海南省省直辖县级行政单位临高县2022-2023学年九年级上学期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年海南省临高县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.    如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    方程的解为(    )

A.  B. ，
C. ， D.

5.    方程是关于的一元二次方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.    若点是抛物线的顶点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D. 且

8.    将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为(    )

A.   B.  
C.  D.  

9.    二次函数与轴的交点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

11. 如果关于的一元二次方程的两根分别为、，那么这个一元二次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在菱形中，，，是上的任意一点，过点作，与菱形的两条边分别交于点、设，，则下列图象能大致反映与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 抛物线与轴的交点坐标是______．
14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
15. 从正方形的铁皮上截去宽的一条长方形，余下的面积为，则原来正方形铁皮的面积为______．
16. 已知二次函数的图象如图所示，它与轴的两个交点分别为，对于下列命题：；；；其中正确的有______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    用配方法证明的值不小于．
19. 本小题分
    如图，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出向左平移个单位长度后得到的；
    请画出关于原点对称的；
    在轴上求作一点，使得的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．请使用铅笔和直尺画图

20. 本小题分
    如图，在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转，点落在点处，求的长度．

21. 本小题分
    某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．
    设每件童装降价元时，每天可销售______件，每件盈利______元；用的代数式表示
    每件童装降价多少元时，平均每天赢利元．
    要想平均每天赢利元，可能吗？请说明理由．
22. 本小题分
    如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
    求该抛物线所对应的函数关系式；
    求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
    若点是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
方程化为一般形式后，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】

解：方程整理得：，
则二次项系数和一次项系数分别为，．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，，
，，
．
故选：．
根据旋转的性质、旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，以此即可求解．
本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质得出，是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故选：．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：由一元二次方程的定义可得，解得：故选B．
本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为据此即可求解．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
即点的坐标为，
故选：．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以写出顶点坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
即的取值范围为：且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象与轴有两个交点．
故选：．
根据与零的关系即可判断出二次函数的图象与轴交点的个数．
本题考查二次函数的图象与轴交点的个数的判断，正确利用判别式来进行判断是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象可知图象与轴交点坐标为，，
当时，自变量的取值范围是，
故选：．
先求出抛物线与轴的交点，再结合图象得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练运用二次函数性质解决问题是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程两根分别为，，
则，，
，，
原方程为．
故选：．
由根与系数的关系求得，的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

在菱形中，，，
，，，
，
，
当时，
，
∽，
，即，解得，
同理可得，当时，．
故选：．
由，可证∽，利用相似三角形对应边上高线的比等于相似比，得出函数关系式，判断函数图象．
本题考查了动点问题的函数图象．关键是根据图形，利用相似三角形的性质得出分段函数关系式．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入得，
所以抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
根据轴上点的坐标特征，求自变量为时的函数值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令或即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案是：．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长是，根据题意得：
，
解得舍去，，
那么原正方形铁片的面积是．
故答案为：．
可设正方形的边长是，根据“余下的面积是”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程应用以及矩形及正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则抛物线与交与负半轴，则，
对称轴：，
它与轴的两个交点分别为，，
对称轴是，
，
，
故错误；
，
，
，
，故错误；
，
，
，
又由得，
，
故正确；
根据图示知，当时，，
，
由知，，
；
故正确；
综上所述，正确的结论是：，
故答案为：
首先根据二次函数图象开口方向可得，根据图象与轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合图象与轴的交点可得对称轴为，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合的取值可判定出，根据、、的正负即可判断出的正误；利用，求出，即可判断出的正误；利用当时，，则，由知，，得出，即可判断出的正误．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
 

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
无论取何值，，
，
即的值不小于． 

【解析】先对代数式进行配方，然后根据配方后的形式，再根据这一性质即可证得．
配方不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于判断代数式的值或判断代数式的符号，应重点掌握．
 

19.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示，．
 

【解析】根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图在直角中，，则
则． 

【解析】在中利用勾股定理即可求得的长度，，据此即可求解．
本题考查了考察了旋转的性质，正确理解是关键．
 

21.【答案】解：，；
根据题意，得：，
化简得：，
即，
解得：，，
答：每件童装降价元或元时，平均每天赢利元；
不能，理由如下：
令，
化简得：，
，
方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利元． 

【解析】

【分析】
根据：销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可；
根据：总利润每件利润销售数量，列方程求解可得；
根据中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
【解答】
解：设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，即元，
故答案为：，；
见答案；
见答案．  

22.【答案】解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

抛物线的对称轴为，
当时，，
即顶点坐标为；

设点，
而点、的坐标分别为、，
当是平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
即点；
当是平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
即点；
当是平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
即点；
综上，点的坐标为或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，，即可求解；
当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当是平行四边形的对角线时，同理可解．
本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．