2023年中考数学一轮复习题型归纳专练10 全等三角形

这是一份2023年中考数学一轮复习题型归纳专练10 全等三角形，共71页。

专题10 全等三角形
题型分析


题型演练

题型一 全等三角形的概念

1．（2022·广西·一模）下列说法正确的是（    ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形
B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形
D．两个全等图形的面积一定相等
2．下列说法正确的是（    ）
A．形状相同的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．所有等腰三角形都是全等三角形
D．所有等边三角形都是全等三角形
3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（    ）

A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
4．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①和②
题型二 全等三角形的性质

6．（2022·贵州毕节·二模）如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（    ）

A． B． C． D．
7．（2022·云南·一模）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
8．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
9．如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（　　）

A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．仅①②③④
题型三 利用SSS证明三角形全等

11．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
12．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（    ） ．

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
13．（2022·广东·黄埔学校九年级开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
14．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（  ）

A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
题型四 利用SAS证明三角形全等

16．为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
17．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）

A． B． C． D．
18．如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（　）

A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E
19．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（    ）

A． B． C． D．
20．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（    ）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
题型五 利用ASA证明三角形全等

21．如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（    ）

A．① B．② C．③ D．①和②
22．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、2或2、4去就可以了
23．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
24．如图，已知，添加下列条件中的一个，不能判断的是（    ）

A． B． C． D．
25．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(   )

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
题型六 利用HL证明三角形全等

26．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ）

A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
27．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（   ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
28．（2022·山东济南·模拟预测）如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ）

A．15° B．20° C．30° D．40°
29．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B． C． D．
30．（2022·浙江温州·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（　　）

A．4 B．6 C．5 D．8
题型七 尺规作图

31．（2022·广西贵港·三模）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．

32．（2022·广东惠州·二模）如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC=DF．

33．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图，在中，．
求作：射线，使得．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程．
作法：如图
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，与中作的弧在内部交于点；
④作射线所以射线就是所求作的射线．

根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹，并完成证明．
34．（2022·湖南长沙·模拟预测）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．

（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，

∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
35．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．
（1）在图①中画出以为斜边的等腰直角，使点在格点上；
（2）在图②中画出以为斜边的直角，使点在格点上且与不全等，再在上找到一点，使得最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）
      
题型八 倍长中线模型

36．如图，中，，，为中线，求中线的取值范围．

37．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6

（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
38．如图，在中，，是边上的中线，延长至，使，求证：.

39．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

40．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】
（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．
题型九 旋转模型

41．（2022·广东汕尾·九年级期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点．

（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
42．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD.

图1                                          图2
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.
43．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
44．（2022·福建泉州·九年级期中）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.

（1）求证：
（2）求证：
45．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．

题型十 垂线模型

46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　．

47．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

48．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）

49．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．

(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
50．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）九年级期中）在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．

(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
题型十一 角平分线性质定理的应用

51．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为（     ）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
52．（2022·福建省福州第四十中学九年级开学考试）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若△BCG的面积为4，BC＝4，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B．4 C．3 D．2
53．（2022·山东泰安·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
54．（2022·广东·东莞市光明中学三模）以下不是命题的是（　　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段cm D．全等三角形对应角相等
55．（2022·河北邯郸·三模）在正方形网格中，的位置如图所示，则下列各点中到两边距离相等的点是（    ）

A．点Q B．点N C．点R D．点M
题型十二 角平分线的判定定理

56．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（    ）

A．62° B．56° C．52° D．46°
57．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
58．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
59．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定


题型一 全等三角形的概念

1．（2022·广西·一模）下列说法正确的是（    ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形
B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形
D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选项错误；
边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；
故选：D．
2．下列说法正确的是（    ）
A．形状相同的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．所有等腰三角形都是全等三角形
D．所有等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
【详解】A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；
C、两个等腰三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误；
D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．
故选：B．
3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（    ）

A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【答案】B
【详解】分析：.首先观察图形，尝试找出图中所有的三角形，根据全等三角形的定义得出答案.
详解：如图：

对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.
4．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：

故选B．
5．下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①和②
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．
【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合
故选D．
题型二 全等三角形的性质

6．（2022·贵州毕节·二模）如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形全等的性质和对应点即可得出答案．
【详解】∵与全等，点A与点，点与点是对应顶点，
∴．
故选A．
7．（2022·云南·一模）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
8．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
【答案】D
【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形的三边关系可求得EF的值．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，
∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∴4-2＜EF＜4+2，即2＜EF＜6，
∵△DEF的周长为奇数，
∴EF的长为奇数，
∴EF=3或5．
故选：D．
9．如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝ED，
∴AB﹣AE＝DE﹣AE，
∴EB＝AD，
∵AB＝7，AE＝2，
∴EB＝5，
∴AD＝5．
故选：B．
10．如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（　　）

A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．仅①②③④
【答案】D
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
【详解】∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，①成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠D，又∠DEC+∠D=90°，
∴∠DEC+∠ABE=90°，即∠AED=90°，
∴AE⊥DE，②成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB=EC，BE=CD，又BC=BE+EC，
∴BC=AB+CD，③成立；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，④成立，
故选D．
题型三 利用SSS证明三角形全等

11．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】A
【分析】根据题意可知OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，进而问题可求解
【详解】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
12．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（    ） ．

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】根据作图过程，可知，进而即可得判定图中两三角形全等的条件．
【详解】如图，由作图可知

在与中

（SSS）
故选D
13．（2022·广东·黄埔学校九年级开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
【答案】D
【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．

14．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中

∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（  ）

A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【分析】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
【详解】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
题型四 利用SAS证明三角形全等

16．为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】解：在△ABO和△CDO中

△ABO≌△CDO（SAS）
故选B
17．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
18．如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（　）

A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E
【答案】C
【分析】根据题目中给出的条件，，根据全等三角形的判定定理判定即可．
【详解】解：，，
则可通过，得到，
利用SAS证明△ABC≌△ADE，
故选：C．
19．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个风筝框架所需这种材料的总长度．
【详解】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF=C△ABC=24cm．
∵CF=3cm，
∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．
故选：B．
20．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（    ）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】B
【分析】根据题意，连接AB，A′B′，证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可求得答案．
【详解】解：连接AB，A′B′，如图，

∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
故选：B．
题型五 利用ASA证明三角形全等

21．如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（    ）

A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带去．
【详解】解：由图形可知，有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带去．
故选：．
22．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、2或2、4去就可以了
【答案】C
【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案
【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A、B、D不符合题意，C符合题，
故选：C．
23．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去．
【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
24．如图，已知，添加下列条件中的一个，不能判断的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理一一判断即可.
【详解】由，还有一条公共边AB,故
A. ，可利用AAS判定；    
B. ，可利用SAS判定；    
C. ，可利用ASA判定；    
D. ，不能判定；
故选D.
25．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(   )

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
【详解】∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
题型六 利用HL证明三角形全等

26．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ）

A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
【答案】B
【分析】根据题意可得，，，根据全等三角形的判定方法，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，，
根据全等三角形的判定方法可得
故选B
27．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（   ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】易证，可得，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】∵ BD为∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△(SAS)，故①正确；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正确；
作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∵ E是BD上的点，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确；
故选：D．

28．（2022·山东济南·模拟预测）如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ）

A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法可得△OCA≌△OCB′，进而可得∠OB′C＝∠OAC，再由三角形的外角性质即可求解.
【详解】过点O作线段A′B′，如图，∠AOA′即为跷跷板可以转动的最大角度

在Rt△OCA和Rt△OCB′中
∵OA＝OB′，OC＝OC
∴△OCA≌△OCB′（HL）
∴∠OB′C＝∠OAC＝15°
∵∠AOA′＝∠OB′C＋∠OAC＝15＋15°＝30°
∴跷跷板可以转动的最大角度为30°
故选：C
29．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可．
【详解】设相交于点，连接，

由已知得：
由旋转的性质可知：，
∴
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选D．
30．（2022·浙江温州·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（　　）

A．4 B．6 C．5 D．8
【答案】D
【分析】过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，在证明，继而解得，证明三点同在一条直线上，再证明，中，由勾股定理解得EK 的长，证明得到，最后由三角形面积公式解答．
【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点


在正方形中，，
正方形中，，

四边形是矩形
在和中，






三点同在一条直线上，
四边形是矩形


与中



四边形是正方形
设正方形的边长为
则
，


（舍去）



与中





故选：D．
题型七 尺规作图

31．（2022·广西贵港·三模）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．

【答案】见解析
【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
【详解】解：△DEF即为所求．

32．（2022·广东惠州·二模）如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF，
（1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC=DF．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）①以E为圆心，以EM为半径画弧，交EF于H，②以B为圆心，以EM为半径画弧，交EF于P，③以P为圆心，以HM为半径画弧，交前弧于G，④作射线BG，则∠CBN就是所求作的角．（2）证明△ABC≌△DEF可得结论．
试题解析：（1）如图，

（2）∵CM∥DF，∴∠MCE=∠F，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF，∴AC=DF．
33．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图，在中，．
求作：射线，使得．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程．
作法：如图
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，与中作的弧在内部交于点；
④作射线所以射线就是所求作的射线．

根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹，并完成证明．
【答案】见详解
【分析】根据要求作出图形，再利证明三角形全等，进而即可得到结论．
【详解】解：如图，射线即为所求．

连接，，

在和中，
，
∴
∴，
∴．
34．（2022·湖南长沙·模拟预测）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．

（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，

∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）；（2）④．
【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，在和中，
，
∴．
故答案为：．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④．
35．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．
（1）在图①中画出以为斜边的等腰直角，使点在格点上；
（2）在图②中画出以为斜边的直角，使点在格点上且与不全等，再在上找到一点，使得最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）
      
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．
【详解】（1）△ABC即为所求．

（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．
题型八 倍长中线模型

36．如图，中，，，为中线，求中线的取值范围．

【答案】
【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，然后根据三角形三条边的关系求解即可．
【详解】解：延长至点，使，连接，

是中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
．
37．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6

（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）1＜CD＜5．
【分析】（1）由题知CD为中线，只要使DE=CD，然后连接AE即可；
（2）根据三角形三边关系，先求出CE的取值范围，即可求出CD的取值范围.
【详解】解：（1）中点D如图所示，△ADE即为所求．

（2）由题意AE＝BC＝6，
∴6﹣4＜EC＜4+6，
∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，
∴1＜CD＜5．
38．如图，在中，，是边上的中线，延长至，使，求证：.

【答案】详见解析
【分析】首先延长AD至M，使DM=AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC=AB，∠B=∠MCD，即可得出∠ACM=∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可得出答案．
【详解】如图，延长AD至M，使DM=AD，连结CM，
又，，
，
，，
，
，
，，
，
，.
又，.
，即.

39．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中  
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

40．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】
（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．
【详解】（1）证明：，，，
，
（2）；
如图，延长至点，使，连接，

在与中，
，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
故答案为：；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，
在和中，，，，
，，
在和中，
，，，
，，
在中，两边之和大于第三边
，，
又，，


题型九 旋转模型

41．（2022·广东汕尾·九年级期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点．

（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）不成立，理由详见解析
【分析】（1）由题意首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用AAS定理证明，进而进行线段等量代换即可求证；
（2）根据题意首先利用角的等量代换证明和，进而利用AAS定理证明，进而进行线段等量代换即可求证．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，

∴，
∴，．
∵，
∴．
（2）不成立．理由如下：
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，

∴，
∴，，
∴．
42．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD.

图1                                          图2
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.
【答案】（1）补全图形见解析. ∠APE=60°；（2）补全图形见解析.，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，按照要求补全图形即可；
（2）先补全图形，然后首先证明△ABD≌△BEC得出∠BAD=∠CBE，之后通过一系列证明得出△AQF≌△EQB，最后进一步从而得出即可.
【详解】（1）补全图形如下，其中 ∠APE=60°，

（2）补全图形.  

证明：在△ABD和△BEC中，

∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD=∠CBE.
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.
∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，
∴AF=AD，∠DAF=120°.
∵∠APE=60°，
∴∠APE+∠DAP=180°.
∴AF∥BE
∴∠1=∠2
∵△ABD≌△BEC，
∴AD=BE.
∴AF=BE.
在△AQF和△EQB中，

∴△AQF≌△EQB（AAS）
∴AQ=QE
∴
∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，
且AE=BC，CD=BD.
∴AE=CD..
∴
43．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可．
（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）补全图形

（2）BE+DF=EF．
证明：延长FE到H,使EH=EF

∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
44．（2022·福建泉州·九年级期中）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.

（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
【详解】（1）如图

∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
45．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的长．

【答案】（1）见解析；（2）EF＝.
【分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；
（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
题型十 垂线模型

46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　．

【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解．
【详解】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）∵△BCE≌△CAD，
∴BE＝DC，AD＝CE，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，
故答案为：AD＝BE+DE．
47．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
48．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，

∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，

∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
49．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．

(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立
(2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                           
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，

∵∠BCG+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°
∴△ACE≌△CBG．
∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
50．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）九年级期中）在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．

(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示. 见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.
【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；
②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;
(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF
由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.
【详解】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.

猜想：∠BAE=∠BCD.
理由如下：
∵CD⊥AB,AE⊥BC，
∴∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°.
∴∠BAE=∠BCD.
②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.

连接DF.
∵∠BAC=45°,CD⊥AB,
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴AD=CD.
又∠BAE=∠BCD,
∴△ADF≌△CDE（SAS）.
∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.
∵AB⊥CD,
∴∠ADF﹢∠FDC=90°.
∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形.
∴EF=.
∵AF+EF=AE,
∴CE+DE=AE.    
（2）依题意补全图形，如图3所示.

在CE上截取CF=AE，连接DF
∵CD⊥AD，AE⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD
∴∠EAD=∠DCF
∵∠BAC=45°
∴∠DCA=45°
∴AD=CD
又∵CF=AE
∴△ADE≌△CDF
∴ED=DF
∠ADE=∠CDF
∵∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
∴
∵CE=CF+EF
∴
∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.
故答案为：CE-DE=AE
题型十一 角平分线性质定理的应用

51．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为（     ）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【分析】过点作于点，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，进而可得，，则，根据角平分线的性质可得，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，

由题意可知，为的角平分线，
，，
，
，
，
，
在中，，
则，

故选：D
52．（2022·福建省福州第四十中学九年级开学考试）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若△BCG的面积为4，BC＝4，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】当GP⊥AB时，GP最短；根据题意可得BG为∠CBA的角平分线，根据角平分线上的点到两边是距离相等即可得到GP=CG，根据△BCG的面积为4，BC＝4，求出CG的长度即可．
【详解】解∶ 根据题意可得BG为∠CBA的角平分线，
当GP⊥AB时，GP最短，
∵BG为∠CBA的角平分线，CG⊥BC，GP⊥AB，
∴GP=CG，
∵△BCG的面积为4，BC＝4，
∴CG=2，
∴GP最小值为2，
故选：D．
53．（2022·山东泰安·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．

54．（2022·广东·东莞市光明中学三模）以下不是命题的是（　　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段cm D．全等三角形对应角相等
【答案】C
【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．
【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题，不符合题意；
B、定理一定是真命题，是命题，不符合题意；
C、画线段cm，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
D、全等三角形对应角相等，是命题，不符合题意；
故选：C．
55．（2022·河北邯郸·三模）在正方形网格中，的位置如图所示，则下列各点中到两边距离相等的点是（    ）

A．点Q B．点N C．点R D．点M
【答案】D
【分析】根据角平分线性质得出当点在∠AOB的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在∠AOB的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据图形可知M点符合．
故选：D．
题型十二 角平分线的判定定理

56．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（    ）

A．62° B．56° C．52° D．46°
【答案】B
【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA， OB的距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB，根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．
【详解】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
点P到射线OA， OB的距离相等，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵∠BOP= 28°，
∴∠AOP=∠BOP=28°，
∵MP∥OB
∴∠MPO=∠POB =28°
∴∠AMP=∠AOP+∠MPO= 56°
故选：B
57．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=(180°-∠ACB)=(180°-90°)=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴PH=PD，故③正确．
连接CP，如下图所示：

∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确，
综上所述，①②③④均正确，
故选：D．
58．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，根据题意得到答案．
【详解】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，

∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故选B．
59．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】A
【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．

∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．故选A．