2023年中考数学一轮复习三角形专题《第五节 直角三角形》专练（通用版）

这是一份2023年中考数学一轮复习三角形专题《第五节 直角三角形》专练（通用版），共7页。
1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 7，24，25 B. eq \r(3)，2，eq \r(5) C. 2，5，6 D. 13，14，15
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝3 cm，则下列说法正确的是( )
A. AC＝3 cm B. BC＝6 cm C. AB＝6 cm D. AC＝AD＝3 cm
第2题图 第3题图
3. 如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
4. 若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长是( )
A. 10 B. 10或2eq \r(7) C. 10或8 D. 2eq \r(7)
5. 图①是一个地铁站入口的双翼闸机．如图②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与点B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝ 30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
第5题图
A. (54eq \r(3)＋10) cm B. (54eq \r(2)＋10) cm C. 64 cm D. 54 cm
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E.若∠CAB＝50°，则∠DBE＝________．
第6题图 第7题图
7. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．
8. 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．
第8题图 第9题图
9. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．
10. (全国视野创新题推荐)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________度．
点对线·板块内考点衔接20分钟
1. 如图，点D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，若β＝55°，则α的度数是( )
第1题图
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
2. (全国视野创新题推荐)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，则△ABC的面积为( )
A. 2eq \r(2) B. 4 C. 4eq \r(3) D. 8eq \r(3)
第3题图 第4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72° D. 36°
5. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝( )
A. 125° B. 145° C. 175° D. 190°
第5题图 第6题图
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是( )
A. 1 B. eq \f(3,2) C. 2 D. eq \f(5,2)
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于点P，如果AP＝2，则AC的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第7题图 第8题图
8.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )
A. 4 B. 6 C. 4eq \r(3) D. 8
9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC边上，延长BC至点E，使CE＝eq \f(1,2)BD，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是( )
A. eq \r(13) B. eq \r(17) C. 3 D. 4
第9题图 第10题图
10. 如图，线段OA＝2，OP＝1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：
①AP的最小值是1，最大值是4；②当AP＝2时，△APO是等腰三角形；③当AP＝1时，△APO是等腰三角形；④当AP＝eq \r(3)时，△APO是直角三角形；⑤当AP＝eq \r(5)时，△APO是直角三角形．
其中正确的是( )
A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ③④⑤
11. 如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.
(1)求证：EC＝BD；
(2)若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．

点对面·跨板块考点迁移 2分钟
若直角三角形的两条直角边的和等于12，两条直角边分别为________，使此直角三角形的面积最大．
参考答案
第五节 直角三角形
点对点·本节内考点巩固
1. A 【解析】A、∵72＋242＝252，∴此组数据能作为直角三角形的三边长；B、∵(eq \r(3))2＋22≠(eq \r(5))2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长；C、∵22＋52≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长；D、∵132＋142≠152，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长．
2. C
3. D 【解析】∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得∠B＝∠ACD，∴相等的角一共有5对．
4. B 【解析】设第三边为x，①若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得82＋62＝x2，解得x＝10；②若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得62＋x2＝82，解得x＝2eq \r(7).
5. C 【解析】如解图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，在Rt△ACE中，AE＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×54＝27 cm，同理可得，BF＝27 cm，又∵点A与B之间的距离为10 cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64 cm.
第5题解图
6. 25° 【解析】∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠CAB＝25°，∴∠DBE＝∠CAD＝25°.
7. 4 【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2MC.∵E、F分别为MB、BC的中点，∴EF是△CMB的中位线．又∵EF＝1，∴MC＝2EF＝2.∴AB＝2MC＝4.
8. eq \f(16,5) 【解析】根据勾股定理可知，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋32)＝5.S△ABC＝eq \f(1,2)×3×4＝6.∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(5,2)CD＝6，∴CD＝eq \f(12,5).在Rt△ACD中，AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(42－（\f(12,5)）2)＝eq \f(16,5).
9. eq \r(6)－eq \r(2) 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴BF＝CF.∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝2eq \r(2)，∴AF＝BF＝CF＝eq \r(2).∵两个三角尺大小相同，∴AD＝BC＝2eq \r(2).在Rt△ADF中，FD＝eq \r(AD2－AF2)＝eq \r(（2\r(2)）2－（\r(2)）2)＝eq \r(6).∴CD＝FD－FC＝eq \r(6)－eq \r(2).
第9题解图
10. 60或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°－30°＝60°；②如解图②，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，∴∠BCD＝100°－90°＝10°，综上所述，∠BCD的度数为60°或10°.
第10题解图
点对线·板块内考点衔接
1. B
2. B 【解析】如解图，∵AM＝MN＝2，NB＝1，∴AB＝AM＋MN＋NB＝2＋2＋1＝5. ∵由作法知AC＝4，BC＝3，BC2＋AC2＝32＋42＝52＝AB2，∴△ABC一定是直角三角形．
第2题解图
3. C 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°.∵AB＝4，∴AD＝2，BD＝DC＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2＝4eq \r(3).
第3题解图
4. B 【解析】∵AD为Rt△ABC斜边BC上的中线，∴AD＝CD＝DB＝DF.∵∠B＝36°，∴∠C＝90°－36°＝54°.∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝54°，同理可得∠F＝∠DAF＝54°，∴∠ADF＝180°－54°－54°＝72°，∠EAD＝90°－54°＝36°，∴∠BED＝∠EAD＋∠ADF＝36°＋72°＝108°.
5. C 【解析】如解图，连接DF，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵F为AC的中点，∴DF＝CF＝AF，又∵CD＝CF，∴△CDF为等边三角形，∴∠ACD＝60°.∵∠B＝50°，CE，DE分别平分∠BCD，∠CDB，∴∠CED＝180°－eq \f(1,2)(∠BCD＋∠BDC)＝180°－eq \f(1,2)(180°－∠B)＝115°，∴∠ACD＋∠CED＝60°＋115°＝175°.
第5题解图
6. C 【解析】如解图所示，过点G作GH⊥AC交AC于点H，∴∠ABG＝∠AHG＝90°.由尺规作图可知，AF为∠BAC的平分线，∴BG＝HG＝1.∴S△ACG＝eq \f(1,2)AC·GH＝eq \f(1,2)×4×1＝2.
第6题解图
7. C 【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°.又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C＋∠EBC＝60°，BE＝EC.又∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠AEP＝60°，∴△AEP为等边三角形，则AE＝AP＝2，在Rt△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴EC＝BE＝4，∴AC＝CE＋AE＝6.
8. B 【解析】∵MN∥BC，∴∠NMC＝∠BCM.∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC.∵CM平分∠ACB，∴∠BCM＝∠NCM，∴∠NCM＝∠NMC，∴MN＝NC.在△AMC中，∵∠A＝90°，∴∠AMC＋∠ACM＝90°，∴∠AMN＝∠NMC＝∠NCM＝30°.又∵MN∥BC，∴∠B＝∠AMN＝30°，∴MN＝2AN＝2，AC＝AN＋NC＝1＋2＝3，∴BC＝2AC＝6.
9. A 【解析】如解图，取BD中点G，连接FG，FC，∵点F为AD中点，∴在Rt△ACD中，CF＝DF＝AF，∴∠FCD＝∠FDC.∴∠ECF＝∠GDF.∵CE＝eq \f(1,2)BD，∴DG＝CE.∴△FDG≌△FCE(SAS)．∴EF＝GF.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，∴由勾股定理得，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(16＋36)＝2eq \r(13)，又∵在△ADB中，FG为中位线，∴FG＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(13).∴EF＝eq \r(13).
第9题解图
10. C 【解析】①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2－1＝1，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2＋1＝3，①错误；②当AP＝2时，AP＝AO，则△APO是等腰三角形，②正确；③当AP＝1时，AP＋OP＝OA，△AOP不存在，③错误；④当AP＝eq \r(3)时，AP2＋OP2＝3＋1＝4，OA2＝4，∴AP2＋OP2＝OA2，∴△APO是直角三角形，④正确；⑤当AP＝eq \r(5)时，AP2＝5，OP2＋OA2＝1＋4＝5，∴OP2＋OA2＝AP2，∴△APO是直角三角形，⑤正确．故选C.
11. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°.
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD.
在△CAE与△BCD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CEA＝∠BDC＝90°,∠CAE＝∠BCD,AC＝CB))，
∴△CAE≌△BCD(AAS)．
∴EC＝BD；
(2)由(1)知BD＝CE＝a，CD＝AE＝b.
∴S梯形ABDE＝eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)
＝eq \f(1,2)a2＋ab＋eq \f(1,2)b2.
又∵S梯形ABDE＝S△AEC＋S△BCD＋S△ABC
＝eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2
＝ab＋eq \f(1,2)c2，
∴eq \f(1,2)a2＋ab＋eq \f(1,2)b2＝ab＋eq \f(1,2)c2.
整理得a2＋b2＝c2.
点对面·跨板块考点迁移
6和6 【解析】设直角三角形的一条直角边为x，则另一直角边为12－x.直角三角形的面积是S，则S＝eq \f(1,2)x(12－x)(0＜x＜12)，配方，得S＝－eq \f(1,2)(x－6)2＋18；∴当x＝6时，即两条直角边各为6时，此时直角三角形的面积最大．