江苏省扬州市宝应县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份江苏省扬州市宝应县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上)
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S四边形BDEC的值是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C′D'，已知OA：AA′＝1：2，若四边形ABCD的周长是2，则四边形A'B'C′D'的周长是（　　）

A．4 B．6 C．16 D．18
5．（3分）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（　　）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
6．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ，当∠ADQ＝90°时，AQ的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．5
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）已知10是关于x的一元二次方程2x2﹣mx+50＝0的一个根，则m＝　 　．
10．（3分）在比例尺为l：100的工程规划图上，量得东阳大桥两端的图上距离是140cm，则东阳大桥两端实际距离为 　 　m．
11．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
12．（3分）圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的侧面积是 　 　．（结果保留π）
13．（3分）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 　 　．
14．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A、B不重合，若∠C＝26°，则∠P的度数为 　 　°．

15．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 　 　°．

16．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为5米，则汽车到观测点的距离约为 　 　米．

17．（3分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为4的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　．
18．（3分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则该矩形与AB相邻的另一条边长是 　 　．

三.解答题(本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．（8分）解方程：
（1）x2+4x+2＝0；
（2）（x+2）（x+1）＝2x+4．
20．（8分）已知关于x的方程4x2+4mx+7m＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）若m满足方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0，试判断方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0的根的情况．
21．（8分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）填好表格中所缺的数据：
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
　 　
1.16
（2）班
　 　
　 　
8
1.56
（2）从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

22．（8分）小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．
（1）小明从A通道进馆的概率是 　 　；
（2）用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道A与通道D的概率．
23．（10分）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是6cm．
（1）如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC，沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）如图2，DE是弦，小明将半圆形纸片沿弦DE折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形ODCE，试判断四边形ODCE的形状，请说明理由并求出它的边长．


24．（10分）如图，在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使四周绿地等宽，其中花圃面积是矩形面积的一半，求花圃四周绿地的宽应为多少m？

25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：直线FE是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，∠F＝30°，求劣弧BD的长．

26．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若BC＝6，CD＝8，求BN的长．

27．（12分）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
（1）如图1，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，线段AD、CD与⊙O交于点E、F，试猜想∠B+∠D　 　180°（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
（2）如图2，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
（3）如图3，凸四边形ABCD中，对角线BD长为6，∠A＝30°，∠C＝150°，则四边形ABCD面积的最大值是 　 　．


28．（12分）（1）如图1，在△ABC中，点D是BC上的一点，E、F分别为AB、AC上的点且EF∥BC，AD交EF于点G．
①求证：；
②如图2，连结CE、CG，若BD＝CD，CG⊥EF，CE＝6，AF＝3，求的值；
（2）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F，若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝6，求BF的长．



2022-2023学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上)
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
2．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+91×50%＝91.5（分）．
答：小强这学期的体育成绩是91.5分．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S四边形BDEC的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，由S△ADE+S四边形BDEC＝S△ABC，以此即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴，
∵S△ADE+S四边形BDEC＝S△ABC，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
4．（3分）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C′D'，已知OA：AA′＝1：2，若四边形ABCD的周长是2，则四边形A'B'C′D'的周长是（　　）

A．4 B．6 C．16 D．18
【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD的周长：四边形A'B'C′D'的周长＝1：3，
∵四边形ABCD的周长是2，
∴四边形A'B'C′D'的周长为6，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5．（3分）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（　　）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
6．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
7．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB＝π，再根据三角形面积公式求出S△AOB＝，进而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，

由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB＝＝π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝，
∴S△AOB＝＝，
∴阴影部分的面积为：π﹣；
故选：B．
【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ，当∠ADQ＝90°时，AQ的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．5
【分析】以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q′和Q，连接AQ，根据题意可得AB＝6，CD⊥AB，CD＝AD＝3，根据分析图中AQ即为所求的最大值，在Rt△ADQ中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q′和Q，连接AQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝6，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD＝，
∵CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴点Q在以点C为圆心，CP为半径的圆上，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q三点共线，
由图可知，Q可能在线段CD上，也可能在CD延长线上，
要求AQ的最大值，即求图中AQ的长，
∵CD＝AD＝3，
∴QD＝CD+CQ＝3+1＝4，
在Rt△ADQ中，
由勾股定理得AQ＝，
∴AQ的最大值为5．

故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当∠ADQ＝90°时，点Q有两种情况，并找出AQ的最大值是解题关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）已知10是关于x的一元二次方程2x2﹣mx+50＝0的一个根，则m＝　25　．
【分析】根据题意可得：把x＝10代入方程2x2﹣mx+50＝0中得：2×102﹣10m+50＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝10代入方程2x2﹣mx+50＝0中得：
2×102﹣10m+50＝0，
解得：m＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
10．（3分）在比例尺为l：100的工程规划图上，量得东阳大桥两端的图上距离是140cm，则东阳大桥两端实际距离为 　140　m．
【分析】要求东阳大桥两端实际距离是多少米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可．
【解答】解：根据题意得：140÷＝14000（厘米），
14000厘米＝140米；
即东阳大桥两端实际距离为140米．
故答案为：140．
【点评】此题考查比例线段，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
11．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　1　．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．
12．（3分）圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的侧面积是 　15π　．（结果保留π）
【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面半径是：＝3，
圆锥的底面周长是：2×3π＝6π，
则×6π×5＝15π．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
13．（3分）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 　或﹣．　．
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，可得（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝或t＝．
故答案为：或﹣．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
14．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A、B不重合，若∠C＝26°，则∠P的度数为 　38　°．

【分析】连接OA，根据圆周角定理计算即可计算出∠AOP的度数，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠P的度数．
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝26°，
∴∠AOP＝2∠C＝52°，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝38°，
故答案为：38．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 　72　°．

【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CDE＝＝108°，
∵四边形CDEF是⊙O外接四边形，
∴∠EFC+∠CDE＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
16．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为5米，则汽车到观测点的距离约为 　100　米．

【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为5米，
∴横向距离大约是10米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为100米．
故答案为：100．
【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
17．（3分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为4的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　4﹣2　．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝BC，
∴AC＝BC＝×4＝2，
∵S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC•OP+BC•ON+AB•OM＝S△ABC＝AC•BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴2x+2x+4x＝2×2，
解得x＝2﹣2，
即OP＝ON＝2﹣2，
在Rt△CON中，OC＝ON＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
18．（3分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则该矩形与AB相邻的另一条边长是 　或12或　．

【分析】连接BD，由勾股定理求得BD，再根据勾股定理的逆定理得∠BCD＝90°，根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：连接BD，

∵∠A＝90°，AD＝2，AB＝9，
∴BD2＝22+92＝85，
∵BC＝7，CD＝6，
∴BC2+CD2＝72+62＝85，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠ACB＝90°，
如图所示，

由已知可得，△DFE∽△ECB，
则，
设DF＝x，CE＝y，
则，
解得，
∴AF＝2+x＝2+＝；
如图所示，

由已知可得，△DCF∽△FEB，
则，
设FC＝m，FD＝n，
则，
解得，
∴AF＝2+n＝2+10＝12；
如图3所示，

由已知可得，△DCF∽△CBE，
则，
设FC＝a，FD＝b，
则，
解得，
∴AF＝2+b＝；
∴该矩形与AB相邻的另一条边长是或12或，
故答案为：或12或．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
三.解答题(本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．（8分）解方程：
（1）x2+4x+2＝0；
（2）（x+2）（x+1）＝2x+4．
【分析】（1）方程移项后，两边加上4变形，开方即可求出解；
（2）方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝2，即（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）方程变形得：（x+2）（x+1）＝2（x+2），
移项变形得：（x+2）（x+1﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
20．（8分）已知关于x的方程4x2+4mx+7m＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）若m满足方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0，试判断方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0的根的情况．
【分析】（1）关于x的方程4x2+4mx+7m＝0有两个相等的实数根，则Δ＝0，据此列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值．
（2）根据m的值，求出方程，然后判断Δ的正负，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+4mx+7m＝0有两个相等的实数根，则
Δ＝（4m）2﹣4×4×7m＝0，即16m2﹣16×7m＝0，
解得m＝0或m＝7；
故m的值为0或7；
（2）∵m满足方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0，
∴当m＝0时，方程为y2+2y+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，此时方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0无实数根；
当m＝7时，方程为y2﹣5y+4＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×4＝9＞0，此时方程y2﹣（m﹣2）y+4＝0有两个相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
21．（8分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）填好表格中所缺的数据：
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
　8　
1.16
（2）班
　8　
　9　
8
1.56
（2）从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

【分析】（1）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；
（2）根据方差越小，数据分布越均匀即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
则（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
（2）班的平均数是：＝8（分），
9分出现的最多，则（2）班的众数是9分，
把（1）班的成绩从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则（1）的中位数是＝8（分）．
故答案为：8，8，9；

（2）因为（1）班的方差小于（2）的方差，
所以（2）班的成绩更均匀．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
22．（8分）小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．
（1）小明从A通道进馆的概率是 　　；
（2）用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道A与通道D的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：（1）小明从A通道进馆的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图如下所示，

由上可得，一共有6种可能性，其中恰好经过通道A与通道D的可能性有1种，
∴恰好经过通道A与通道D的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
23．（10分）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是6cm．
（1）如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC，沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 　直角　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）如图2，DE是弦，小明将半圆形纸片沿弦DE折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形ODCE，试判断四边形ODCE的形状，请说明理由并求出它的边长．


【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，即可解答；
（2）连接OC，根据折叠的性质可得：DO＝DC，EO＝EC，再结合半径相等可得DO＝DC＝CE＝OE，从而利用菱形的判定方法可得四边形ODCE是菱形，即可解答．
【解答】解：（1）∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）四边形ODCE是菱形，
理由：如图：连接OC，

由折叠得：
DO＝DC，EO＝EC，
∵OD＝OC＝OE，
∴DO＝DC＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形，
∵直径AB的长是6cm，
∴OA＝OD＝AB＝3（cm），
∴菱形的边长为3cm．
【点评】本题考查了圆周角定理，翻折变换（折叠问题），熟练掌握圆周角定理，以及折叠的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使四周绿地等宽，其中花圃面积是矩形面积的一半，求花圃四周绿地的宽应为多少m？

【分析】设花圃四周绿地的宽为xm，则花圃为长（32﹣2x）m，宽（24﹣2x）m的矩形，根据花圃面积是矩形面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设花圃四周绿地的宽为xm，则花圃为长（32﹣2x）m，宽（24﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（32﹣2x）（24﹣2x）＝×32×24，
整理得：x2﹣28x+96＝0，
解得：x1＝4，x2＝24（不符合题意，舍去）．
答：花圃四周绿地的宽应为4m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：直线FE是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，∠F＝30°，求劣弧BD的长．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，等量代换得到∠ODB＝∠C，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到OD＝OF，进而求出OD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线FE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE⊥OD，∠F＝30°，
∴∠DOB＝60°，OD＝OF，
∴OD＝AF＝2，
∴劣弧BD的长为：＝π．

【点评】本题考查的是切线的判定、弧长的计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若BC＝6，CD＝8，求BN的长．

【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝8，得出BD＝10，由BD2＝AD•CD得出AD＝，
由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝，通过证明△MNB∽△CND，可得＝，
即可求BN的长．
【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴，
∴BD2＝AD•CD
（2）∵∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝8，
∴BD＝＝10，
∵BD2＝AD•CD，
∴AD＝，
∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND，
∴＝，
∴＝，
∴BN＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
27．（12分）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
（1）如图1，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，线段AD、CD与⊙O交于点E、F，试猜想∠B+∠D　＜　180°（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
（2）如图2，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
（3）如图3，凸四边形ABCD中，对角线BD长为6，∠A＝30°，∠C＝150°，则四边形ABCD面积的最大值是 　36　．


【分析】（1）四边形ABCE为圆O的内接四边形，则∠B+∠AEC＝180°，在△CED中，∠AEC＞∠D，即可求解；
（2）延长AD交圆O于点E，则∠B+∠E＝180°，在△CDE中，∠ADC＞∠E，即可求解；
（3）由四边形ABCD面积＝×BD×AM+＝BD×（AM+CN）知，当A、M、N、C共线且AC为圆的直径时，四边形ABCD面积最大，进而求解．
【解答】解：（1）连接CE，

∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
在△CED中，∠AEC＞∠D，
∴∠B+∠D＜180°，
故答案为：＜；

（2）（1）的结论不成立，理由：
延长AD交圆O于点E，连接CE，
则∠B+∠E＝180°，
在△CDE中，∠ADC＞∠E，
∴∠B+∠ADC＞180°，
即∠B+∠D＞180°；

（3）∵∠A+∠C＝150°+30°＝180°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即四边形ABCD四点共圆，
分别过点A、C作AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，
则四边形ABCD面积＝×BD×AM+＝BD×（AM+CN），
故当A、M、N、C共线且AC为圆的直径时，四边形ABCD面积最大，
连接OB、OD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
故△BDO为等边三角形，则OB＝OD＝BD＝6，
则AC＝2OB＝12，
则四边形ABCD面积最大值＝×AC×BD＝＝36，
故答案为：36．

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，图形的面积计算，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．
28．（12分）（1）如图1，在△ABC中，点D是BC上的一点，E、F分别为AB、AC上的点且EF∥BC，AD交EF于点G．
①求证：；
②如图2，连结CE、CG，若BD＝CD，CG⊥EF，CE＝6，AF＝3，求的值；
（2）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F，若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝6，求BF的长．


【分析】（1）①证明△AGE∽△ADB，△AGF∽△ADC，根据相似三角形的性质得到＝，＝，等量代换证明结论；
②根据①的结论得到EG＝FG，得到CF＝CE＝6，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，求出MF＝FG＝6，根据含30°角的直角三角形的性质求出MN，根据勾股定理求出NF，根据等腰直角三角形的性质求出BN，进而求出BF．
【解答】（1）①证明：∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ADB，△AGF∽△ADC，
∴＝，＝，
∴＝；
②解：由①可知：＝，
∵BD＝CD，
∴EG＝FG，
∵CG⊥EF，
∴CF＝CE＝6，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝＝；
（2）解：如图3，延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵GM∥BD，
∴EM＝EG，
∵EF⊥EG，
∴MF＝FG＝6，
∴∠MFE＝∠GFE，
∵∠FEG＝90°，∠EGF＝40°，
∴∠GFE＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠CFG＝∠GFE＝50°，
∴∠CFG＝∠GFE＝∠MFE＝50°，
∴∠MFB＝30°，
∴MN＝FM＝3，
∴NF＝＝3，
∵∠MBN＝45°，
∴BN＝MN＝3，
∴BF＝BN+NF＝3+3．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．