+广东省汕头市潮阳区和平镇2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+广东省汕头市潮阳区和平镇2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+，共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕头市潮阳区和平镇九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
4．下列事件为必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
5．将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x﹣1）2﹣3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
6．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝100°，则∠DAB的度数为（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
8．布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）

A．15° B．10° C．20° D．25°
10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（　　）

A．3 B．5 C．8 D．10
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m2﹣2m的值是 　 　．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
13．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是　 　．
14．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为 　 　cm2．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）abc＞0；（3）a﹣b+c＜0；（4）m＞﹣2．其中正确的个数有 　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针炭转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
（2）求点C到点C1经过的路径．

18．（8分）为阻断疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部2020年1月29日下发通知，要求今年春季学期延期开学，“停课不停学”，统筹利用网络电视资源进行教学，某校为了让学生能够达到最佳的学习效果，确定老师们可以选用以下三种直播授课方式：A．智慧云直播，B．钉钉直播，C．腾讯会议直播．
（1）张明老师从三种网络授课方式中随机选取一种，是智慧云直播的概率为　 　；
（2）张明和李刚两位老师从中随机各选取一种网络直播方式进行授课，请你用列表法或画树状图法，求出张明和李刚两位老师选取不同的网络直播授课方式的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件，已知该款童装每件成本为40元设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
（1）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
20．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．

21．（9分）如图①，△ABC，△AED是全等的等腰直角三角形，∠BMC＝∠EAD＝90°，△EAD固定不动，将△BAC绕着点A逆时针旋转（旋转角α满足0°＜n＜180°），连接EC和BD，相交于点F．
（1）猜想线段EC，BD的关系并证明你的结论；
（2）如图②，连接BE，求∠EBD的度数．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点；
（1）求证：点E为CG的中点；
（2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长．

23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．


2022-2023学年广东省汕头市潮阳区和平镇九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
3．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y＝﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．
故选：B．
4．下列事件为必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币，正面向上
B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球
C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、是随机事件，故A选项不符合题意；
B、是不可能事件，故B选项不符合题意；
C、是必然事件，故C选项符合题意；
D、是随机事件，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的函数解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x﹣1）2﹣3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3．
故选：C．
6．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，结合4月、6月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，
∴60（1+x）2＝100．
故选：C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝100°，则∠DAB的度数为（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】由圆周角定理知，∠C＝∠BOD＝50°．由圆内接四边形的对角互补知，∠A＝180°﹣∠C＝130°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C＝180°
∵∠C＝∠BOD＝50°
∴∠A＝180°﹣∠C＝130°．
故选：D．
8．布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数，即为从袋中任意摸出一个球是白球的概率．
【解答】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能，
∴是白球的概率是．
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）

A．15° B．10° C．20° D．25°
【分析】由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC＝∠BEC＝60°；一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC＝45°，把这两个角作差即可．
【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（　　）

A．3 B．5 C．8 D．10
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到OP＝AB＝3，依据OC﹣OP≤CP≤OP+OC，即可得出当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长．
【解答】解：如图所示，连接OC，OP，PC，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
又∵AO＝BO＝3，
∴Rt△ABP中，OP＝AB＝3，
∵OC﹣OP≤CP≤OP+OC，
∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长，
∴线段PC的最大值为OP+OC＝3+5＝8，
故选：C．

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m2﹣2m的值是 　2018　．
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0中得：m2+2m﹣1＝0，从而可得m2+2m＝1，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0中得：
m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2019﹣m2﹣2m＝2019﹣（m2+2m）
＝2019﹣1
＝2018，
故答案为：2018．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，3）　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）．
13．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机抽取两个数相乘，积是正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，随机抽取两个数相乘，积是正数的有2种情况，
∴随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是：＝．
故答案为：．
14．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为 　18　cm2．

【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∴OH＝OA•cos30°＝2×＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．
故答案为：18．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）abc＞0；（3）a﹣b+c＜0；（4）m＞﹣2．其中正确的个数有 　3个　．

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故（1）正确；
由开口方向可得，a＞0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b＜0，与y轴交点在负半轴，因此c＜0，所有abc＞0，因此（2）正确的；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此是（3）错误的；
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，就是当y＝m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m＞﹣2
因此（4）正确的，
综上所述，正确的有3个，
故答案为：3个．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．
【分析】先移项，再提取公因式即可．
【解答】解：移项得，x（x﹣5）﹣8（5﹣x）＝0，
提取公因式得，（x﹣5）（x+8）＝0．
故x+8＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣8，x2＝5．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针炭转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
（2）求点C到点C1经过的路径．

【分析】（1）根据旋转的性质即可以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针炭转90°，得到△A1B1C1，进而可以写出A1点的坐标；
（2）根据弧长公式即可求点C到点C1经过的路径．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为（2，1）；

（2）∵OC＝＝3，∠COC1＝90°，
∴点C到点C1经过的路径为：＝π．
18．（8分）为阻断疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部2020年1月29日下发通知，要求今年春季学期延期开学，“停课不停学”，统筹利用网络电视资源进行教学，某校为了让学生能够达到最佳的学习效果，确定老师们可以选用以下三种直播授课方式：A．智慧云直播，B．钉钉直播，C．腾讯会议直播．
（1）张明老师从三种网络授课方式中随机选取一种，是智慧云直播的概率为　　；
（2）张明和李刚两位老师从中随机各选取一种网络直播方式进行授课，请你用列表法或画树状图法，求出张明和李刚两位老师选取不同的网络直播授课方式的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）张明老师从三种网络授课方式中随机选取一种，是智慧云直播的概率为．
故答案为：；

（2）根据题意，列表格如下：

A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
共有9种等可能性的结果，其中两位老师选取不同的网络直播授课方式的结果有6种，
所以，P（两位老师选取不同的网络直播授课方式）＝．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件，已知该款童装每件成本为40元设该款童装每件售价为x元，销售量为y件．
（1）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“获得2210元的利润“得：（x﹣40）（100+×20）＝2210，即可解得答案；
（2）设每星期的销售利润为W元，可得：W＝（x﹣40）（100+×20）＝﹣10（x﹣55）2+2250，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣40）（100+×20）＝2210，
整理得x2﹣110x+3021＝0，
解得x＝53或x＝57，
∴当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润；
（2）设每星期的销售利润为W元，
根据题意得：W＝（x﹣40）（100+×20）＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝55时，W取最大值，最大值为2250，
答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是2250元．
20．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．

【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵，∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵，
∴∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴r＝，
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为2．
21．（9分）如图①，△ABC，△AED是全等的等腰直角三角形，∠BMC＝∠EAD＝90°，△EAD固定不动，将△BAC绕着点A逆时针旋转（旋转角α满足0°＜n＜180°），连接EC和BD，相交于点F．
（1）猜想线段EC，BD的关系并证明你的结论；
（2）如图②，连接BE，求∠EBD的度数．

【分析】（1）BD与EC交于点G，如图（1）由△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，得到AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，则根据旋转的定义可把△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，然后根据旋转的性质得EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，再根据三角形内角和定理可得∠CFG＝∠BAG＝90°，于是可判断EC⊥BD；
（2）如图（2），由（1）得∠ABD＝∠ACE，由AE＝AC得∠ACE＝∠AEC，则∠ABD＝∠AEC，加上∠ABE＝∠AEB，则∠FBE＝∠FEB，于是可判断△BEF为等腰直角三角形，所以∠EBF＝45°．
【解答】解：（1）EC＝BD，EC⊥BD．理由如下：
BD与EC交于点G，如图，
∵△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BGA＝∠CGD，
∴∠CFG＝∠BAG＝90°，
∴EC⊥BD；
（2）由（1）得，∠ABD＝∠ACE，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠AEC，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠FBE＝∠FEB，
由（1）得∠CFB＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点；
（1）求证：点E为CG的中点；
（2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长．

【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG＝CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC＝∠OEC＝60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；
（2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论；
（3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM＝2CF，MC＝MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM＝2MG＝2CM＝4CF，然后利用BC＝6CF进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点．
∴AG＝CG，
又∵∠A＝60°，
∴△ACG为等边三角形，
∴∠C＝∠AGC＝60°，
又∵CO＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠AGC＝∠OEC＝60°．
∴OE∥AB，
∵O为AC中点，
∴E为CG的中点；
（2）证明：由（1）得OE∥AG，
∵ED⊥AG，
∴OE⊥ED，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：作GM∥FD交BC于M，如图，
∵E为CG的中点，
∴EF为△CMG的中位线，
∴EF＝MG，
∵CF、FE是⊙O的切线．
∴CF＝EF，
∴MC＝MG，
∵△MGB为30°角的直角三角形，
∴BM＝2MG＝2CM＝4CF，
∴BC＝6CF＝6×2＝12．

23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF，
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a），
＝﹣﹣a+，
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）；

（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA1，∠APA1＝90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA＝∠NA1P+∠NPA1＝90°，
∴∠NA1P＝∠NPA，
在△A1NP与△PMA中，
，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A1（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A，2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2），
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．