安徽省合肥市五校联考2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第一学期合肥市五校联考高一年级期末教学质量检测卷（数学）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：B

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式化简即可.

【详解】

故选：C

3. 命题：，，则命题的否定是（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题：，是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即，，

故选：D

4. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.

【详解】要使函数有意义，需满足，

解得，

故选：D

5. 下列函数在定义域上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本函数的性质即可判断.

【详解】函数 在上既有单调增区间又有减区间，A不符合题意；

函数在定义域上为增函数，B符合题意；

函数是在上单调递减的指数函数，C不符合题意；

函数的定义域为，在 是减函数，在是增函数，故D不符合题意.

故选：B

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论.

【详解】由得：或，

 “”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7. 若，，，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.

【详解】指数函数为增函数，则；

对数函数为增函数，则，即；

对数函数为增函数，则.

因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.

8. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知1和2是方程的两个根，代入方程求的值即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以是方程的两个根，

将代入方程得，

解得，

故选：C

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 函数有且仅有一个零点0 B.

C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数零点的定义可判断A；根据分段函数解析式求出f(2)可判断B；根据一次函数的单调性可判断CD．

【详解】由函数，可得函数有且仅有一个零点0，故A正确；

由于，故B错误；

当时，，∴在上单调递增，故C正确；

当时，，∴在上单调递减，故D正确．

故选：ACD

10. 已知函数，要得到函数的图象可由函数的图象（    ）

A. 先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

B. 先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变

D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数图像缩放平移的规则计算即可.

【详解】先将横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 ，

再向右平移 个单位长度得到函数 的图象，A错误，B正确；

先向右平移 个单位长度，得到 ，

再将横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，C正确，D错误.

故选：BC.

11. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 当时，最小值是2 B. 是奇函数

C. 在上单调递减 D. 在上单调递增

【答案】ABCD

【解析】

【分析】由基本不等式可判断A；由奇偶性的定义可判断B；由单调性的定义可判断CD

【详解】当时，由基本不等式，当且仅当时，取等号，

所以当时，函数的最小值为2，故A正确；

因为函数的定义域为，

，可得是奇函数，故B正确；

任取，且

，

因为，

所以，

所以，即，

所以函数在上为减函数，故C正确；

同理可得函数在 上为增函数，故D正确；

故选：ABCD

12. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为

B. 函数在单调递减

C. 函数的图象关于直线对称

D. 该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】CD

【解析】

【分析】先根据图象求出的解析式，再分别验证A、B、C、D是否正确.

根据图象得到的周期进行判定；求得的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B；计算，看是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断.

【详解】由图象可知：A=2，周期；

由，解得：，

故函数.

对于A：，故A错误；

对于B：当 时，因为上正弦函数先减后增，不单调，所以在上不单调，故B错误；

对于C：当 时，即直线是的一条对称轴，故C正确；

对于D：向右平移个单位得到，故D正确.

故选：CD.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. ___．

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算法则计算可得；

【详解】解：；

故答案为：

14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】求出的值，利用奇函数的性质可求得的值.

【详解】由题意可得，因为函数为奇函数，故.

故答案为：.

15. 若角的终边过点，则______.

【答案】-2

【解析】

【分析】由正切函数定义计算.

【详解】根据正切函数定义：.

故答案为－2.

【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.

16. 若，，且，则的最小值为________．

【答案】4

【解析】

【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.

【详解】由题设，知：当且仅当时等号成立.

故答案为：4.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设全集为，，

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】解一元二次不等式得B集合，

（1）由交运算、并运算可得结果；

（2）由集合的包含关系列式可得结果.

【小问1详解】

，

当a=2时， ，

∴ ，；

【小问2详解】

∵ ，，，

如图所示，

∴

故实数a的范围为.

18 求解下列问题：

（1）已知，为第二象限角，求和的值；

（2）已知，，，为锐角，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.

【小问1详解】

由于，为第二象限角，

所以，

所以.

【小问2详解】

由于，为锐角，所以，

由于，，

所以，

所以

.

19. 已知函数且点在函数的图像上.

（1）求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；

（2）求不等式的解集；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

【答案】（1），图像见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由得出，进而画出图像；

（2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；

（3）由函数的图像与函数的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m的取值范围．

【小问1详解】

点在函数的图像上，，

，

函数的图像如图所示：

【小问2详解】

不等式等价于或，

解得或，

不等式的解集为

【小问3详解】

方程有两个不相等的实数根，

函数的图像与函数的图像有两个不同的交点．

结合图像可得，故实数m的取值范围为 .

20. 已知函数的最大值为,函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求的值;

（2）若,,求的值.

【答案】（1）,   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据函数的最大值为可得;由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得,结合即可求出结果;

(2)根据,可得的值,依据可求出的值,即可求出的值.

小问1详解】

由题意,函数的最大值为2,可得,

由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,可得,

,即;

【小问2详解】

由(1)知,

,

,

即,

,

,

,

,

.

21. 已知函数

（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；

（2）求函数在上的值域．

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式辅助角公式化简，根据公式求函数最小正周期，根据正弦函数性质求得单调区间．

（2）由题意可得，利用正弦函数的单调性求值域.

【小问1详解】

，

∴的最小正周期 ；                   

令 ，解得： ，

∴的单调递增区间为；

【小问2详解】

当 时， ，                        

∴， ∴ ，      

即 在 上的值域为 .

22. 已知函数为奇函数，.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性；

（3）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）在R上是增函数   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数性质可得，，代入即可得到的值；

（2）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可；

（3）利用奇函数性质可推得，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在上恒成立的问题，求解即可.

【小问1详解】

函数定义域为.因为函数为奇函数，

所以有，即.

又，

则，

所以，.

【小问2详解】

由（1）知，.

任取，不妨设 ，

，

∵，∴，∴.

又，，

∴，

即，

∴函数是上的增函数.

【小问3详解】

因为，函数为奇函数，

所以等价于，

∵是上的单调增函数，

∴，即恒成立，

∴，

解得.