2023年中考数学一轮复习三角形专题《第四节 等腰三角形》专练（通用版）

这是一份2023年中考数学一轮复习三角形专题《第四节 等腰三角形》专练（通用版），共6页。
1. 若等腰三角形的两边长分别为8和5，则这个三角形的周长为( )
A. 21 B. 21或18 C. 20 D. 18
2. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC.若∠ABC＝70°，则∠1的大小为( )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
第2题图 第3题图
3. (全国视野创新题推荐)如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
4. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC等于( )
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
第4题图
5. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为( )
A. 36° B. 54° C. 72°或36° D. 54°或126°
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
第6题图 第7题图
7. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8. 如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②DE＝AD＋CE；③△BDE的周长等于AB与BC的和；④AM＝CM.其中正确的有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①
第8题图
9. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝________°.
10. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝________．
第10题图 第11题图
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝________度．
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
点对线·板块内考点衔接10分钟
1. 如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以AB两点为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )
A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
第1题图 第2题图
2. 如图，直线l1∥l2，且分别与等腰△ABC的两条腰相交，若∠1＝40°，∠2＝86°，则∠B的度数为( )
A. 54° B. 60° C. 63° D. 70°
3. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为____________．
第3题图 第4题图
如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，若AB＝2，则AD的长为________．
5. 如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，连接DE，则图中与∠BAD相等的角，除∠CAE外，还有________(用三个字母表示该角)．
第5题图 第6题图
6. 如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是________．
7. 如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝________度．
第7题图
8. 如图，点D是等边△ABC的边AB上一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE.
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)在点D的运动过程中，你认为∠DAE的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DAE的值．
点对面·跨板块考点迁移 5分钟
1. 若等腰三角形的两边长分别为a和b，且满足|a－4|＋eq \r(8－b)＝0，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16 或 20
2.已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4.且a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是( )
A. 34 B. 30 C. 30或34 D. 30或36
参考答案
第四节 等腰三角形
点对点·本节内考点巩固
1. B
2. C 【解析】由作图可知AC＝AB，又∵∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.∴∠BAC＝40°.∵l1∥l2，∴∠1＝∠BAC＝40°.
3. B 【解析】如解图，①中作∠B的平分线即可；③过点A作BC的垂线即可；④中以A为顶点，AB为一边在三角形内部作一个72°的角即可；只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
第3题解图
4. D 【解析】∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵AB＝BC＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∠BCD＝∠BDC.∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°，∠BDA＋∠BDC＝∠ADC，∴60°＋2∠ADC＝360°，∴∠ADC＝150°.
5. D 【解析】①当△ABC为锐角三角形时，如解图①，AB＝AC，BD⊥AC于点D，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°；②当△ABC为钝角三角形时，如解图②，AB＝AC，BD⊥AC，交CA的延长线于点D，∴∠D＝90°，∵∠ABD＝36°，∴∠BAC＝∠D＋∠ABD＝126°，综上可得，它的顶角为54°或126°.
第5题解图
6. C 【解析】∵DE⊥AC，∠BDE＝140°，∴∠A＝50°，∠DEF＋∠CEF＝90°.∵AB＝AC，∴∠C＝eq \f(180°－50°,2)＝65°，∵EF⊥BC，∴∠C＋∠CEF＝90°.∴∠DEF＝∠C＝65°.
7. D 【解析】∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－36°－72°＝72°，∴AC＝AB，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝eq \f(1,2)∠ACB＝36°，∴AD＝CD.∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝72°.∴CD＝CB，∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个．
8. A 【解析】∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形，故①正确；∴DE＝DM＋EM＝AD＋CE，故②正确；∴△BDE的周长为：BD＋DE＋BE＝DB＋DM＋ME＋BE＝AB＋BC，故③正确；∵∠BAC不一定等于∠BCA，∴∠MAC不一定等于∠MCA，∴MA与MC不一定相等，故④错误．
9. 70 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝eq \f(1,2)×(180°－∠A)＝70°.
10. 30° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.又∵点D是边BC的中点，∴∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝30°.
11. 36 【解析】设∠A＝x，∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABD＝x，∠BDC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.
12. (1)解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
又∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC.
∵∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°－2∠C＝180°－2×36°＝108°，
∴∠BAD＝54°；
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠EBD.
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBD.
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
点对线·板块内考点衔接
1. A 【解析】由题意可知，线段MN为线段AB的垂直平分线，则BD＝AD，∵AB＝AC＝5，BC＝3，∴△BDC的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋DC＋BC＝AC＋BC＝5＋3＝8.
2. C 【解析】如解图，∵∠3＝∠2＝86°，∠5＝∠1＝40°，直线l1∥l2，∴∠4＝180°－∠3＝94°，∴∠A＝∠4－∠5＝54°.∵AB＝AC，∴∠B＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝63°.
第2题解图
3. 34° 【解析】根据作图可知AB＝BD, ∴∠BAD＝∠BDA.∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠BDA ＝70°.∵∠C＝36°，∴∠DAC＝∠BDA－∠C＝70°－36°＝34°.
4. 2eq \r(3) 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝2，∴∠ACD＝120°.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠BAD＝90°.在Rt△ABD中，AD＝eq \r(BD2－AB2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
5. ∠EDC 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°.又∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE＝60°.又∵AD＝AE，∴△DAE是等边三角形，∴∠ADE＝60°.∴∠B＝∠ADE＝60°，∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC.
6. 22.5° 【解析】∵△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′＝45°，AD＝AD′，∴∠ADD′＝∠AD′D＝67.5°，∠BAD′＝∠BAD＋∠CAD′＝90°.∵点D′、D、B三点在同一条直线上，∴∠ABD＝90°－∠AD′D＝22.5°.
7. 60 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°.又∵OD＝OA，∴△AOD为等边三角形，∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝∠BAO＋∠OAC＝∠OAC＋∠CAD＝60°，∴∠BAO＝∠CAD.在△BAO和△CAD中，AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，OA＝AD，∴△BAO≌△CAD(SAS)，∴∠ADC＝∠AOB＝120°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADO＝60°.
8. (1)证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACE＋∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BC＝AC,∠BCD＝∠ACE,CD＝CE))，
∴△BCD≌△ACE(SAS)；
(2)解：不发生变化，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＋∠EAC＝120°.
点对面·跨板块考点迁移
1. C
2. A 【解析】∵等腰三角形三边长分别为a，b，4，∴a＝b或a、b中有一个数为4.当a＝b时，b2－4ac＝(－12)2－4(m＋2)＝0，解得m＝34；∴a＝b＝6，6＋6>4.∴满足条件a、b、4能构成三角形，当a、b中有一个数为4时，∴将x＝4代入方程中得42－12×4＋m＋2＝0，解得m＝30.∴原方程为x2－12x＋32＝0，解得x1＝4，x2＝8.∵4＋4＝8，a，b，4不能构成三角形；综上可得m＝34.