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河北省承德市兴隆县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份河北省承德市兴隆县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市2017年共扶贫261800人，将261800用科学记数法表示为（ ）
A．2.618×105 B．26.18×104 C．0.2618×106 D．2.618×106
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若分式的值是零，则a的值为（ ）
A．8 B．3 C．﹣8 D．﹣3
4．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝±2 C．＝﹣4 D．﹣＝﹣3
8．与结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定（ ）
A．SAS带③ B．SSS带③ C．ASA带③ D．AAS带③
10．如图，已知，AB＝AC，AE＝AD，则图中有几对全等三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．＝4× D．+＝3
12．（2分）已知a＝﹣1，b＝+1，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
13．（2分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．9，40，41 D．，，
14．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（ ）
A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm
16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE
二、填空题。（本大题共4个小题，4个空，每空3分，共12分。把答案写在题中横线上）
17．计算：＝ ．
18．已知a2﹣2ab﹣b2＝0，（a≠0，b≠0），则代数式的值 ．
19．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ ．
20．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ °．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2．
23．（9分）已知a，b，c满足|a﹣|++（c﹣）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
24．（9分）应用题．
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接BF，求证：AE＝BF．
25．（11分）随着纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多
300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的台数为8台，请问每天商社电器销售B型空气净化器的利润为多少元？
26．（9分）观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算．
27．（12分）定理的回顾与应用：
（1）填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 ．
符号语言：∵如图1，OP为∠COD上的平分线，且 ，∴ ．
（2）解答：
已知：如图2，∠AOB＝60°，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，且∠CPD＝120°．求证：PC＝PD．
（3）作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P为∠AOB的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点C、D，使得PC＝PD（要求保留作图痕迹，不写作法）
（4）思考：如图4，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，当∠OCP与∠ODP有怎样的数量关系时，PC＝PD．（只写数量关系，不必证明）
2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题。（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市2017年共扶贫261800人，将261800用科学记数法表示为（ ）
A．2.618×105 B．26.18×104 C．0.2618×106 D．2.618×106
【解答】解：261800＝2.168×105
故选：A．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．若分式的值是零，则a的值为（ ）
A．8 B．3 C．﹣8 D．﹣3
【解答】解：由题意得：a﹣8＝0，且a+3≠0，
解得：a＝8．
故选：A．
4．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【解答】解：将x＝4代入分式方程可得：＝，
化简得＝1，
解得a＝6．
故选：A．
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【解答】解：∵＝3，
∴a＝3b，
∴＝＝＝﹣，
∴表示的值的点落在段②，
故选：B．
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
（2）正确，因为对顶角相等；
（3）正确，因为一个角的补角比它的余角大90°；
（4）正确，因为∠3的余角即∠1，则∠1与∠2互补．
所以正确有的三个，
故选：C．
7．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝±2 C．＝﹣4 D．﹣＝﹣3
【解答】解：A、＝3，故本选项正确；
B、＝2≠±2，故本选项错误；
C、＝4≠﹣4，故本选项错误；
D、﹣＝3≠﹣3，故本选项错误．
故选：A．
8．与结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
【解答】解：＝＝＝2，
∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；
∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；
∵3+2+1＝6，故C不符合题意；
∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合题意．
故选：A．
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定（ ）
A．SAS带③ B．SSS带③ C．ASA带③ D．AAS带③
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
10．如图，已知，AB＝AC，AE＝AD，则图中有几对全等三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【解答】解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，
∴△BOE≌△COD，
∴OB＝OC，OE＝OD，
∴BD＝CE，∠EBD＝∠ECD，
∴△BD≌△DCE，
∵CB＝CB，EC＝DB，BE＝CD，
∴△EBC≌△DCB，
∴全等三角形有4对．
故选：B．
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．＝4× D．+＝3
【解答】解：A． ×＝＝，所以A选项不符合题意；
B． 与不能合并，所以B选项不符合题意；
C． ＝＝2，所以C选项不符合题意；
D． +＝2+＝3，所以D选项符合题意；
故选：D．
12．（2分）已知a＝﹣1，b＝+1，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【解答】解：∵ab＝（+1）（﹣1）＝1，
∴a、b互为倒数，
故选：B．
13．（2分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．9，40，41 D．，，
【解答】解：A、不是勾股数，因为（）2+（）2≠（）2；
B、不是勾股数，因为（32）2+（42）2≠（52）2；
C、是勾股数，因为92+402＝412，且9，40，41是正整数；
D、不是勾股数，因为（）2+（）2≠（）2．
故选：C．
14．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（ ）
A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm
【解答】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC＝30°（外角性质）
∴AC＝AD＝6.5cm．
故选：B．
16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE
【解答】解：A、过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE，
故选项A正确；
B、∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠EDC＝∠ADC，∠DCE＝∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE＝×180°＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥CE，
故选项B正确；
C、D、∵∠A＝∠DFE＝90°，DE＝DE，AE＝EF，由勾股定理得：AD＝DF，
同理BC＝CF，
∴CD＝CF+DF＝AD+BC，
故选项C正确，选项D错误；
因为本题选择结论错误的，
故选：D．
二、填空题。（本大题共4个小题，4个空，每空3分，共12分。把答案写在题中横线上）
17．计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．已知a2﹣2ab﹣b2＝0，（a≠0，b≠0），则代数式的值 ﹣2 ．
【解答】解：∵a2﹣2ab﹣b2＝0，
∴b2﹣a2＝﹣2ab，
则＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
19．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ 10或 ．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x＝＝10，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x＝＝2；
故答案为：10或2．
20．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝x；
（2）
＝4
＝14．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠1＝∠2．
23．（9分）已知a，b，c满足|a﹣|++（c﹣）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【解答】解：（1）∵|a﹣|++（c﹣）2＝0，
∴a﹣＝0，（b﹣5）2＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝5，c＝3；
（2）∵（2）2+（3）≠52，
∴不能构成直角三角形．
24．（9分）应用题．
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接BF，求证：AE＝BF．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
Rt△ACE中，CE＝1，
∴AC＝2CE＝2，
Rt△CED中，∠ECD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝2ED，
设ED＝x，则CD＝2x，
∴CE＝x
∴x＝1，
∴x＝，
∴CD＝2x＝，
∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD＝2﹣；
（2）证明：∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACB﹣∠ECD＝∠ECF﹣∠ECD，
∴∠ACE＝∠BCF，
∵AC＝BC，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
25．（11分）随着纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多
300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的台数为8台，请问每天商社电器销售B型空气净化器的利润为多少元？
【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得，＝，
解得：x＝1200，
经检验x＝1200是原方程的根，
则x+300＝1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为a元，根据题意得1800﹣a＝4×50，
解得：a＝1600，
利润为：（1600﹣1200）×8＝3200（元），
答：商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元．
26．（9分）观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ 1+﹣ ＝ 1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+﹣＝ ；
③应用：计算．
【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；
③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
27．（12分）定理的回顾与应用：
（1）填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 到角的两边距离相等 ．
符号语言：∵如图1，OP为∠COD上的平分线，且 PC⊥OC，PD⊥OD ，∴ PC＝PD ．
（2）解答：
已知：如图2，∠AOB＝60°，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，且∠CPD＝120°．求证：PC＝PD．
（3）作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P为∠AOB的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点C、D，使得PC＝PD（要求保留作图痕迹，不写作法）
（4）思考：如图4，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，当∠OCP与∠ODP有怎样的数量关系时，PC＝PD．（只写数量关系，不必证明）
【解答】（1）根据定理直接得出结果（略）；
（2）证明：如图1，
作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，
∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF，
在四边形EOFP中，∠AOB＝60°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF＝360°﹣60°﹣2×90°＝120°，
∵∠CPD＝120°，
∴∠CPD＝∠EPF，
∴∠CPD﹣∠EPD＝∠EPF﹣∠EPD，
∴∠CPE＝∠DPF，
∴△PEC≌△PFD（ASA），
∴PC＝PD；
（3）如图2，
作射线PC，交OA于C，作∠PCN＝∠AOB，反向延长NP，交OB于D，
则PC＝PD；
（4）如图3，
当∠ODP和∠OCP互补时，PC＝PD，理由如下：
作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，
∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF，
在四边形EOFP中，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝360°﹣2×90°＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，
∴∠CPD＝∠EPF，
∴∠CPD﹣∠EPD＝∠EPF﹣∠EPD，
∴∠CPE＝∠DPF，
∴△PEC≌△PFD（ASA），
∴PC＝PD．
2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市2017年共扶贫261800人，将261800用科学记数法表示为（ ）
A．2.618×105 B．26.18×104 C．0.2618×106 D．2.618×106
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若分式的值是零，则a的值为（ ）
A．8 B．3 C．﹣8 D．﹣3
4．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝±2 C．＝﹣4 D．﹣＝﹣3
8．与结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定（ ）
A．SAS带③ B．SSS带③ C．ASA带③ D．AAS带③
10．如图，已知，AB＝AC，AE＝AD，则图中有几对全等三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．＝4× D．+＝3
12．（2分）已知a＝﹣1，b＝+1，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
13．（2分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．9，40，41 D．，，
14．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（ ）
A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm
16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE
二、填空题。（本大题共4个小题，4个空，每空3分，共12分。把答案写在题中横线上）
17．计算：＝ ．
18．已知a2﹣2ab﹣b2＝0，（a≠0，b≠0），则代数式的值 ．
19．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ ．
20．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ °．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2．
23．（9分）已知a，b，c满足|a﹣|++（c﹣）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
24．（9分）应用题．
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接BF，求证：AE＝BF．
25．（11分）随着纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多
300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的台数为8台，请问每天商社电器销售B型空气净化器的利润为多少元？
26．（9分）观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算．
27．（12分）定理的回顾与应用：
（1）填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 ．
符号语言：∵如图1，OP为∠COD上的平分线，且 ，∴ ．
（2）解答：
已知：如图2，∠AOB＝60°，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，且∠CPD＝120°．求证：PC＝PD．
（3）作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P为∠AOB的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点C、D，使得PC＝PD（要求保留作图痕迹，不写作法）
（4）思考：如图4，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，当∠OCP与∠ODP有怎样的数量关系时，PC＝PD．（只写数量关系，不必证明）
2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题。（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市2017年共扶贫261800人，将261800用科学记数法表示为（ ）
A．2.618×105 B．26.18×104 C．0.2618×106 D．2.618×106
【解答】解：261800＝2.168×105
故选：A．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．若分式的值是零，则a的值为（ ）
A．8 B．3 C．﹣8 D．﹣3
【解答】解：由题意得：a﹣8＝0，且a+3≠0，
解得：a＝8．
故选：A．
4．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【解答】解：将x＝4代入分式方程可得：＝，
化简得＝1，
解得a＝6．
故选：A．
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【解答】解：∵＝3，
∴a＝3b，
∴＝＝＝﹣，
∴表示的值的点落在段②，
故选：B．
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
（2）正确，因为对顶角相等；
（3）正确，因为一个角的补角比它的余角大90°；
（4）正确，因为∠3的余角即∠1，则∠1与∠2互补．
所以正确有的三个，
故选：C．
7．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝±2 C．＝﹣4 D．﹣＝﹣3
【解答】解：A、＝3，故本选项正确；
B、＝2≠±2，故本选项错误；
C、＝4≠﹣4，故本选项错误；
D、﹣＝3≠﹣3，故本选项错误．
故选：A．
8．与结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
【解答】解：＝＝＝2，
∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；
∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；
∵3+2+1＝6，故C不符合题意；
∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合题意．
故选：A．
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定（ ）
A．SAS带③ B．SSS带③ C．ASA带③ D．AAS带③
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
10．如图，已知，AB＝AC，AE＝AD，则图中有几对全等三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【解答】解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，
∴△BOE≌△COD，
∴OB＝OC，OE＝OD，
∴BD＝CE，∠EBD＝∠ECD，
∴△BD≌△DCE，
∵CB＝CB，EC＝DB，BE＝CD，
∴△EBC≌△DCB，
∴全等三角形有4对．
故选：B．
11．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．＝4× D．+＝3
【解答】解：A． ×＝＝，所以A选项不符合题意；
B． 与不能合并，所以B选项不符合题意；
C． ＝＝2，所以C选项不符合题意；
D． +＝2+＝3，所以D选项符合题意；
故选：D．
12．（2分）已知a＝﹣1，b＝+1，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【解答】解：∵ab＝（+1）（﹣1）＝1，
∴a、b互为倒数，
故选：B．
13．（2分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．9，40，41 D．，，
【解答】解：A、不是勾股数，因为（）2+（）2≠（）2；
B、不是勾股数，因为（32）2+（42）2≠（52）2；
C、是勾股数，因为92+402＝412，且9，40，41是正整数；
D、不是勾股数，因为（）2+（）2≠（）2．
故选：C．
14．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（ ）
A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm
【解答】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC＝30°（外角性质）
∴AC＝AD＝6.5cm．
故选：B．
16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE
【解答】解：A、过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE，
故选项A正确；
B、∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠EDC＝∠ADC，∠DCE＝∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE＝×180°＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥CE，
故选项B正确；
C、D、∵∠A＝∠DFE＝90°，DE＝DE，AE＝EF，由勾股定理得：AD＝DF，
同理BC＝CF，
∴CD＝CF+DF＝AD+BC，
故选项C正确，选项D错误；
因为本题选择结论错误的，
故选：D．
二、填空题。（本大题共4个小题，4个空，每空3分，共12分。把答案写在题中横线上）
17．计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．已知a2﹣2ab﹣b2＝0，（a≠0，b≠0），则代数式的值 ﹣2 ．
【解答】解：∵a2﹣2ab﹣b2＝0，
∴b2﹣a2＝﹣2ab，
则＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
19．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝ 10或 ．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x＝＝10，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x＝＝2；
故答案为：10或2．
20．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 °．
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝x；
（2）
＝4
＝14．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠1＝∠2．
23．（9分）已知a，b，c满足|a﹣|++（c﹣）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【解答】解：（1）∵|a﹣|++（c﹣）2＝0，
∴a﹣＝0，（b﹣5）2＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝5，c＝3；
（2）∵（2）2+（3）≠52，
∴不能构成直角三角形．
24．（9分）应用题．
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接BF，求证：AE＝BF．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
Rt△ACE中，CE＝1，
∴AC＝2CE＝2，
Rt△CED中，∠ECD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝2ED，
设ED＝x，则CD＝2x，
∴CE＝x
∴x＝1，
∴x＝，
∴CD＝2x＝，
∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD＝2﹣；
（2）证明：∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACB﹣∠ECD＝∠ECF﹣∠ECD，
∴∠ACE＝∠BCF，
∵AC＝BC，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
25．（11分）随着纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多
300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的台数为8台，请问每天商社电器销售B型空气净化器的利润为多少元？
【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得，＝，
解得：x＝1200，
经检验x＝1200是原方程的根，
则x+300＝1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为a元，根据题意得1800﹣a＝4×50，
解得：a＝1600，
利润为：（1600﹣1200）×8＝3200（元），
答：商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元．
26．（9分）观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ 1+﹣ ＝ 1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+﹣＝ ；
③应用：计算．
【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；
③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
27．（12分）定理的回顾与应用：
（1）填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 到角的两边距离相等 ．
符号语言：∵如图1，OP为∠COD上的平分线，且 PC⊥OC，PD⊥OD ，∴ PC＝PD ．
（2）解答：
已知：如图2，∠AOB＝60°，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，且∠CPD＝120°．求证：PC＝PD．
（3）作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P为∠AOB的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点C、D，使得PC＝PD（要求保留作图痕迹，不写作法）
（4）思考：如图4，OP为∠AOB的平分线，以点P为顶点的∠CPD与角的两边相交于点C、D，当∠OCP与∠ODP有怎样的数量关系时，PC＝PD．（只写数量关系，不必证明）
【解答】（1）根据定理直接得出结果（略）；
（2）证明：如图1，
作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，
∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF，
在四边形EOFP中，∠AOB＝60°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF＝360°﹣60°﹣2×90°＝120°，
∵∠CPD＝120°，
∴∠CPD＝∠EPF，
∴∠CPD﹣∠EPD＝∠EPF﹣∠EPD，
∴∠CPE＝∠DPF，
∴△PEC≌△PFD（ASA），
∴PC＝PD；
（3）如图2，
作射线PC，交OA于C，作∠PCN＝∠AOB，反向延长NP，交OB于D，
则PC＝PD；
（4）如图3，
当∠ODP和∠OCP互补时，PC＝PD，理由如下：
作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，
∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF，
在四边形EOFP中，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝360°﹣2×90°＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，
∴∠CPD＝∠EPF，
∴∠CPD﹣∠EPD＝∠EPF﹣∠EPD，
∴∠CPE＝∠DPF，
∴△PEC≌△PFD（ASA），
∴PC＝PD．
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