广西防城港市防城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年广西防城港市防城区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1.    下列几何图形中，是中心对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 矩形 D. 五边形

2.    如图，由所给图形经过旋转不能得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.    用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    小李去参加聚会，每两人之间都互相赠送礼物，最终参加聚会的所有人的礼物总数共件，则参加聚会的人数为(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

6.    抛物线(    )

A. 开口向上，且有最高点 B. 开口向上，且有最低点
C. 开口向下，且有最高点 D. 开口向下，且有最低点

7.    如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    抛物线向右平移一个单位得到的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，此时使点的对应点恰好在边上，点的对应点为，与交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地．设原正方形空地的边长为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，且与轴的一个交点为，下列结论中：；；；其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本题共6小题，共12分）

13. 方程的解为______．
14. 点与点关于原点对称，则的坐标是______ ．
15. 抛物线的对称轴为______．
16. 如图，绕点逆时针旋转得到，则______．

17. 某校为了加强学校“信息化”建设，计划用三年时间对全校的信息化设施和设备进行全面改造和更新，年该校已投资万元人民币，若每年投资的增长率相同，预设年投资万元人民币，那么每年投资的增长率为______．
18. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为______米．

三、解答题（本题共8小题，共72分）

19. 解下列方程：；
    ．
20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于原点成中心对称的；
    写出的顶点坐标；

21. 如图，已知是正方形内一点，，，将绕点旋转至，连结．
    直接写出、的长度和的度数．
    求的长．
    试判断的形状并说明理由．

22. 已知关于的一元二次方程为．
    求证：无论取何值，原方程总有实数根；
    若方程有一个根为，求的值和方程的另一个根．
23. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
    求抛物线解析式；
    求抛物线与轴的交点坐标；
    试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．

24. 晨光文具店的库存中有进货价为元支的钢笔，若这种钢笔以元支售出，平均每月能售出支经过市场调查，如果这种钢笔的售价每支上涨元，其销售量将减少支．
    设每支涨价元，每月售出钢笔的数量为支，请列出与的函数关系式不必写出自变量的取值范围
    若物价部门规定该钢笔的售价不得高于其进价的倍，那么文具店最多涨价多少元？
    在的条件下，为了实现平均每月元的销售利润，则这种钢笔每支的售价应定为多少元？
25. 如图所示，某施工队准备在一面长为米的旧墙旁边建一个矩形储料场，新建墙的总长为米，设的长为米．
    若要使矩形的面积为平方米，求的长为多少米？
    当边的长为多少米时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

26. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
    求二次函数的解析式；
    求的面积；
    该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故正确；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的知识，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；
B、由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；
C、不能由如图图形经过旋转得到；故本选项符合题意；
D、由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；
故选：．
由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
本题考查了旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：．
直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：设共有人参加聚会，则每人需送出件礼物，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
共有人参加聚会．
故选：．
设共有人参加聚会，则每人需送出件礼物，根据最终参加聚会的所有人的礼物总数共件，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，且有最低点．
故选B．
根据二次函数的性质解答．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：旋转角是．
故选：．
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
此函数的顶点坐标为，
故选C．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
本题主要考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为，把点右平移一个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的坐标变换规律得到点平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，不能得到，故选项A不合题意；
，不能得到，故选项D不合题意；
旋转角不一定等于，
不一定等于，
不一定等于，故选项C不合题意；
，
，
由旋转可得，
，故选项B符合题意．
故选：．
根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设原正方形的边长为，依题意有
，
故选：．
可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴，经过，
，，
，，
，
，，
，故错误、正确；
抛物线与轴交于，
，故正确，
，
，故正确，
故选：．
根据二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，比较简单．利用直接开平方法，求解即可．
【解答】
解：开方得，，
即，．
故答案为，．  

14.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
故的坐标是：．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为，
，，
其对称轴是直线．
故答案为：．
先根据抛物线的解析式得出、的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质，即二次函数的对称轴直线．
 

16.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

17.【答案】 

【解析】解：设每年投资的增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
每年投资的增长率为．
故答案为：．
设每年投资的增长率为，利用年的投资金额年的投资金额每年投资的增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线解析式为，
把和代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为，
把代入得，
则水面的宽度是米．
故答案为．
根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
本题考查了二次函数的应用．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】根据因式分解法即可求出答案．
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：如图，为所作；

，，． 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征写出点，，的坐标．然后描点得到．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

21.【答案】解：由旋转的性质知，，，；
由知，，
；
是直角三角形．理由如下：
，，，
，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据旋转的性质进行解答便可；
由勾股定理进行计算便可；
根据勾股定理的逆定理进行解答．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的性质，由旋转的性质证出是等腰直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在方程中，


，
方程总有两个实数根．
解：把代入．
解得，
所以原方程为：
解得：，．
所以的值为，方程的另一个根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
先求出的值，再代入方程求另一个根．
本题考查了根与系数的关系，正确记忆根的判别式、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小． 

【解析】设顶点式，然后把代入求出的值即可；
计算自变量的值为所对应的函数值即可；
根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

24.【答案】解：设每支涨价元，每月售出钢笔的数量为支，
由题意得，．
即与的函数关系式是；
设文具店可涨价元，
则，
．
答：文具店最多涨价元．
设售价上涨元，则销量减少支，
根据题意得：
，
整理，得：，
解得，，
当时，符合题意，
当时，不合题意舍去．
售价应定为元，
答：这种钢笔每支的售价应定为元． 

【解析】设售价上涨元，则销量减少个，可得出答案；
设文具店可涨价元，列出一元一次不等式可得出答案；
由题意得，解方程可得出答案；
本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：设米，则米，
根据题意得：，
解得：，，
，
，
的长为米时，矩形的面积为平方米．
设矩形的面积为平方米，
根据题意得：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，最大值为，
当长为米，矩形的面积最大，最大面积是平方米． 

【解析】设米，则米，根据矩形的面积列出方程，解方程即可；
设矩形的面积为平方米，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和函数关系式．
 

26.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
当时，，
解得，，
，
当时，，
，
的面积；
存在．
设，
与的面积相等，
，
即，
解方程得，，
此时点坐标为或；
解方程得，，
此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或或． 

【解析】把点代入中求出的值，从而得到抛物线解析式；
先解方程得到，再确定，然后利用三角形面积公式计算；
设，根据三角形面积公式得到，然后解方程得到点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．