初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.2 黄金分割导学案

黄金分割

【学习目标】

1．经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活的各个领域有价值的运用；

2．会找一条线段的黄金分割点；

3．在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系；

4．通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。

【学习重点】

了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义；

【学习难点】

怎样做一条线段的黄金分割点

【学习过程】

一、问题导学

（一）操作一：

①量出图中线段AB．AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；

②量出图中线段BC的长度，并求出线段BC与AB的比值。

黄金分割的概念：

如图，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割；点B为线段AC的黄金分割点；这个比值为约为0.618，称为黄金比。

（二）操作二：

1．量出该矩形的长和宽的长度，并计算宽与长的比值约是多少？

黄金矩形：若矩形的宽与长的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形。

2．在如图所示的黄金矩形ABCD中，以短边AD为一边作正方形AEFD；量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的比值约是多少？

黄金矩形的性质：

（1）；

（2）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形________________；

（3）如此继续下去，可以得到一串________________。

（三）操作三：

1．请在右边空白处作顶角为36°的等腰三角形ABC；

2．量出底边BC与腰AB的长度，求出的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）

黄金三角形：顶角为______°的_________三角形称为__________________。

3．作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度，求出的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）

黄金三角形的性质：

（1）；

（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是_____________，且点D是线段________的黄金分割点；

（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是___________；如此继续下去，可得到一串__________

二、例题分析

例1：若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？

例2：如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长。

例3：科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm？（精确到0.1cm）

例4．我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽等于多少？（结果保留根号）

例5．如图，正方形ABCD的边长为2．E为AB的中点，点H在BA延长线上，且EH=ED，四边形AFGH是正方形。（1）求AF、DF的长；（2）点F是AD的黄金分割点吗？为什么？

【达标检测】

1．如图的五角星中，与的关系是(   )

A．相等    B．>    C．<    D．不能确定

2．如图，若点C是AB的黄金分割点，AB=1，则AC=_______，BC=______。

3．一条线段的黄金分割点有    个。

4．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37°C）的黄金比值时，人体感到最舒适。这个气温约为_______ °C (精确到1°C)。

5．若已知黄金矩形的长等于10，则这个黄金矩形的宽等于_________。（结果保留根号）

6．如图，在等腰三角形ABC中，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC．

∠ACB的角平分线，BD．CE相交于点O，则图中的黄金三角形有（       ）（A）3个   （B）4个   （C）5个   （D）6个

7．若M、N是线段AB上的两个黄金分割点，且AB=1㎝，则MN≈        ㎝。（精确到0.001）

8．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，则BD：AC=           。

9．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）

9．如右图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。

（1）求AM、DM的长。   

（2）若AM²=AD·DM你能找出图中的黄金分割点吗？

10.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB．若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB．宽为PB的矩形的面积，试比较S1与S2的大小，并说明理由。

11．如图，“黄金矩形”ABCD（即≈0.618）中，依次画正方形①、②、③、④

（1）观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？

（2）设BC=1（单位长度），通过计算，能否验证你的判断？

12．（2014无锡）（1）如图1，Rt △ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC．现以C为圆心、CB为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心，AD长为半径画弧交边AB于E。

求证：。（这个比值叫做AE与AB的黄金比。）

（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形。请以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC。（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注。）