苏科版九年级下册7.1 正切教学设计

《正切》教学设计

教学内容：

苏科版数学九年级下册第七章《锐角三角函数》第1节《正切》．

学情分析：

九年级学生的认知发展水平处于从具体形象思维向抽象概括思维的过渡阶段，对图形的认知水平逐步提高。在学习本节内容之前，学生已经学习了有关直角三角形的边（勾股定理及其逆定理）、角（直角三角形的两个锐角互余）的知识，并积累的一定的几何学习经验，这为本节课的学习奠定了坚实的认知基础．

教学目标：

1．认识锐角的正切的概念，会求一个锐角的正切值．

2．经历正切概念的探索过程，感受利用控制变量法研究多个因素之间关系的方法。

3．了解锐角的正切值随着锐角的增大而增大，随着锐角的减小而减小，初步感受正切的函数思想．

教学重点：

正切的概念、求一个锐角的正切值．

教学难点：

探索正切的概念．

教学重点解决措施：在教学过程中，我从概念的内涵和外延两个方面来加深学生对正切本质的理解．在概念的内涵上，通过设问：要正确把握正切的概念需要抓住哪几个关键点，来引发学生对概念内涵的思考；在概念的外延上，通过一组“试一试”即求直角三角形（摆放位置各不相同）及斜三角形任意内角的正切，来感受求一个角的正切值的前提（直角三角形）及注意点（两条直角边比的顺序）．

教学难点解决措施：教学中，我从学生熟悉的爬山情境出发，通过比较不同类型山坡的倾斜程度，引发学生对山坡的倾斜角、垂直高度、水平距离之间关系的思考。通过由易到难，层层铺设问题，利用控制变量法，分别控制三个变量中的每个变量，进而探索另外两个变量之间的关系．在此过程中，学生对三个变量间关系的思考也越来越深入，最终水到渠成，获得：当倾斜角一定时，其垂直高度与水平距离的比就一定，当倾斜角变化时，这个比值也随之变化，即获得正切的概念．

教学工具及资源：利用可触摸电子屏幕，在几何画板环境下组织、实施教学．

教学过程：

一、问题情境

你爬过山或坡吗？什么样的山或坡爬的时候比较累？你是怎样描述山坡的倾斜程度的？

二、建构活动

1．如果把山坡看作是直角三角形的斜边，如下图所示，你觉得坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？

【多媒体资源使用】教师利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，从而比较∠A’与∠A的大小．

2．下图中坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？

【多媒体资源使用】让学生利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，或使得B’C’与BC重合，从而比较∠A’与∠A的大小．

3．当倾斜角不变时，其垂直高度与水平距离之间有什么关系？

学生画图分析、组内讨论，阐述结论及证明思路．

【多媒体资源使用】在学生思考、讨论完以后，教师利用几何画板画出两个具有相等倾斜角的直角三角形，如上图所示，让学生研究当倾斜角不变时，垂直高度与水平距离之间的数量关系．

4．当山坡的倾斜角变化时，其垂直高度与水平距离之比有怎么样的变化？

【多媒体资源使用】利用几何画板交互性的优势，将前面的两组图调出来，研究倾斜角变化的情况．

5．通过以上活动你能得出什么结论？

通过以上活动发现：山坡的倾斜角与其垂直高度、水平距离的比有着密切的联系．在数学中，这个比叫做这个角的正切．

三、数学化认识

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切（tangent），记作 tanA．

2．符号表示：．

3．阅读正切的概念，你觉得把握这个定义需要抓住哪几个关键点？

4．活动：请你将下列各锐角的正切表示出来．

【多媒体资源使用】教师利用几何画板画出一组直角三角形和斜三角形，如上图所示，让学生以“接长龙”、“开火车”表示出各个锐角的正切值。在学生回答问题时，教师利用几何画板点出学生所说的边，从而使学生更准确、清楚的认识到要求角的对边与邻边的位置所在．

小结：（1）怎样求一个锐角的正切值？

（2）我们已经研究并获得了直角三角形的哪些结论？

（3）正切建立了直角三角形边和角的关系．

四、基础性练习

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求tanA、tanB．

【多媒体资源使用】教师利用几何画板呈现问题．

练习：如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=，求tanB．

【多媒体资源使用】教师利用几何画板呈现问题．

小结：（1）正切是在直角三角形中求得的；

（2）特殊角的正切值：tan45°=1．

例2：如图，在等边三角形ABC中，AB=2，求tanA．

【多媒体资源使用】教师利用几何画板呈现问题，并根据学生回答问题的实际情况，利几何画板作出辅助线，即过点C作CD┴AB于D．

小结：（1）构造直角三角形求角的正切值；

（2）特殊角的正切值：，．

五、拓展与延伸

1．怎样求任意一个锐角的正切值呢？例如如何求65°角的正切值？

学生先独立思考，然后小组交流，最后小组代表发言，谈谈本组的设计方案．

2．你还能求出哪些非特殊角的正切值？

3．通过这个活动，你能说说锐角与其正切值之间有怎样的变化关系吗？

【多媒体资源使用】教师利用几何画板呈现问题．在几何画板环境中，利用其测量工具，度量∠AOB的大小，测量线段AC的长度，改变线段OA的长，使其为1，如下图所示。教师通过移动点B的位置，改变∠AOB的大小，让学生观察随着角的度数的变化，其正切值即线段AC长度的变化情况.

小结：（1）锐角的正切值随这个角的变化而变化，当这个锐角确定时，其正切值也唯一确定．

（2）锐角的正切是这个角的函数．

六、课堂总结

通过本节课的学习，你有哪些收获与感受？你学到了什么？还想了解些什么？