云南省昆明市第一中学2023届高三第五次二轮复习检测数学试题及答案

这是一份云南省昆明市第一中学2023届高三第五次二轮复习检测数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z满足，则 （ ）
A．1B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是（ ）
A．32.5，3.5B．33，7C．33，10D．32.5，4
4．函数的图像大致为
A． B．
C． D．
5．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（ ）
A．24B．44C．D．
6．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12B．24C．48D．84
8．已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小值为
D．函数在区间单调递减
10．函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数在处取得最大值
B．函数在区间上单调递减
C．函数有两个不同的零点
D．恒成立
三、填空题
13．已知平面向量满足，则的最小值为___________.
14．直线l过抛物线的焦点且与该抛物线交于两点，若，则的值为___________.
15．已知等差数列满足，且，则___________.
16．在三棱锥中，AB=BC=AC=，AP=PB=PC=1，则以点P为球心，以为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为___________.
四、解答题
17．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
18．已知的内角所对边分别为，且
(1)证明：；
(2)求的最大值.
19．已知函数，其中
(1)当时，求；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.
20．已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.
(1)证明：平面；
(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？
21．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
22．已知函数
(1)证明：
(2)若，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.
【详解】由题意知复数z满足，
即，
故选：C
2．A
【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，，即；
由对数函数定义域知：；.
故选：A.
3．C
【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.
【详解】设男职工年龄分别为：，男职工年龄平均数为，方差为，女职工年龄分别为，女职工年龄平均数为，方差为，则，，
即，，，
同理，，
即，
，
该单位全体职工的平均年龄：
，
方差为：
故该单位全体职工的平均年龄和方差分别是33，10.
故选：C
4．A
【详解】函数y=e|x|⋅sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B. C，
当x∈(0,π),函数y=e|x|⋅sinx>0，函数的图象在第一象限，排除D，
本题选择A选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5．B
【分析】结合图形，利用四棱台的体积公式求得该四棱台的高，进而在等腰梯形与等腰梯形中依次求得与，从而求得该四棱台的侧面积，进而求得其表面积.
【详解】过作于，作于，则是正四棱台的高，
因为正四棱台中，，即，
所以，，
因为该四棱台的体积为，
所以，即，得，
因为在等腰梯形中，，，
所以，
所以在等腰梯形中，，
所以，
又因为其他三个侧面与侧面的面积相等，
所以该四棱台的侧面积为，
所以该四棱台的表面积为.
故选：B.
.
6．B
【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；
【详解】，，
最大，
，，
，
故选：B
7．D
【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解.
【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：.
8．B
【分析】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.
【详解】∵直线l是圆C：的切线，
∴圆心O到直线l的距离为1，
设，
①当AB⊥x轴时，
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知 得 ．
把y=kx+m代人椭圆方程，整理得，

∴


令
原式
当且仅当 即 时等号成立.
综上所述.
故选：B.
9．CD
【分析】化简得，逐项验证即可解决.
【详解】由题知，
，
对于A，的图像向左平移个单位长度，得，
再向下平移个单位长度得到，故A错误；
对于B，，
所以函数的一个对称中心为，故B错误；
对于C，，
当时，函数取最小值为，故C正确；
对于D，，
所以单调减区间应满足，解得，
所以单调减区间为，
因为，
所以函数在区间单调递减，故D正确.
故选：CD
10．AC
【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，
又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；
由得：，；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD.
【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误，
对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确，
对于C，由于，所以 ，所以，故C正确，
对于D, 由于 ，，故D正确，
故选：BCD
12．AD
【分析】确定函数的定义域，求导数，判断函数的单调性，即可判断函数的极值点,由此可判断;求得函数的最值，数形结合，判断函数的零点情况，判断C;将化为，从而构造函数，利用导数求函数最值，解决不等式恒成立问题，判断D.
【详解】由题意知函数的定义域为，
，当时，递增，
当时，递减，故函数在处取得极大值，也即最大值，A正确；
由上分析可知当时，递增，故B错误；
函数 ，且当时，，
当时，，作出函数图象如图示：
由此可知函数在上无零点，C错误；
不等式恒成立即恒成立，
即恒成立，
令，则 ，
令， ，
∴在上单调递增，
，
故在上存在唯一零点，且，
由，可得 ，
当， ，函数单调递减，
当时， ，单调递增，
故函数的极小值为 ，
而，
即函数在上恒成立，
所以当时，恒成立，D正确，
故选：
【点睛】难点点睛：本题难点在于证明恒成立，解答时将不等式等价转化为恒成立，从而便于构造函数，利用导数求该函数的最小值，说明其大于0即可证明结论.再求极值或最值时，还要注意零点存在定理的应用.
13．0
【分析】根据数量积的定义确定的范围，在根据向量模与数量积的关系 可得的范围，即可得的最小值.
【详解】解：因为平面向量满足，又，
所以，
则，由，则，故，
则的最小值为0.
故答案为：0.
14．
【分析】设直线：，代入，得到，，求出，，根据，结合焦半径公式可求出结果.
【详解】依题意可得，准线方程为：，
设直线：，
联立，消去并整理得，
，
设、，
则，，
所以，
，
所以
，
又已知，所以，所以.
故答案为：.
15．
【分析】利用等差数列的通项公式结合条件即可求得，从而得到，由此即可求得的值.
【详解】因为是等差数列，，所以公差，
因为，
所以当时，，即，
整理得，又，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
16．##
【分析】求出点到平面的距离，由勾股定理可得截面圆半径，从而得面积．
【详解】由题意三棱锥是正三棱锥，设是底面的中心，如图，则平面，平面，则，
，，
平面截球得截面圆，设其半径为，则，
圆面积为．
故答案为：．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间[110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数；
（2）先求出数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望.
【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；
（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.
【详解】（1），，
，
由正弦定理可得
（2）由（1）知，则
由余弦定理可得
，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，
由知，为锐角，
所以的最大值为，的最大值为
19．(1)
(2)2
【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；
（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数
【详解】（1）由，可得
则当时，
（2）由（1）可得，当时，
则当时，
，
则当时，数列的前n项和
又当时，，，
由恒成立，可得，解之得
则当时，使得恒成立的m的最小整数为2
当时，成立，
综上，使得恒成立的m的最小整数为2
20．(1)证明见解析；
(2)详见解析；
【分析】（1）先证明平面平面，进而证明平面；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示CE与所成角的正弦值为，进而求得点E位置为或
【详解】（1）直四棱柱中
四边形为平行四边形，则
又平面，平面，则平面
四边形为平行四边形，则
又平面，平面，则平面
又平面，平面，
则平面平面，又平面
则平面
（2）取中点M，连接
又直四棱柱中，底面ABCD为菱形，
则两两垂直，
以D为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
又，
则,
则，，
设，令，则
则，则， ，
设平面一个法向量为，
则，，则
令，则，，则
设CE与所成角为
则
解之得或，
则当或时，CE与所成角的正弦值为
21．(1)
(2)存在符合题意的椭圆，其方程为
【分析】（1）设，
由及可得，
得，
再结合即可解决问题；
（2）设，则PM方程为，
联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，
再利用计算即可得到答案.
【详解】（1）设，
由，
所以， ①
又点在上，所以，
即， ②
由①②得：， ③
又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，
|EF|的最小值为，
所以， ④
又，⑤
联立③④⑤解得：，
所以双曲线C的标准方程为：
（2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为，
则由题意如图：
所以由，
设，则直线方程为，
直线方程为
由，得；
由，得
又，
所以，
所以，，
同理可得，，
由四边形是平行四边形，知，
所以，，
即，
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构造，通过求导判断其单调性，并求出取值范围，即可证明.
（2）化简并分离参数，得到，构造通过求导判断其单调性，并求出取值范围，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）由题意
在中
在中，
，
当时，解得
∴函数在即时，单调递减，
在即时，单调递增，
∴函数在处取最小值，为：
∴
即
（2）由题意及（1）得，
在中，，，
即
化简得：
在中，
在中，
∴函数在定义域上单调递增
在中，
∵，
∴使得
∴当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
在中，
，
在中，
当时解得
当即时，函数单调递增
当即时，函数单调递减
∴函数在上单调增加
∴即
∴，
∴函数在处取最小值，为：
∴，
∴实数a的取值范围为，
【点睛】本题考查导数的构造，求导以及单调性的判别和求值域，具有很强的综合性.
0
1
2
3