数学九年级下册5.1 二次函数教案

5.1　二次函数

教学目标

1．经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；

2．通过对实际问题情境的分析，感受概念的形成过程，理解二次函数是刻画实际问题的有效模型；

3．通过实例分析，体验数学与生活的联系．

教学重点

对二次函数的理解．

教学难点

对于二次函数的条件的理解，以及从实际问题中抽象出二次函数模型.

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

复习旧知

回顾我们学习过的函数？

回顾旧知，尝试写出一次函数、反比例函数表达形式．

回顾已学的函数知识，为二次函数的出现做准备．

问题情境，建立模型

（1）水滴激起的波纹不断向外扩展，请写出

扩大的圆的周长C与半径r之间的函数表达式；

扩大的圆的面积S与半径r之间的函数表达式.

分别写出C、S关于r的函数关系式．

由问题引发学生思考

（2）计划修建一条长为500km的高速公路，写出完成该项目的天数y(天)与日完成量x(km)之间的函数表达式；

写出反比例函数关系

对比引发思考

（3）用16米长的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？你能说清其中的道理吗？

用函数建立数学模型

体会不一样的函数模型

（4）一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有怎样的函数关系？

在这个问题中镜面、边框的费用分别与什么有关？有哪些变量？其中哪些是自变量？

学生讲解：y＝240x2＋180x＋45．

由以上函数关系引发认识冲出

观察思考，生成概念

观察所列式子，它们有什么共同特征？

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．其中x是自变量，y是x的函数．

通常，二次函数的自变量x可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．

　　学生把根据自己的认识水平，把函数分类，类比归纳总结二次函数的概念．

通过类比归纳一次函数和反比例函数，自然引出本节课的学习重点，在概念生成过程中，体会数学思想方法.

概念辨析

下列指出下列二次函数中a、b、c的值．

　学生指出其中的二次函数，并说明不是二次函数的道理.把二次函数化成一般形式，写出a,b，c的值.

进一步理解二次函数的概念.

例题分析，学以致用

例1.          m取何值时，函数 

① y是以x为自变量的二次函数；

② y是以x为自变量的一次函数

你能确定吗？

已知关于x的函数

y=（a2+2a+3）x2+3ax+1，

甲说：此函数不一定是二次函数；

乙说：此函数一定是二次函数；

丙说：此函数是否是二次函数与a的取值有关.

拓展提升 形成能力

例2 如图，用一段6m长的铝合金做一个窗架，三条横杠长都为xm，整个窗架面积为S m2.

(1)写出S与x的函数表达式;

(2)求自变量x的取值范围.

学生思考，交流，叙述问题解答过程.

学生进一步理解二次函数的条件.

建立函数模型，独立思考，小组交流，感受自变量取值范围受到实际条件的限制.

感受分类讨论思想,培养思维的严密性.

通过独立思考，小组讨论解决难点.

问题到函数模型，再由函数模型到实际问题

.突破难点，自变量取值范围.

课堂小结，提升思想

知识层面；

思想层面.

本节课你有哪些收获？

培养学生有条理的表达，对知识进行归纳总结的能力.

当堂检测

1.把二次函数y=2（x-1）2+3化成一般形式，并写出a,b,c的值：

2.当k为何值时，                   

  为二次函数函数.

3.菱形的两条对角线的和为26cm，

  求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

学生当然检测，并且展示自己的答案.

检测本节课的学习效果及目标达成.

课后作业

课本P8习题5.1第1、2、3题．

选做：搜集生活中的有关二次函数的实例.

学生课外作业

学以致用，在生活中感受二次函数的模型.