数；
D、不是勾股数，因为．
故选：．
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
本题考查了勾股数的概念：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【解答】
解：作一个角等于已知角的方法正确；
作一个角的平分线的作法正确；
作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．  

15.【答案】 

【解析】解；边的垂直平分线交于，交于已知
线段垂直平分线的性质
且等腰三角形的性质
外角性质
．
故选：．
利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，解直角三角形即可得的值．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识；得到是正确解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：、过作于，
，，
，
平分，平分，
，，
，
故选项A正确；
B、，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
故选项B正确；
C、、，，，由勾股定理得：，
同理，
，
故选项C正确，选项D错误；
因为本题选择结论错误的，
故选：．
求出，求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线性质求出，根据勾股定理求出，，即可作判断．
本题考查了直角梯形，角平分线性质，勾股定理，平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
根据立方根的定义，即可解答．
本题考查了立方根，解决本题的关键是理解立方根的定义．
【解答】
解：，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
故答案为：．
由已知等式得出，再代入计算可得．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．
 

19.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．
【解答】
解：分两种情况进行讨论：
两直角边分别为，，由勾股定理得，
一直角边为，一斜边为，由勾股定理得；
故答案为：或．  

20.【答案】 

【解析】

【分析】
此题综合考查全等三角形的性质与判定观察图形可知≌，则与互余，是直角的一半，利用这些关系可解此题．
【解答】
解：观察图形可知：≌，

，
又，
．
，
．
故答案为．  

21.【答案】解：


；


． 

【解析】先进行括号里的加法运算，再算乘法即可；
先进行化简，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的加减法，分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】证明：，点是的中点，
，
，，
≌
． 

【解析】由等腰三角形的性质可得，由“”可证≌，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明≌是本题的关键．
 

23.【答案】解：，
，，，
，，；
，
不能构成直角三角形． 

【解析】利用已知条件以及绝对值的性质确定，，的值即可；
根据三角形的三边关系判断能构成直角三角形．
此题主要考查了绝对值；二次根式；非负数的性质，关键是掌握绝对值、算术平方根和偶次幂具有非负性．
 

24.【答案】解：，，
，
，
，
中，，
，
中，，
，
设，则，

，
，
，
；
证明：，
，
，
，，
≌，
． 

【解析】先求得：，根据直角三角形角的性质可得，再得，设，则，利用勾股定理得：，求得的值，可得的长；
如图，用证明≌即可得答案．
本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明≌是关键．
 

25.【答案】解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为元，元；
设型空气净化器的售价为元，根据题意得，
解得：，
利润为：元，
答：商社电器销售型空气净化器的利润为元． 

【解析】设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用元购进种空气净化器的数量与用元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解；
根据总利润单件利润销量求解即可．
本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．
 

26.【答案】猜想：   ；
归纳：  
应用：
． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
直接利用利用已知条件才想得出答案；
直接利用已知条件规律用为正整数表示的等式即可；
利用发现的规律将原式变形得出答案．

【解答】
解：猜想：；
故答案为：，；

归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用为正整数表示的等式：
；

应用：见答案  

27.【答案】到角的两边距离相等  ，   

【解析】根据定理直接得出结果略；
证明：如图，

作于，作于，
，
平分，
，
在四边形中，，，
，
，
，
，
，
≌，
；
如图，

作射线，交于，作，反向延长，交于，
则；
如图，

当和互补时，，理由如下：
作于，作于，
，
平分，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
≌，
．
根据角平分线性质，写出结果；
作于，作于，证明≌，从而得出结论；
作射线，交于，作，反向延长，交于；
当和互补时，．
本题考查了全等三角形的判定，交平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．