考点19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

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考点19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）

一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
二、 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
三、 圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0


1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2.已知两直线的一般方程
两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：
A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.
3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
4.求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．

直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（       ）
A． B． C． D．

2.（2021天津市第七中学月考）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2022·天津南开·一模）已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东潍坊·二模）已知直线，，若，则(       )
A． B． C．3 D．－3
5．（2022·北京丰台·二模）已知双曲线C：（，）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．以线段为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若，则的面积是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（       ）
A． B．
C．点到轴的距离为 D．的角平分线所在直线的倾斜角为
三、填空题
7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．
8．（2022·广东潮州·二模）设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是______．
四、解答题
9．（2022·北京丰台·二模）已知椭圆C：经过点，P到椭圆C的两个焦点的距离和为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．




两直线的位置关系
1.（2021黑龙江省实验中高三检测）已知直线和互相平行，则实数（ ）
A. B. C. 或 D. 或
直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（       ）
A． B． C．3 D．
3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆与直线有公共点的充要条件是（ ）
A．或 B．
C． D．或
4.（2022广西南宁市高三摸底测试）已知直线与圆相切，则m的值为（ ）
A. 3或 B. 1或
C. 0或4 D. 或0
5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（       ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
7．（2022·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C：，则（       ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
8．（2022·重庆·二模）已知点，过直线上一点作圆的切线，切点分别为，则（       ）
A．以线段为直径的圆必过圆心
B．以线段为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形的面积的最小值为4
D．直线在轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
三、填空题
9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆截得弦长的最小值为______．
四、解答题
10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求a.




圆与圆的位置关系
1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为________．
直线与圆的综合问题
1.过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．

1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+
4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．






一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(       )
A．2 B． C．1 D．
2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线与直线垂直，则m=（       ）
A．-2 B． C．2 D．
3．（2022·天津河西·一模）抛物线的准线与圆相交于A，B两点，则（       ）．
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线恒过定点M，点N在曲线上，若（O为坐标原点），则的面积为（       ）
A． B．2 C． D．
5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022·山西临汾·三模（理））已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（       ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
二、多选题
7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，则l的方程可能是（       ）
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（       ）
A．
B．直线与圆O相切
C．直线与圆O截得弦长为
D．长最大值为
10．（2022·湖北·二模）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（       ）
A．直线l过定点
B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
11．（2022·广东深圳·二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（       ）
A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上
三、填空题
12．（2022·河北唐山·二模）若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．
13．（2022·上海宝山·二模）已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为__．
14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.
四、解答题
15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．




16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，动直线过与相交于，两点．
(1)当轴时，求的内切圆的方程；
(2)求内切圆半径的最大值．