四川省泸县第四中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期中考试试题（Word版附解析）

泸县四中2022-2023学年高二上期中考试

文科数学

考试时间：120分钟     满分：150分

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 为了解名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．

【详解】解：从1000名学生中抽取20个样本，

由，可得分段的间隔为.

故选：

【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和应用，属于基础题．

2. 某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如图所示，先把他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组．则这个小组中年龄不超过55岁的人数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求出样本间隔，结合茎叶图，即可求解.

【详解】根据题意，样本间隔为，

根据茎叶图可知不超过55岁的有8人，

因此抽出6人中，年龄不超过55岁人数为人.

故选：B.

3. 设满足约束条件，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，计算目标函数的最小值．

【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；

平移目标函数知，目标函数过点取最小值.

故选：

【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，考查数形结合思想，属于基础题．

4. 下列命题中，真命题是（    ）

A.  B.

C. 的充要条件是 D. 是的充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】的值域为,据此可判断A错误;若,则,则B错误;是的充分不必要条件,则C错误;若,,则,因此D正确.

【详解】对于A,的值域为,故不存在,使得,故A错误;

对于B,若,则,故B错误;

对于C, 时，当，不成立，故是的充分不必要条件,故C错误;

对于D,若,,则,即,是的充分条件,故D正确;

故选：D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断,考查基础知识.

5. 若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值，判断选项，利用作差法判断选项，利用指数函数的单调性判断选项，利用对数的定义判断选项，

【详解】解：因为，若，，则，故选项错误；

因为，当时，，故选项错误；

因为在上为增函数，若，则，故选项正确；

若，则和无意义，故选项错误．

故选：．

6. 直线被圆所截得的弦长是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用半径、圆心距和弦的关系可求出弦长

【详解】圆的圆心为，半径，

则圆心到直线的距离，

所以直线被圆所截得的弦长为

，

故选：D

7. 小王与小张二人参加某射击比赛，二人在选拔赛的五次测试的得分情况如图所示.设小王与小张这五次射击成绩的平均数分别为和，方差分别为和，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用平均数、方差公式计算即可．

【详解】由折线图可知，，

,

,

,

所以，．

故选：C

故选：C

8. 如果一个正方体的八个顶点都在半径为2的球面上，则该正方体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，球为正方体的外接球，设正方体的棱长为，即，再利用正方体的体积公式，即得解

【详解】由题意，正方体的八个顶点都在半径为2的球面上

故球为正方体的外接球，设正方体的棱长为

则

故正方体体积为

故选：D

9. 若椭圆​的动弦​斜率为​，则弦中点坐标可能是（    ）

A. ​ B.  C. ​ D. ​

【答案】B

【解析】

【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.

【详解】设，，则由已知得，，，

两式作差可得，，整理可得

中点D的坐标为，则有.

又点D在椭圆的内部，所以

故选：B.

10. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得，即，由此即可求出离心率.

【详解】直线的斜率为，

由题意，得，所以，

所以，

所以双曲线的离心率.

故选：D.

11. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.

考点：椭圆的简单性质

12. 已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用点到圆心的距离得到、的等式，再将代入，化简可得，最后利用二次函数的性质即可求得最小值.

【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且 ，当时，有最小值.的最小值为.

故选：B

第II卷   非选择题（90分）

二、填空题（5分每题，共20分）

13. 三进制数化为六进制数为，则_______．

【答案】9

【解析】

【分析】根据题意，先将化为十进制数，再化为六进位制数，即可求解.

【详解】根据题意，三进制数转化为十进制数为，

因为，，，

所以十进制数化为六进位制数为，因此.

故答案为：9.

14. 若 ​与​相外切， 则实数​____________.

【答案】11

【解析】

【分析】两圆外切时圆心距等于两圆的半径之和，据此可以求解.

【详解】对于 ： ，即 ；

对于 ： ，即 ；

当 外切时，圆心距 ， ；

故答案为：11.

15. 当时，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】对代数式形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案.

【详解】由题意，，故

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

16. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，画出图形，结合图形可得所求的范围．

【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，

直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），

画出图形如下图所示．

当直线，即直线与圆相切时，

则有，解得，．

结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，

∴实数取值范围是．

故答案为：．

【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解，

（2）移项，通分后化简求解，

【小问1详解】

由，得

解得或.

所以不等式的解集为或；

【小问2详解】

由，可得，

等价于，解得，

所以不等式的解集为．

18. 已知曲线

（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；

（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程；

【答案】(1) 长轴18，，焦点，（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）由椭圆方程，明确a=9，b=3，c=6，从而求得长轴长，焦点坐标，离心率；（2）设出双曲线方程,利用条件布列的方程组，解之即可.

试题解析：

椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6

(1)由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率．

(2)设双曲线方程为：

又双曲线与椭圆共焦点且离心率为

∴，解得：

∴双曲线方程为：

19. 已知圆C：，直线l：．

（1）求证：直线l与圆C恒相交；

（2）当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；

（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．

【小问1详解】

∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．

∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，

∴直线l与圆C恒相交．

【小问2详解】

圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．

又当m＝1时，l：x＋y＝5，

∴联立，得交点P（0，5），

∴，圆半径为2，

∴．

20. 已知长轴长为的椭圆的一个焦点为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦长公式即可求出结果.

小问1详解】

由题意，，，

∴，

∴椭圆的方程为．

【小问2详解】

设直线的方程为，点，

联立方程组

化简，得，

，即，       

且，，

∴

解得，符合题意，

∴直线的方程为或.

21. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.

（1）证明：；

（2）若，求到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】(1) 取中点，连接，,证平面可得.

(2)作平面的垂线，或利用三棱锥的等积转换求解.

【详解】（1）证明：取中点，连接，.

为等边三角形，.

，是的中点，为中点，∴.

又，平面.

（2）方法一：取中点，连接CM.

为等边三角形，.

平面平面，，

平面..

又，平面.

，为等边三角形，.

是的中点，

到平面的距离的倍等于到平面的距离.

到平面的距离为.

方法二：由平面平面，，

可得平面，则.

，为等边三角形，则.

是的中点，.

点到平面的距离为，设到平面的距离为，

由，解得.

【点睛】本题考查空间垂直关系的转化，空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化，要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作—证—求和等积转换.

22. 设椭圆 ​的右焦点为​，右顶点为​，上顶点为​. 已知椭圆 的短轴长为​，且有​.

（1）求椭圆的方程;

（2）设 ​为该椭圆上两动点，​分别为​在​轴上的射影，而直线​、​的斜率分别为、​，满足​，其中​为原点. 记​和​的面积之和为​，求​的最大值

【答案】（1）​   

（2）​.

【解析】

【分析】（1）根据列方程，解方程得到，即可得到椭圆方程；

（2）联立椭圆和直线方程，得到，，利用三角形面积公式得到​的面积为​，同理可得，​的面积为​，即，然后利用换元法和基本不等式求最值即可.

【小问1详解】

由题设知 ​，设椭圆半焦距为​，则，，，，又,则​，

又​，可得​，则椭圆的方程为​.

【小问2详解】

联立 ​，得，

可得 ​，，而​的面积为

​，同理，​面积为​，故​，

而 ​

​

令 ​，则​，

故当 ​，即​或​时，​取到最大值​.