考点18 空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

考点18  空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）

1.异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：.

3.求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.

4.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

5.求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

6.点到平面的距离

用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.

1.异面直线所成的角，若向量a、b分别是异面直线与的方向向量，异面直线与所成的角为，则；.

2.设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则；.

3.设向量为m平面的一个法向量，向量n为平面的一个法向量，平面与平面所称的二面角为，则；. 或.

4.点到平面的距离的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.

5.求参数的值与范围是高中数学中的常见题型.立体几何中含参数的问题，解决起来既有常规的函数和不等式法，亦有具有立体几何特征的极限位置、几何直观、化曲为直等一些特殊方法.

6.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

解决存在性问题应注意以下几点：

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．

线线、线面、面面角

1.（2021贵州省遵义航天高级中学高三月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．（2022·湖南衡阳·二模）如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为为母线，平面平面为的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.

3．（2022·河南河南·三模（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．

(1)若平面，求；

(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？

4.（2022新高考地区专用）如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．

则二面角的余弦值为____________

5．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值．

6．（2022·重庆八中模拟预测）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.

(1)证明:AC1⊥A1B；

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－C的余弦值.

7．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面ABC；

(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．

空间距离

1.（2022江苏省南通市海安市高三学业质量监测）与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点共有（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．无数个

2.（2021山东省东营市广饶县第一中学高三上学期10月月考）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为，求点到平面的距离.

与参数有关的问题

1.（2021广东省茂名市五校联盟第三次联考）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.

（1）证明：；

（2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值.

探究性问题

1.（2021广东省深圳市光明区高三第一调研）如图，在四棱锥中，，，，，.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.

1. （2021年全国高考乙卷）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

一、单选题

1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是与的交点，则AD与平面所成角的正弦值是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·三模（理））在三棱锥中，△ABC是边长为2的等边三角形，，，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

4．（2022·山东济南·一模）在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（       ）

A． B．平面

C．点B到平面的距离为 D．直线BO与直线的夹角为

5．（2022·重庆·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，，，则下列结论中一定正确的是（       ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的表面积为

C．三棱锥的体积的最大值为

D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为

6．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（       ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线AP与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

7．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，已知，是的中点，沿直线将翻折成，设直线与面所成角为，二面角的平面角为，则（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·湖南衡阳·二模）已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（       ）

A．点到平面的距离为

B．正方体外接球的体积为

C．面截正方体外接球所得圆的面积为

D．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于

三、填空题

9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.

10．（2022·浙江台州·二模）空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点作的垂线，则与平面所成的最大角的正弦值___________.

11．（2022·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.

（1）直线与平面所成角的正切值为___________；

（2）直线到平面的距离为___________；

（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.

12．（2022·河南·模拟预测（理））已知三棱锥中，与均为等边三角形，二面角的大小为60°，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为______．

13．（2022·重庆八中模拟预测）过正方体的顶点A作直线l，使得l与直线，所成的角均为，若这样的直线l恰有两条，则的取值范围为___________.

四、解答题

14．（2022·河北唐山·二模）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是的中心，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且平面ABC．

(1)证明：；

(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．

15．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形.，D，E分别为AC和上的点，且，，F为棱上的点，.

(1)证明：，且；

(2)当为何值时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？

16．（2022·全国·三模（理））如图所示，在四棱柱中，四边形ABCD为矩形，，四边形为菱形，，平面平面ABCD，点E为线段AB的中点，M为线段AE的中点．

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

17．（2022·广东潮州·二模）如图，平面平面CEFG，四边形CEFG中，，，点E在正方形ACDE的外部，且，，，．

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值．

18．（2022·广东·二模）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

(1)证明：平面ABC．

(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

19．（2022·山西太原·二模（文））如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，，分别为棱，的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

20．（2022·广东韶关·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．AB=2，AD=4，

(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO//平面PAD；

(2)若二面角P-AD-B的大小为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

21．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在直四棱柱中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1．

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的大小为60°，求侧棱的长．

22．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）如图，平面，，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值．