河北省保定市竞秀区新秀学校2021-2022学年上学期八年级期末数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市竞秀区新秀学校2021-2022学年上学期八年级期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河北省保定市竞秀区新秀学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．16的平方根等于（　　）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
2．若一组数据2，0，3，4，6，x的众数为4，则这组数据中位数是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．3.5
3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4 B．5，7，8 C．5，10，13 D．1，，2
4．已知一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．命题：
①同位角相等；
②三角形的外角大于三角形的内角；
③一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值为3；
④等腰三角形是轴对称图形，其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（　　）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．

A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．＝4
C． D．
8．已知是方程组的解，则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次百米跑成绩的平均数（秒）及方差如下表，若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
12.3
12.3
12.5
12.5
方差
0.45
0.2
0.2
0.45
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，则坐标原点O与点B之间的距离为（　　）
A． B． C．3 D．2
11．（2分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）

A．80° B．82° C．84° D．86°
12．（2分）将直线y＝5（x﹣1）+2向上平移1个单位长度，则平移后直线的函数表达式为（　　）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+3 C．y＝5x﹣1 D．y＝5x
13．（2分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）

A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
14．（2分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了xmin，下坡用了ymin，根据题意可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
15．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣4），经过点A的直线l∥y轴，C是直线l上的一个动点，当线股BC的长度最小时，点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣4） B．（1，4） C．（1，3） D．（﹣2，﹣3）
16．（2分）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a﹣1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝3，其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共3个小题；每小题共10分，17～-18小题各3分；19小题有两小空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若一次函数y＝﹣3x+b上有两点（1，y1）和（﹣2020，y2），则y1与y2的大小关系为y1　 　y2（填“＞“、“＜“或“＝“）．
18．已知，x、y是有理数，且y＝+﹣4，则2x+3y的立方根为　 　．
19．（4分）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3；…按如图放置，其中点A1、A2、A3，…在x轴正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝﹣x+2上，依此类推，其中B1的坐标 　 　，点Bn的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共6个小题，共68分，）
20．（10分）（1）；
（2）解方程组：．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是　 　．

23．（9分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A类；5本；B类；6本；C类：7本；D类：8本，然后统计数据并绘制成如图9﹣1所示的条形统计图和如图9﹣2所示的扇形统计图．

（1）本次接受随机调查的学生人数为 　 　人；在扇形统计图中，m＝　 　．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？

24．（10分）甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h．并在中途休息了0.5h．休息前后速度相同．图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）函数图象．
（1）求a的值；
（2）求当b＜x≤7时，甲车行驶的路程y与甲行驶的时间x的函数表达式；
（3）直接写出乙车行驶几小时时，两车恰好相距40km．

25．（11分）[1]问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
[2]问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．

26．（12分）为迎接“国家级文明卫生城市“检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现；购买1个A型垃圾箱和2个B型拉圾箱共需340元：购买了3个A型拉圾箱和1个B型垃圾箱共需420元．
（1）求1个A型垃圾箱，1个B型垃圾箱分别是多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱x（x≤16）个．
①求购买垃圾箱的总费用W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数表达式；
②当购买A型垃圾箱多少个时，总费用最少？最少费用是多少？

2021-2022学年河北省保定市竞秀区新秀学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．16的平方根等于（　　）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故选：B．
2．若一组数据2，0，3，4，6，x的众数为4，则这组数据中位数是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．3.5
【分析】根据众数的意义可求出x＝4，再根据中位数的意义，排序后找出中间位置的一个数或两个数的平均数即可．
【解答】解：这组数据的众数是4，因此x＝4，将这组数据从小到大排序后，处在第3、4位的两个数的平均数为（3+4）÷2＝3.5，因此中位数是3.5，
故选：D．
3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4 B．5，7，8 C．5，10，13 D．1，，2
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，由此判定即可．
【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为52+72≠82，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为52+102≠132，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为12+（）2＝22，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．已知一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的增减性可得k＜0，进一步可知y＝kx+3的图象经过的象限，即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴y＝kx+3经过第一、二、四象限，
故选：C．
5．命题：
①同位角相等；
②三角形的外角大于三角形的内角；
③一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值为3；
④等腰三角形是轴对称图形，其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同位角概念，三角形外角的性质，平均数的概念，轴对称图形概念一一判断．
【解答】解：同位角不一定相等，故①是假命题；
三角形的外角大于与它不相邻的三角形的内角，故②是假命题；
一组数据1，4，7，x，5的平均数为4，则x的值为3，故③是真命题；
等腰三角形是轴对称图形，故④是真命题；
∴真命题有③④，共两个，
故选：B．
6．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（　　）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．

A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠2+∠4＝180°（邻补角的定义），
∴∠3＝∠4（同角的补角相等）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
所以排序正确的是②③⑤④①，
故选：B．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．＝4
C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝3，所以C选项符合题意；
A．原式＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．已知是方程组的解，则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个关于未知系数的一元一次方程，解答即可．
【解答】解：∵是方程组的解
∴将代入①，得
a+2＝﹣1，
∴a＝﹣3．
把代入②，得
2﹣2b＝0，
∴b＝1．
∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．
故选：B．
9．甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次百米跑成绩的平均数（秒）及方差如下表，若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
12.3
12.3
12.5
12.5
方差
0.45
0.2
0.2
0.45
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由于乙2＝S丙2＜S甲2＝S丁2，则乙、丙同学的成绩比较稳定，加上乙的成绩比丙的成绩好，所以应该选乙同学．
【解答】解：∵S乙2＝S丙2＜S甲2＝S丁2，
而乙的成绩比丙的成绩好，
∴这四位同学中乙同学的成绩较好且状态稳定，
∴应该选乙同学参加学校比赛．
故选：B．
10．已知点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，则坐标原点O与点B之间的距离为（　　）
A． B． C．3 D．2
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得出a，b的值，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，
∴B（﹣3，2），
∴坐标原点O与点B之间的距离为：＝．
故选：A．
11．（2分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）

A．80° B．82° C．84° D．86°
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【解答】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2+∠3＝75°①，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②，
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°，
∴∠DAC＝105°﹣25°＝80°．
故选：A．
12．（2分）将直线y＝5（x﹣1）+2向上平移1个单位长度，则平移后直线的函数表达式为（　　）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+3 C．y＝5x﹣1 D．y＝5x
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上+下﹣”即可确定．
【解答】解：将直线y＝5（x﹣1）+2向上平移1个单位长度，平移后的直线表达式为y＝5（x﹣1）+2+1，
整理，得y＝5x﹣2，
故选：A．
13．（2分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）

A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝＝＝2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD＝＝＝2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
故选：C．
14．（2分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了xmin，下坡用了ymin，根据题意可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：，
故选：B．
15．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣4），经过点A的直线l∥y轴，C是直线l上的一个动点，当线股BC的长度最小时，点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣4） B．（1，4） C．（1，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短可知BC⊥AC时BC最短．
【解答】解：如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短．

∵A（﹣2，3），B（1，﹣4），AC∥y轴，
∴BC＝2，
∴C（﹣2，﹣4），
故选：A．
16．（2分）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a﹣1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝3，其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a﹣1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a﹣1的左右两边，
左边＝3，右边＝1，
当a＝1时，方程组的解不是是x+y＝2a﹣1的解；
②解原方程组，得
∴x+y＝3，
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
综上所述：②③正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题；每小题共10分，17～-18小题各3分；19小题有两小空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若一次函数y＝﹣3x+b上有两点（1，y1）和（﹣2020，y2），则y1与y2的大小关系为y1　＜　y2（填“＞“、“＜“或“＝“）．
【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合1＞﹣2020，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（1，y1）和（﹣2020，y2）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，且1＞﹣2020，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
18．已知，x、y是有理数，且y＝+﹣4，则2x+3y的立方根为　﹣2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
所以＝﹣2．
故答案是：﹣2．
19．（4分）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3；…按如图放置，其中点A1、A2、A3，…在x轴正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝﹣x+2上，依此类推，其中B1的坐标 　（1，1）　，点Bn的坐标是 　（，）　．

【分析】先根据直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴A1B1＝B1C1．
∵点B1在直线y＝﹣x+2上，
∴设B1的坐标是（x，﹣x+2），
∴x＝﹣x+2，x＝1．
∴B1的坐标是（1，1）．
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵A1A2B2C2是正方形，
∴B2C2＝A1C2，
∵点B2在直线y＝﹣x+2上，
∴B2C2＝B1C2，
∴B2C2＝A1B1＝，
∴OA2＝OA1+A1A2＝1+＝2﹣，
∴点B2的坐标为（1+，）．
同理，OA3＝OA1+A1A2+A2A3＝1++＝2﹣A3D＝2﹣，
可得到点B3的坐标为（1++，），
依此类推，OAn＝OA1+A1A2+⋯An﹣1An＝1+++⋯+＝2﹣AnD＝2﹣＝，

∴Bn的坐标为（，）．
故答案为：（1，1），（，）．
三、解答题（本大题共6个小题，共68分，）
20．（10分）（1）；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4÷﹣+2
＝4+．
（2）
由②得：y＝2x﹣14③，
将③代入①得：x＝7，
将x＝7代入③得：y＝0，
∴方程组的解为：．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是　（a+4，﹣b）　．

【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用平移变换的性质得出点M2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）由（1）（2）轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是：（a+4，﹣b）．
故答案为：（a+4，﹣b）．

23．（9分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A类；5本；B类；6本；C类：7本；D类：8本，然后统计数据并绘制成如图9﹣1所示的条形统计图和如图9﹣2所示的扇形统计图．

（1）本次接受随机调查的学生人数为 　20　人；在扇形统计图中，m＝　40　．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？

【分析】（1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用B类型人数除以总人数可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念求解即可；
（3）总人数乘以样本数据的平均数即可．
【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为6÷30%＝20（人），
在扇形统计图中，m%＝×100%＝40%，即m＝40；
故答案为：20、40；
（2）平均数为＝6.6（本），众数为6本，中位数为＝6.5（本）；
（3）260×6.6＝1716（本），
答：估计这260名学生共捐赠图书1716本．
24．（10分）甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h．并在中途休息了0.5h．休息前后速度相同．图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）函数图象．
（1）求a的值；
（2）求当b＜x≤7时，甲车行驶的路程y与甲行驶的时间x的函数表达式；
（3）直接写出乙车行驶几小时时，两车恰好相距40km．

【分析】（1）求出甲的速度，根据休息前后速度相同和距离等于速度乘时间求出a的值；
（2）根据图象中自变量的取值范围分别求出各段的函数表达式；
（3）分别从甲在乙前和甲在乙后两种情况列出方程，求出时间．
【解答】解：（1）由题意120÷（3.5﹣0.5）＝40，a＝1×40＝40，
（2）当＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
由题意，得，
解得，
∴y＝40x﹣20；

（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，
由题意，得，解得，
∴y＝80x﹣160，
当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得：x＝．
当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得：x＝，
答：乙车行驶0.5小时或＝2.5小时，两车恰好相距40km，
25．（11分）[1]问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
[2]问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．

【分析】（1）先作辅助线，利用图2结论得到三个角的关系．
（2）分P在A的左边和P在B的右边两种情况作图，利用平行线性质和三角形外角定理得出三个角的关系．
【解答】解：（1）如图3：∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

过P作PE∥AD，交CD于E．
∵AD∥BC．
∴PE∥BC．
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE．
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β．
（2）如图，当P在A左侧时，∠β＝∠α+∠CPD．

∵AD∥BC．
∴∠β＝∠COD．
∵∠COD是△POD的外角．
∴∠COD＝∠CPD+∠ADP．
∴∠β＝∠α+∠CPD；
如图，当P在B的右侧时，∠α＝∠β+∠CPD．

∵AD∥BC．
∴∠α＝∠BOP．
∵∠BOP是△POC的外角．
∴∠BOP＝∠PCB+∠CPD．
∴∠α＝∠β+∠CPD．
26．（12分）为迎接“国家级文明卫生城市“检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现；购买1个A型垃圾箱和2个B型拉圾箱共需340元：购买了3个A型拉圾箱和1个B型垃圾箱共需420元．
（1）求1个A型垃圾箱，1个B型垃圾箱分别是多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱x（x≤16）个．
①求购买垃圾箱的总费用W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数表达式；
②当购买A型垃圾箱多少个时，总费用最少？最少费用是多少？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需420元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买（30﹣x）个B型垃圾箱，根据总价＝单价×购进数量，即可得出ω关于x的函数关系式；
②利用一次函数的性质解决最值问题．
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：1个A型垃圾箱100元，1个B型垃圾箱120元；
（2）①设购买x个A型垃圾箱，
则购买（30﹣x）个B型垃圾箱，
由题意得：W＝100x+120（30﹣x）＝﹣20x+3600（0≤x≤16，且x为整数）；
②由①知，W＝﹣20x+3600，
∴W是x的一次函数．
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小．
又0≤x≤16，且x为整数，
∴当x＝16，W取最小值，且最小值为﹣20×16+3600＝3280．
答：①函数关系式为W＝﹣20x+3600（0≤x≤16，且x为整数），
②购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元．