天津市和平区合江路中学2022-2023学年九年级数学上学期期末测试卷 (含答案)

这是一份天津市和平区合江路中学2022-2023学年九年级数学上学期期末测试卷 (含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

天津市和平区合江路中学2022-2023学年九年级数学上册期末测试卷（附答案）
一、选择题（共36分）
1．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　）

A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
4．已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
6．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
7．如图AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（　　）

A．2 B． C．2 D．4
8．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（　　）

A．π B． C．3π D．
9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．65° D．75°
10．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
11．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．48（1﹣x）2＝36 B．48（1+x）2＝36
C．36（1﹣x）2＝48 D．36（1+x）2＝48
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），下列结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③b＝a﹣am；④＝1﹣．其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题（共18分）
13．点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是　 　．
14．已知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x＝1，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 　 　．
15．圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为 　 　cm2．
16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝50°，则∠BOC＝　 　．

17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，F是DE中点，连接AF，则AF的长为 　 　．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，∠BAC＝20°．（Ⅰ）线段AB的长等于 　 　；
（Ⅱ）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB＝70°时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

三、解答题（共66分）
19．已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．如图△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：BC2＝CD•AC．

21．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．

22．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．
（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BE＝4，DE＝8，求CD的长．

23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，△PBD和△PAC都是直角三角形，∠DBP＝∠CAP＝90°．
（1）如图1，PA，PB与直线MN重合，若∠BDP＝45°，∠ACP＝30°，求∠DPC的度数；
（2）如图2，若∠BDP＝45°，∠ACP＝30°，△PBD保持不动，△PAC绕点P逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC∥BD时，求∠APN的度数；
（3）如图3，∠BPA＝α（90°＜a＜180°），点E、F分别是线段BD、AC上一动点，当△PEF周长最小时，直接写出∠EPF的度数（用含α的代数式表示）．

25．抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择题（共36分）
1．解：A、图形不是中心对称图形；
B、图形是中心对称图形；
C、图形不是中心对称图形；
D、图形不是中心对称图形，
故选：B．
2．解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率＝．
故选：C．
3．解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（4，3）．
故选：A．
4．解：∵⊙O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm＜4cm，
∴点P在圆外．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DCF∽△EBF，
∴，且AB＝CD＝3BE，
∴BF：CF＝1：3，
故选：B．
6．解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：C．
7．解：∵OC⊥AB于H，
∴AH＝BH，
在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，
∵OH＝1，
∴AH＝OH＝，
∴AB＝2AH＝2
故选：A．
8．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故选：B．
9．解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠O＝50°，
∵OB＝OC（都是半径），
∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝65°．
故选：C．
10．解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，
在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（），点（﹣2，y1）离对称轴的距离最远，点（）离对称轴的距离最近，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
11．解：二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2＝48，
故选：D．
12．解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a+c＜2b，故②正确，符合题意；
﹣＝，得b＝a﹣am，故③正确，符合题意；
∵该函数图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵b＝a﹣am＝a（1﹣m），
∴b＝（b﹣c）（1﹣m），
整理，得：＝1﹣．故④正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（共18分）
13．解：∵点P（1，﹣2），
∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）．
14．解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为（1，0），设a＝1，
根据顶点式，得y＝（x﹣1）2，
即y＝x2﹣2x+1（本题答案不唯一）．
故答案为：y＝x2﹣2x+1（答案不唯一）．
15．解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，
故答案为：2π．
16．解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACB，∠CBO＝∠ABC，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×130°＝115°，
故答案为：115°．
17．解：作FH⊥AC于H，如图，
∵△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴CE＝BC＝2，CD＝CA＝3，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴AE＝AC﹣CE＝1，
∵点F是DE的中点，
∴FH为△ECD的中位线，
∴CH＝EH＝1，FH＝CD＝，
在Rt△AFH中，AF＝＝＝．
故答案为：．

18．解：（Ⅰ）；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点P为所作；
作图过程为：过A点格线交圆于D点、E点，连接DE，连接格点H、F，HF交DE于点O，连接CO交圆于
P，连接PB，则∠PBC＝70°．

三、解答题（共66分）
19．（1）解：把x＝﹣1代入方程x2﹣mx+m﹣2＝0得1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝，
则原方程为x2﹣x﹣＝0，
解得：x＝﹣1，或x＝．
因此方程的另一个根为．
（2）证明：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴该方程都有两个不相等的实数根．
20．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD．
∵∠ACB＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴BC＝AD．
∴∠A＝∠DBC，
∵∠C＝∠C，
∴△DBC∽△BAC，
∴，
∴BC2＝CD•AC．
21．解：（1）连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA＝30°，
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠BEF＝∠DAE＝18°，
∵，
∴∠BAF＝∠BEF＝18°


22．（1）证明：如图所示，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD∥OC，
∴∠AGO＝∠ADB＝90°，
又OA＝OD，
∴DG＝AG，
∴AC＝DC，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠CAO＝∠CDO，
∵AC为⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又DO为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD＝OB＝r，
在Rt△DOE中，OD2+DE2＝OE2，即r2+64＝（r+4）2，
解得r＝6，
∵BD∥OC，
∴，即，
解得CD＝12，
故CD的长为12．
23．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
24．解：（1）∵∠DBP＝∠CAP＝90°，
又∵∠BDP＝45°，∠ACP＝30°，
∴∠BPD＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
（2）∵∠CAP＝90°，∠ACP＝30°，
∴∠APC＝60°，
当PC∥BD时，分情况讨论：
①当△PAC旋转到如下图所示：

∵PC∥BD，且∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝90°，
∴∠APN＝30°；
②当△PAC旋转到如下图所示：

∵PC∥BD，且∠DBP＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴∠APB＝30°，
∴∠APN＝150°，
综上，∠APN＝30°或150°；
（3）作点P关于BD的对称点P1，作点P关于AC的对称点P2，连接P1P2，与BD交于点E，与AC交于点F，如图所示：

此时△PEF的周长最小，
根据轴对称的性质，可得EP1＝EP，
∴∠P1＝∠EPP1，
同理，∠P2＝∠FPP2，
∵∠BPA＝α（90°＜a＜180°），
∴∠P1+∠P2＝180°﹣α，
∴∠EPF＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，
∴当△PEF周长最小时，∠EPF＝2α﹣180°．
25．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
故当m＝2时，PN有最大值为；

（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，

则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±（舍去负值），
故点（，）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，
解得：m＝（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．