2022-2023学年九年级上学期苏科版数学期末考试前强化训练（二）(含答案)

这是一份2022-2023学年九年级上学期苏科版数学期末考试前强化训练（二）(含答案)，共19页。试卷主要包含了对于实数a、b，定义运算“*”，第1组数据为等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年苏科版九年级数学上期末考试前强化训练（二）
（时间：100分钟 满分：120分）
一．选择题(30分)
1.对于实数a、b，定义运算“*”： ，例如：，因为，所以．若、是一元二次方程的两个根，那么（　　）
A.42 B.-42 C.43 D.42或-42
2.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A.从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C.在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中、是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
4.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC， AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四边形BEOF :S△AOF＝4，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）
A.3 B. C.4 D.
6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②AEG的周长为8；③EGF的面积为．其中正确的是（　　）
A.①②③ B.①③ C.①② D.②③
7.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ）
A. B. C. D.

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
10、如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题(30分)
11.若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
12已知关于的方程，其中、都是实数．若方程有三个不同的实数根、、，且，则的值为__________．
13.已知平面直角坐标系中，抛物线经过点，且．若点，均在该抛物线上，且，则最大值为________．
14. 2023年的春节即将到来，一年一度的“春节联欢晚会”即将拉开序幕，若“春节联欢晚会”的舞台纵深10米，若想获得最佳的音响效朵，主持人应该站在舞台纵深所作线离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位Y离舞台前沿较近的距离为__________．（结果保留根号）
15.如图，半圆O的直径cm，B、C是半圆上的两点，且，则的长度为______cm．

第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第120题图
16.如图，夜晚路灯下，小莉在D处测得自己影长DE＝4m，在点G处测得自己影长DG＝3m．E、D、G、B在同一条自线上，已知小莉身高为1.6m，则灯杆AB的高度为__________m．
17..如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．
18.如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．
19.若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
20.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．
三。解答题（60分）
21.（6分）按要求解下列方程：
（1）、（用配方法）； （2）、；



22.（6分）有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、-3；B组有二张，分别标有数字-1、2．小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为．
（1）、点P的横坐标为数字1的概率为________；
（2）、用列表或画树状图的方法求出点P落在第一象限的概率．





23.（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）、直接写出y与x的函数关系式为：　　；
（2）、若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）、若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．




24.（12分）已知抛物线交x轴于点，（在的左侧），交轴于点．
（1）、求点的坐标；
（2）、若经过点的直线交抛物线于点．
①当且时，交线段于E，交轴于点，求的最大值；
②当且时，设为抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上的动点，那么以，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．















25.（12分）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．

（1）、若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
（2）、若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
（3）、【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
（4）、已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条．



26.（14分）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．

（1）、【思路说明】已知：如图1， 中， 平分 交于D．试说明：．理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______，由，平分可得 ______，代入上式得．

（2）、【直接应用】如图2，中，，平分交于D，若，在不添加辅助线的情况下直接写出______．

（3）、如图3，若四边形为矩形，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．
①求的长；
②直接写出______；
（4）、【拓展延伸】如图4，若四边形是边长为6的菱形，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长______．




教师样卷
一．选择题(30分)
1.对于实数a、b，定义运算“*”： ，例如：，因为，所以．若、是一元二次方程的两个根，那么（　D　）
A.42 B.-42 C.43 D.42或-42
解：解方程，得，故或，解得或，当，时，，，当，时，，
，故的值为42或-42，故选：D．
2.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ D ）
A.从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C.在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是 “红色的”的概率是＞0.17，故此选项不符合要求；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝＝0.5＞0.17，故此选项不符合要求；C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.17，故此选项不符合要求；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝≈0.17，故此选项符合要求．故选：D．

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中、是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ B ）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
解：①第1组数据的平均数为：，当m＝n时，第2组数据的平均数为：，故①正确；②第1组数据的平均数为：，
当时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为：，∴第组数据的平均数大于第2组数据的平均数；故②错误；③第1组数据的中位数是，
当时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是；即当时，第2组数据的中位数是1，∴当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；故③正确；④第1组数据的方差为，当时，第2组数据的方差
,，∴当时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．故④错误，综上所述，其中正确的是①③；故选：B
4.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC， AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四边形BEOF :S△AOF＝4，其中正确的有（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，∴∠ADF+∠AFD=90°，
∵点E，F分别是边BC，AB的中点，∴AF=AB，BE=EC=BC，∴AF=BE，∴△DAF≌△ABE(SAS)，∴∠BAE=∠ADF，∴∠BAE+∠AFD=90°，∴∠AOF=180°−(∠BAE+∠AFD)=90°，∴AE⊥DF，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，
∴，∴∠DAE=∠AEB，由折叠得：∠AEB=∠AEG，∴∠DAE=∠AEG，
∴AH=EH，故②正确；由折叠得：∠AEB=∠AEG=(180°−∠GEC)，GE=EC，∴∠EGC=∠ECG=(180°−∠GEC)，∴∠AEB=∠GCE，∴，故③正确；∵∠B=90°，AB=4，AF=2，BE=2，∴，∵∠B=∠AOF=90°，∠FAO=∠BAE，∴△AOF∽△ABE，∴，∴，故④正确；所以，以上结论，正确的有4个，故选：D．
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　B　）
A.3 B. C.4 D.
解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝2∠DCB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD=∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠DCB∴∠ACB=∠ADC又∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC∴=∵AD＝2，BD＝3∴AB= AD+BD=2+3=5∴AC＝．
6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②AEG的周长为8；③EGF的面积为．其中正确的是（　D　）
A.①②③ B.①③ C.①② D.②③
解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，∵HF∥AD，∴∠H＝90°，∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，∴∠AFH＝∠HAF．∵AF，∴AH＝HF＝1＝BE．∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECFEF•ECEC2，过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四边形APFH是矩形，∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，
∴，∴，∴PG，∴AG＝AP+PG，∴DG＝AD﹣AG＝4，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG，∴△AEG的周长为AG+EG+AE3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG，故①错误；∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2AG•AEGD•DCEB•BC＝42341×4，∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG，故③正确；故选：D．
7.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（D ）
A. B. C. D.
解:如图所示，过F点作∥，交于点I，证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， 又
，即 解得或（舍去）
， FI∥HM，
， ，
解得：经检验：符合题意，故选：D．

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ D ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④
解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，∴对称轴为，即，∴整理得：，故①正确；∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，∴c＝-3，故②错误；∵中a＞0，，
∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴，故③正确；设抛物线的解析式为，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　D　）
A．2 B．5 C．6 D．7
解：连接OC如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝＝5，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，∴S△MED＝×5×＝7，当C点与M点重合时，△CDE面积的最大值为7，故选：D．
10、如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（　A　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中， ，∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正确；∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC＝××42＝，故③正确；作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；故②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，∴④正确.故选：A.
二．填空题(30分)
11.若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】 解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．
12已知关于的方程，其中、都是实数．若方程有三个不同的实数根、、，且，则的值为__________．
【答案】 3 解:依题意，设方程有三个不同的实数根、、，则与的图像有三个不同的交点，，对称轴为则与的图像有三个不同的交点，则经过的顶点设，则即设是的两根，则即，
解得故答案为：3
13.已知平面直角坐标系中，抛物线经过点，且．若点，均在该抛物线上，且，则最大值为________．
【答案】 11 解：∵抛物线经过点，且，∴，解得：，∴抛物线的解析式为
∵，∴抛物线的对称轴为，
∵点，均在该抛物线上，且，∴点，关于直线对称，在对称轴左侧，在对称轴右侧，∴，，，∴，其中
∴，其中，
∵的图象开口向上，对称轴为直线，∴当时，的值随x的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：11．
14. 2023年的春节即将到来，一年一度的“春节联欢晚会”即将拉开序幕，若“春节联欢晚会”的舞台纵深10米，若想获得最佳的音响效朵，主持人应该站在舞台纵深所作线离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位Y离舞台前沿较近的距离为__________．（结果保留根号）
【答案】 米或米解：主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，离舞台前沿较近的距离为（米）
故答案为：米．
15.如图，半圆O的直径cm，B、C是半圆上的两点，且，则的长度为______cm．
【答案】 或 解∶如图，连接，，
，，，，
的长度为，故答案为∶．

第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第120题图
16.如图，夜晚路灯下，小莉在D处测得自己影长DE＝4m，在点G处测得自己影长DG＝3m．E、D、G、B在同一条自线上，已知小莉身高为1.6m，则灯杆AB的高度为__________m．
【答案】 6.4 解：由题意知，，∴，∴∴解得∵∴
解得故答案为：6.4．
17..如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．
【答案】 解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，∴HF=HD∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，
，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，
∴2∠HFD +2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE +∠CEF=90°
∴，又∵HF=HD，∴△DHF是等边三角形，
∴∠CBD=∠CEF=30°，∴，设GF=CF=x，HF=DF=y，则HG=CE=EG=，
HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，∵，∴.
18.如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．
【答案】 或 解：连接，取中点，连接，如下图：∵，为中点∴
∴点在以为圆心，以为半径的圆上∴当共线且点在的延长线上时，最大延长交于点，如上图：∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴垂直平分，∴∴，
∴，∴∴的最大值为故答案为：
19.若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
【答案】 2 （2，）或（2，） 解：∵二次函数经过点A（3，0），
∴，∴对，当x=0时，y=-9，∴点B坐标为（0，-9），
抛物线的对称轴是直线：，设点P的坐标为（2，m），
∴，，，当∠ABP=90°时，则，∴，解得，∴点P的坐标为（2，）；
当∠BAP=90°时，则，∴，解得，
∴点P的坐标为（2，）；综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）；故答案为：2；（2，）或（2，）；
20.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为_____．

【答案】 解: 延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC，AD=BD,∴ .∵∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°,∴△ABE∽△ADC,
∴ ,∴,∴ ,∴AC=.

三。解答题（60分）
21.（6分）按要求解下列方程：
（1）、（用配方法）； （2）、；
【答案】（1）、，； （2）、，；
22.（6分）有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、-3；B组有二张，分别标有数字-1、2．小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为．
（1）、点P的横坐标为数字1的概率为________；
（2）、用列表或画树状图的方法求出点P落在第一象限的概率．
解:（1）从A组中三张卡片中随机抽一张，有三种等可能的结果1、2、-3，故点P的横坐标为数字1的概率为．
（2）如图所示画树状图：
共有6种等可能的结果，分别是（1，-1）、（1，2）、（2，-1）、（2，2）、（-3、-1）、（-3，2），其中（1，2）、（2，2）共2种结果落在第一象限，
故点P落在第一象限的概率．
23.（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）、直接写出y与x的函数关系式为：　　；
（2）、若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）、若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
解：（1）根据题意，得：
故答案为：；
（2）：当y=1400时，，解得，，
答：此时的销售单价为34元或30元；
（3）：，该二次函数的对称轴为x=32，
，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，商品的销售单价不超过31元，
∴当x=31时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1430；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1430元．
24.（12分）已知抛物线交x轴于点，（在的左侧），交轴于点．
（1）、求点的坐标；
（2）、若经过点的直线交抛物线于点．
①当且时，交线段于E，交轴于点，求的最大值；
②当且时，设为抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上的动点，那么以，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．
解：（1）令，则，解得或，∴，；
（2） ①∵，∴，令，则，∴，联立方程组，整理得，， 解得或，∴，设直线的解析式为，∴，解得，
∴，过点作轴交于点，∴，
∴＝，联立方程组解得 ∴，
在中，时，，∴，∴，，∴
，∴当时，的最大值为；
②以，，，为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：∵∴抛物线的对称轴为直线，
设，∵，∴，联立方程组，
解得或（舍），∴，①当为矩形对角线时，，∴，，∴，∴，∴，解得， ∵，∴，∴， ∴；②当为矩形对角线时，，∴，，∴，∴，∴，
解得，∵ ，∴，∴，∴；③当为矩形对角线时，， ∴，，∴，∴，
∴，此时无解；综上所述：点坐标为 或．
25.（12分）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．

（1）、若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
（2）、若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
（3）、【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
（4）、已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条．
解：（1）连接OA，如图，∵OP⊥AB，∴AP=BP=AB，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，∴AB=2AP=8，故答案为：8；
（2）：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），由（1）知，AB=2AP，
AP=， ，∵二次项-4x2的系数-4＜0，∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，∵OP＞0，∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，即AB的长随OP的长增大而减小，故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）：连接OA，OB，∵弦心距等于该弦长的一半，∴OP=AP，∴∠AOP=45°，
∴∠AOB=2∠AOP=90°，故答案为：90；
（4）：如图，作，则AB=EF，根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，故答案为：2．
26.（14分）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．
（1）、【思路说明】已知：如图1， 中， 平分 交于D．试说明：．理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______，由，平分可得 ______，代入上式得．

（2）、【直接应用】如图2，中，，平分交于D，若，在不添加辅助线的情况下直接写出______．

（3）、如图3，若四边形为矩形，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．
①求的长；
②直接写出______；

（4）、【拓展延伸】如图4，若四边形是边长为6的菱形，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长______．

解：（1）∵，∴，，∵平分，
∴，∴，，∴；
（2）：∵平分，由（1）知：，设，
∵，，∴，即：，解得：，∴；
（3）：①∵四边形是矩形，∴，∵翻折，∴，∴，∵，设，则：，在中： ，∴，解得：，∴；②在和中，，，
，即平分，；
（4）：当时，∵四边形为边长为6的菱形，，点E为边的三等分点，∴，∴，∵翻折，∴，∴，∴平分，∴，即，∴，∴，过点作，∵，
，
，，，即：，解得：或，当时，，不符合题意．当时，，∵，即：当时：如图5，过点作交的延长线于点，同理可证：，即：

，
，，即：，解得：或 ，当时， 不符合题意，当 时，即：
综上所述，CP的长为或．