考点25 二项式定理及其应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

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1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
1.与二项展开式有关问题的解题策略
（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．
（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
（3）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．
2.（1）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
（2）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．
3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
4.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
求展开式的指定项
1.（2021山东师范大学附属中学高三上期中）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则常数项为______.
【答案】60
2.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）
A. 1344B. 672C. 336D. 168
【答案】B
4．（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试）的展开式中项的系数为（ ）
A.140 B． C． D.1120
【答案】B
5.（2021北京市第十三中学高三上期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二项式系数的性质或各项系数
1．若二项式的展开式中所有项的系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.（2022年高考数学一轮复习）已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）
A. 80B. 160C. 240D. 320
【答案】D
二项式系数的性质及各项系数和
1.．（多选题）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. 5B. 10
C. 15D. 20
【答案】C
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
一、单选题
1.（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，若，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. 648B. 1296C. 1944D. 3888
【答案】D
2.（2022·山东淄博·一模）若，则（ ）
A. -448B. -112C. 112D. 448
【答案】C
3.（2022·福建漳州·一模）已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、多选题
4.（2022·福建龙岩·一模）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ）
A. 展开式共有7项B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 所有二项式系数和为128D. 展开式的有理项共有4项
【答案】CD
5.（2022·全国·模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，、为整数，则
B. 是正整数
C. 是的小数部分
D. 设，若、为整数，则
【答案】ACD
6.（2022·河北·模拟预测）已知的展开式的常数项为16，则（ ）
A. B. C. 展开式中各项的系数之和为216D. 展开式中的系数为12
【答案】AD
三、填空题
8.（2022·海南·模拟预测）在的展开式中，的系数是___________.
【答案】112
9.（2022·福建漳州·二模）已知的展开式中的系数为____________
【答案】240
10.（2022·天津·一模）在的展开式中，的系数是___________.
【答案】60
11.（2022·北京·模拟预测）在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
【答案】12
12.（2022·湖南·雅礼中学一模）展开式中的常数项为______.
【答案】4246
13.（2022·全国·模拟预测）已知，若，则___________.
【答案】
14．（2022·北京·二模）二项式的展开式中的系数为21，则__________.
【答案】7
15．（2022·广东湛江·二模）的展开式中常数项为___________.
【答案】
16．（2022·广东潮州·二模）设，则______．
【答案】9
17．（2022·浙江·模拟预测）若的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则___________；展开式中常数项为___________.
【答案】 6
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．
(2)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．
(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为__________．

(4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：①；②；③，时，的面积为；④当时，为钝角三角形．其中正确的是__________填写所有正确结论的编号
【答案】 ## 2 ①②④性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(k,n)＝Ceq \\al(n－k,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N+)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值